物理競賽課件

矢量圖解運動問題運動合成與分解的圖解方法v1v2VV=v1+v2V12=v1-v2v1v2V12合運動是同一物體在同一時間內(nèi)同時完成幾個分運動的結(jié)果，對同一物體同時參與的幾個運動進(jìn)行合成才有意義．當(dāng)物體實際發(fā)生的運動較復(fù)雜時，我們可將其等效為同時參與幾個簡單的運動，前者稱作合運動，后者則稱作物體實際運動的分運動．這種雙向的等效操作過程叫運動的合成與分解，是研究復(fù)雜運動的重要方法．

構(gòu)成一個合運動的幾個分運動是彼此獨立、互不相干的，物體的任意一個分運動，都按其自身規(guī)律進(jìn)行，不會因有其它分運動的存在而發(fā)生改變．

描述運動狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，對運動進(jìn)行合成與分解時應(yīng)按矢量法則即平行四邊形定則作上述物理量的運算．

運動的合成與分解獨立性原理運動的合成與分解遵循如下原理：等時性原理矢量性原理分解復(fù)雜運動的兩種方法

引入中介參照系．

根據(jù)實際效果分解運動.若設(shè)質(zhì)點A對靜止參考系C的速度（絕對速度）為vAC，動參考系B對C的速度（牽連速度）為vBC，而A對動參考系B的速度（相對速度）為vAB，則有同樣地，位移的合成與分解為注意矢量運算式中下標(biāo)的規(guī)律性!

加速度的合成與分解為VAB=-VBA

雨滴在空中以4m/s速度豎直下落，人打著傘以3m/s的速度向東急行，如果希望讓雨滴垂直打向傘的截面而少淋雨，傘柄應(yīng)指向什么方向？

矢量圖解示例1解:本例求雨相對人(傘)的速度，引入中介參照系-人雨對地的速度（絕對速度）v雨=4m/s豎直向下v雨人對地的速度（牽連速度）v人=3m/s向東雨對人的速度（相對速度）V雨對人v人三速度矢量關(guān)系為矢量圖示OV雨對人傘柄方向與豎直成由“兩質(zhì)點相遇”知A處質(zhì)點相對于B處質(zhì)點的速度vAB方向沿AB連線CABv1v2θv1v2mvABdlθθ由幾何三角形與矢量三角形關(guān)系得:方向與BC成

一質(zhì)點從A點出發(fā)沿AC方向以v1速度勻速運動，與此同時，另一質(zhì)點以v2速度從B點出發(fā)做勻速運動，如圖所示，已知A、C相距l(xiāng)，B、C相距d，且BC⊥AC，若要兩質(zhì)點相遇，v2的最小速率為多少？其方向如何？

矢量圖解示例2解:矢量圖示v2

假定某日刮正北風(fēng)，風(fēng)速為u，，一運動員在風(fēng)中跑步，他對地面的速度大小是v，試問他向什么方向跑的時候，他會感到風(fēng)是從自己的正右側(cè)吹來的？這種情況在什么條件下成為無解？在無解的情況下，運動員向什么方向跑時，感到風(fēng)與他跑的方向所成夾角最大？例1解:人對地的速度（牽連速度）v風(fēng)對地的速度（絕對速度）u風(fēng)對人的速度（相對速度）V本例求相對速度，引入中介參照系-人由題給條件，速度關(guān)系為且矢量圖示北θVuv當(dāng)運動員朝南偏西感到風(fēng)從正右側(cè)吹來當(dāng)v＞u時，無此情況！當(dāng)運動員朝南偏西奔跑時感到風(fēng)與他跑的方向所成夾角最大！例4從離地面同一高度h、相距l(xiāng)的兩處同時各拋出一個石塊，一個以速度v1豎直上拋，另一個石塊以速度v2向第一個石塊原來位置水平拋出，求這兩個石塊在運動過程中，它們之間的最短距離．

解:一個石塊對地的初速度為v1另一個石塊對地的初速度為v2兩者相對速度為矢量圖示v1v2v21lx21以石塊1為參考系，石塊2的位移方向與v21相同:以石塊1為參考系，兩石塊初始距離為l:最小距離

d由圖這個最短距離適用于另一石塊落地之前

從h高處斜向上拋出一初速度大小為v0的物體，討論拋出角θ為多大時物體落地的水平位移最大．例2解:物體做拋體運動時，只受重力作用．在落下h高度的時間t內(nèi)，速度增量△v恒為豎直向下,大小為gt;落地時速度v的大小為

矢量關(guān)系:矢量圖示hv0vt△vθv0θ矢量△“面積”如圖所示，在仰角的雪坡上舉行跳臺滑雪比賽．運動員從坡上方A點開始下滑，到起跳點O時借助設(shè)備和技巧，保持在該點的速率而以與水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上Ｂ點，坡上OB兩點距離L為此項運動的記錄．已知A點高于O點h＝50m，忽略各種阻力、摩擦，求運動員最遠(yuǎn)可跳多少米，此時起跳角為多大？例6AOBθαh解:在O點起跳速度v的大小為

物體做拋體運動時，只受重力作用．在發(fā)生L位移的時間t內(nèi)，速度增量△v恒為豎直向下,大小為gt;矢量關(guān)系:vB△vθv0矢量△“面積”此時由例5敞開的磁帶錄音機的空帶軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動，重新繞上磁帶．繞好后帶卷的末半徑r末為初半徑r初的3倍．繞帶的時間為t1．要在相同的帶軸上重新繞上厚度為原磁帶一半的薄磁帶，問需要多少時間？解:設(shè)磁帶總長l,繞厚磁帶時,由題意d…繞薄磁帶時,得帶卷面積

繞一層時間繞多少層帶卷面積

一只蝸牛從地面開始沿豎直電桿上爬，它上爬的速度v與它離地的高度h之間滿足的關(guān)系是v=Lvo/(L+h)，其中常數(shù)L=20cm，v0=2cm/s。求它上爬20cm所用的時間。1/Vh1/VO1/Vt物系相關(guān)速度物系相關(guān)速度共性研究對象剛體不發(fā)生形變的理想物體實際物體在外力作用下發(fā)生的形變效應(yīng)不顯著可被忽略時,即可將其視作剛體．基本特征具有剛體的力學(xué)性質(zhì)，剛體上任意兩點之間的相對距離是恒定不變的;剛體運動的速度法則

角速度剛體上每一點的速度都是與基點(可任意選擇)速度相同的平動速度和相對于該基點的轉(zhuǎn)動速度的矢量和.

轉(zhuǎn)動速度v=rω，r是對基點的轉(zhuǎn)動半徑，ω是剛體轉(zhuǎn)動角速度．

任何剛體的任何一種復(fù)雜運動都是由平動與轉(zhuǎn)動復(fù)合而成的.剛體各質(zhì)點自身轉(zhuǎn)動角速度總相同且與基點的選擇無關(guān)．

ABCDαv2v2dv1v1dO在同一時刻必具有相同的沿桿、繩方向的分速度.沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無相對滑動時相同.相交雙方沿對方切向運動分速度的矢量和.物系相關(guān)速度特征

剛性桿或繩約束物系各點速度的相關(guān)特征是：接觸物系接觸點速度的相關(guān)特征是：線狀相交物系交叉點的速度是:v1θv0v2v1θθvvtvnvnv1dv0v2d1.如圖所示，AB桿的A端以勻速v運動，在運動時桿恒與一半圓周相切，半圓周的半徑為R，當(dāng)桿與水平線的交角為θ時，求桿的角速度ω及桿上與半圓相切點C的速度．

（桿和圓柱接觸點C’的速度大小）解:這是桿約束相關(guān)速度問題考察桿切點C,由于半圓靜止,C點速度必沿桿!vCBRAθv1v2vcθ桿A點速度必沿水平!以C為基點分解v:由桿約束相關(guān)關(guān)系:v2是A點對C點的轉(zhuǎn)動速度,故B2A1A2

2.如圖所示，合頁構(gòu)件由三個菱形組成，其邊長之比為3∶2∶1，頂點A3以速度v沿水平方向向右運動，求當(dāng)構(gòu)件所有角都為直角時，頂點Ｂ2的速度vB2．

解:這是桿約束相關(guān)速度問題A0A1A2A3B1B2B3vvA2vA1v2v1分析頂點A2、A1的速度：分析B2點速度：v1v2vB2由圖示知由幾何關(guān)系3.細(xì)桿ABC在一豎直平面上靠著一個臺階放置，A端可沿著水平地面朝臺階運動，細(xì)干不離開臺階拐角。當(dāng)ABC桿與水平地面夾角為圖所示的φ時，桿的B點恰好位于臺階拐角處，而且C端運動速度值恰好為A端運動速度值的2倍，試求BC長與AB長的比值a。

3.如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，相距為h．軌道上有兩個物體Ａ和Ｂ，它們通過一根繞過定滑輪Ｏ的不可伸長的輕繩相連接．物體Ａ在下面的軌道上以勻速率v運動．在軌道間的繩子與軌道成30°角的瞬間，繩子BO段的中點處有一與繩相對靜止的小水滴Ｐ與繩子分離，設(shè)繩長BO遠(yuǎn)大于滑輪直徑，求：小水滴Ｐ恰脫離繩子落地時速度的大?。?OABPvh30°小水滴P剛與繩分離時應(yīng)具有與OB繩中點相同的速度,這個速度是沿繩速度與繞O轉(zhuǎn)動速度的合成:vvPnvBvBn小水滴沿繩方向速度即為v整個OB段繩有相同繞O轉(zhuǎn)動角速度,故則以此速度斜拋落地vP

如圖所示，半徑為R的半圓凸輪以等速v0沿水平面向右運動，帶動從動桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點．求當(dāng)∠AOP=α?xí)r，AB桿的速度．4解:這是接觸物系接觸點相關(guān)速度問題PAOBv0ααvAv0α

根據(jù)接觸物系觸點速度相關(guān)特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即

5.如圖所示，線軸沿水平面做無滑動的滾動，并且線端A點速度為v，方向水平．以鉸鏈固定于B點的木板靠在線軸上，線軸的內(nèi)、外徑分別為r和R．試確定木板的角速度ω與角α的關(guān)系．解:考察板、軸接觸的切點C速度

板上C點與線軸上C點有相同的法向速度vn,且板上vn正是C點關(guān)于B軸的轉(zhuǎn)動速度

：CABαCvnCvn

線軸上C點的速度：它應(yīng)是C點對軸心O的轉(zhuǎn)動速度vCn和與軸心相同的平動速度vO的矢量和，而vCn是沿C點切向的，則C點法向速度vn應(yīng)是：v0vvCnv0αv線軸為剛體且做純滾動，故以線軸與水平面切點為基點，應(yīng)有

DRrdO1O2

如圖所示，一個半徑為R的軸環(huán)O1立在水平面上，另一個同樣的軸環(huán)O2以速度v從這個軸環(huán)旁通過，試求兩軸環(huán)上部交叉點A的速度vA與兩環(huán)中心之距離d之間的關(guān)系．軸環(huán)很薄且第二個軸環(huán)緊傍第一個軸環(huán)．

6.解:dO1AO2v本題求線狀交叉物系交叉點A速度Av1θθv2v軸環(huán)O2速度為v，將此速度沿軸環(huán)O1、O2的交叉點A處的切線方向分解成v1、v2兩個分量:

O2由線狀相交物系交叉點相關(guān)速度規(guī)律可知，交叉點A的速度即為沿對方速度分量v1!由圖示幾何關(guān)系可得:7.如圖所示，AB桿以角速度ω繞A點轉(zhuǎn)動，并帶動套在水平桿OC上的小環(huán)M運動．運動開始時，AB桿在鉛垂位置，設(shè)OA=h，求：⑴小環(huán)M沿OC桿滑動的速度；⑵小環(huán)M相對于AB桿運動的速度．解:OCAhωMB⑴經(jīng)時間t，桿轉(zhuǎn)過角ωt，桿AB上M點速度:由線狀交叉物系交叉點相關(guān)速度特征環(huán)M的速度等于vM沿桿OC分量:⑵小環(huán)相對于AB桿的速度大小等于速度v桿M沿AB桿方向分量:方向如圖!將一小球以10m/s的初速度從樓頂平拋出去,如果小球做曲線運動的法向加速度為5m/s2,問小球這時下降的高度及所在處軌跡的曲率半徑各為多少(空氣阻力不計)滑冰運動員在沿100m長的半圓形線路上把他的速率從2m/s均勻增加到12m/s。問在中間點處他的速率是多少？在該處，他的速度和加速度之間的夾角是多少？圖中所示為用三角形剛性細(xì)桿AB、BC、CD連成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖。AB和CD桿可分別繞過A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動，A、D兩點位于同一水平線上。BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連，可繞連接處轉(zhuǎn)動（類似鉸鏈）。當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時，AB桿處于豎直位置。BC桿與CD桿都與水平方向成45°角，已知AB桿的長度為，BC桿和CD桿的長度由圖給定。求此時C點加速度的大小和方向（用與CD桿之間的夾角表示）

如圖,A、B、C三位芭蕾演員同時從邊長為l的三角形頂點A、B、C出發(fā)，以相同的速率v運動，運動中始終保持A朝著B，B朝著C，C朝著A．試問經(jīng)多少時間三人相聚？每個演員跑了多少路程？解:ABC由三位舞者運動的對稱性可知，他們會合點在三角形ABC的中心OOOvn每人的運動均可視做繞O轉(zhuǎn)動的同時向O運動，

vt考慮A處舞者沿AO方向分運動考慮,到達(dá)O點歷時

由于舞者勻速率運動,則ABCDαO解:

如圖所示，兩只小環(huán)O和分別套在靜止不動的豎直桿AB和CD上，一根不可伸長的繩子一端系在C點上，穿過環(huán)，另一端系在環(huán)O上．若環(huán)以恒定速度v1向下運動，當(dāng)∠AO=α?xí)r，求環(huán)O的速度．

例題v1V繩對環(huán)=v1vO對

＝v1+v2V繩對環(huán)設(shè)環(huán)O的速度為v2以O(shè)′為參照繩抽出速度大小為v1,方向如示:v2則環(huán)O對環(huán)O′的速度大小為v1+v2,方向如示:這個速度是O對O′沿繩“抽出”速度和對O′轉(zhuǎn)動速度的合成由繩約束特征:在同一時刻必具有相同的沿繩方向的分速度.摩擦角FNFfF約束力由摩擦定律:◎支持面作用力(約束力)與正壓力間的夾角稱為摩擦角,約束力方向總與約束面法向成tan-1μ

的角度.

如圖所示，質(zhì)量為m的物體放在水平地面上，物體與地面間的動摩擦因數(shù)為，想用力F推動物體沿水平地面滑動，推力方向與水平面的夾角在什么范圍內(nèi)者是可能的？物體所受地面約束力的摩擦角分析物體恰開始滑動時的受力情況:mgFfFNF約F作出物體所受三力恰構(gòu)成的閉合矢量三角形:G推力與水平線所成角θ滿足:均可使物體沿水平地面滑動mmgF約tan-1FmaxF約Fmintan-1解:如圖所示，傾角為θ的斜面與水平面保持靜止,斜面上有一重為G的物體A與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ,且μ<tanθ,現(xiàn)給A施以一水平力F,設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等,求水平推力F多大時物體能在斜面上靜止？

靜摩擦力達(dá)到最大時,斜面約束力作用線方向與斜面法線成摩擦角!

巧取研究對象盡量取整體需“化內(nèi)為外”時取部分方程數(shù)不足時取部分整、分結(jié)合，方便解題

如圖所示，一長L、質(zhì)量均勻為M的鏈條套在一表面光滑，頂角為α的圓錐上，當(dāng)鏈條在圓錐面上靜止時，鏈條中的張力是多少？專題2-問題4解:

鏈條的受力具有旋轉(zhuǎn)對稱性．鏈條各部分間的張力屬于內(nèi)力,需將內(nèi)力轉(zhuǎn)化為外力，我們可以在鏈條中隔離出任一微元作為研究對象，鏈條其它部分對微元的拉力就成為外力，對微元根據(jù)平衡規(guī)律求解:FTFTFiα鏈條微元處于平衡△mgFNiFi

壓延機由兩輪構(gòu)成，兩輪直徑各為d＝50cm，輪間的間隙為a＝0.5cm，兩輪按反方向轉(zhuǎn)動，如圖2-15上箭頭所示．已知燒紅的鐵板與鑄鐵輪之間的摩擦系數(shù)μ＝0.1．問能壓延的鐵板厚度b是多少？ab分析鐵板受力如圖：小試身手題2解:FNFf

鐵板能前進(jìn)，應(yīng)滿足分析幾何關(guān)系求角θ：解得b≤0.75cm

物體處于平衡時,其各部分所受力的作用線延長后必匯交于一點,其合力為零.

如圖所示，光滑半球殼直徑為a，與一光滑豎直墻面相切，一根均勻直棒AB與水平成60°角靠墻靜止，求棒長．專題2-問題5解:棒AB受三力:ABOGFAFB棒

AB處于靜止,三力作用線匯交于一點!在三角形BCD中由正弦定理:C又

如圖所示，半圓柱體重G，重心C到圓心O的距離為4R/3π，其中R為圓柱體半徑．如半圓柱體與水平面間的摩擦因數(shù)為μ，求半圓柱體被拉動時所偏過的角度θ．小試身手題6解:FCGP由半圓柱處于平衡,三力作用線匯交于一點來確定地面約束力!半圓柱所受三力矢量構(gòu)成閉合三角形F約摩擦角由三角形與幾何三角形相似,得物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時，物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動摩擦因素μφm=15°。最后，μ=tgφm。答案：0.268。一架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻的靜摩擦系數(shù)分別為μ1、μ2，求梯子能平衡時與地面所成的最小夾角。G，

即梯子與地面所成的最小的角為一梯子長為L，斜靠在豎直的墻壁上，梯子的傾角為，與水平地面間的靜摩擦系數(shù)為，與豎直墻面間的靜摩擦系數(shù)為，不計梯子的重力，求：重為G的人沿梯子能上升的最大高度。力臂定義：支點到力作用線的垂直距離，符號●求力臂作圖力矩MM＝FL（1）求力矩的兩種常用方法LFFLM＝FLsinF1F2M＝F1L＝FLsin2．力矩計算的兩種常用等效轉(zhuǎn)化方法：F合＝0二．一般物體的平衡平衡與平衡條件：

物體處于靜止或勻速運動狀態(tài)，稱之為平衡狀態(tài)。

平衡條件：合外力為零且合外力矩為零。M順＝M逆例9：如圖所示，光滑水平面上有一長木板，一均勻桿質(zhì)量為m，上端鉸于O點，下端擱在板上，桿與板間的動摩擦因數(shù)為＝1/2，桿與豎直方向成45角，（1）為使板向右勻速運動，向右的水平拉力F應(yīng)多大？（2）為使板向左勻速運動，向左的水平拉力F應(yīng)多大？平衡綜合問題:GFfFfFNLcos45＝GLcos45

/2＋FNLsin45FN＝mgF＝Ff＝FN＝mg＝mg/2對桿：對板：向右勻速運動時FNGFFfFf向左勻速運動時FN對桿：FNLcos45＋FNLsin45＝GLcos45

/2FN＝mg/3對板：F＝Ff＝FN＝mg＝mg/6如圖10所示，質(zhì)量為m的均勻桿與地面接觸為一固定轉(zhuǎn)動軸，桿與光滑球接觸點距0為L/3。求豎直墻對球的彈力T。2.簡解：對桿對球體靜止，水平方向有如圖所示，有六個完全相同的長條薄片AiBi(i=1,2,...6)依次架在水平碗口上，一端擱在碗口、另一端架在另一薄片的正中位置（不計薄片的質(zhì)量）將質(zhì)量為m的質(zhì)點置于A1A6的中點處，試求A1B1薄片對A6B6的壓力．10、解：本題中六個物體，其中通過分析可知A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5的受力情況完全相同，因此將A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5作為一類，對其中一個進(jìn)行受力分析、找出規(guī)律，求出通式即可．以第個薄片AB為研究對象，受力情況如圖1所示，第個薄片受到前一個薄片向上的支持力、碗邊向上的支持力和后一個薄片向下的壓力．選碗邊B點為軸，根據(jù)力矩平衡有，得所以①再以A6B6為研究對象，受力情況如圖2所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力FN6、碗邊向上的支持力和后一個薄片A1B1向下的壓力FN1、質(zhì)點向下的壓力mg。選B6點為軸，根據(jù)力矩平衡有②由①②聯(lián)立，解得所以A1B1薄片對A6B6的壓力為一長為L的均勻薄板與一圓筒按圖所示放置，平衡時，板與地面成θ角，圓筒與薄板相接觸于板的中心．板與圓筒的重量相同均為G．若板和圓筒與墻壁之間無摩擦，求地面對板下端施加的支持力和靜摩擦力．如圖所示，勻質(zhì)圓柱體夾在木板與豎直墻之間，其質(zhì)量為m，半徑為R，與墻和木板間的動摩擦因數(shù)為μ，板很輕，其質(zhì)量可以忽略。板的一端O與墻用光滑鉸鏈相連，另一端A掛有質(zhì)量為m′的重物，OA長為L，板與豎直夾θ角，θ=53°，試問，m′至少需要多大才能使系統(tǒng)保持平衡？并對結(jié)果進(jìn)行討論。三個完全相同的圓柱體，如圖所示，疊放在水平桌面上，將C柱放上去之前，A、B兩柱體之間接觸而無任何擠壓，假設(shè)桌面和柱體之間的摩擦因數(shù)為μ0，柱體與柱體之間的摩擦因數(shù)為μ，若系統(tǒng)處于平衡，μ0與μ必須滿足什么條件？ABC：這是一個物體系的平衡問題，因為A、B、C之間相互制約著而有單個物體在力系作用下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此類問題。設(shè)每個圓柱的重力均為G，首先隔離C球，受力分析如圖1一7所示，由∑Fcy＝0可得

①再隔留A球，受力分析如圖1一8所示，由∑FAy=0得

②由∑FAx=0得

③由∑EA＝0得

④由以上四式可得，而，，

9、解：如圖所示，圓筒所受三個力沿水平和豎直方向平衡的分量式為，板所受五個力沿水平和豎直方向平衡的分量式為板所受各力對圓筒和板的交點為轉(zhuǎn)動軸的力矩平衡方程為根據(jù)牛頓第三定律，有聯(lián)立以上各式，可解得地面對板的支持力和靜摩擦力分別為FN3=2G，一根質(zhì)量為m、長為的均勻橫梁，需要用兩只雪橇在水平雪地上將其保持水平狀態(tài)運送。簡化其過程如圖（甲）所示。雪橇均與橫梁固連，下端B與雪地接觸，假定觸地面積很小。用一距地h的水平牽引力F作用于前方雪橇，前后雪橇與雪地的動摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2。在前后雪橇均與雪地接觸時，使橫梁沿雪地勻速向前移動，則h應(yīng)滿足什么條件？F應(yīng)多大？（雪橇質(zhì)量可忽略不計）分析：系統(tǒng)受力如圖11-78（乙）所示。其中、分別為地對雪橇的支持力，、分別為地對雪橇的摩擦力。由題意易知，F(xiàn)不能太大，h不能太高，否則、將會變?yōu)?，系統(tǒng)將以P為軸翻倒，此為臨界狀態(tài)。在這種情況下，所求問題與無關(guān)。由一般物體的平衡條件即可解決。解：根據(jù)平衡條件得其中以P為軸可得由以上幾式聯(lián)立可得（1）（2）依照題意，應(yīng)有≥0所以由（1）式得≥0（3）由（2）式得（4）（3）、（4）式聯(lián)立得h≤（5）在滿足（5）式條件下，所求F即為（2）式結(jié)果。物體平衡的種類穩(wěn)定平衡模型特征O稍微偏離原平衡位置后能回到原位置不穩(wěn)定平衡模型特征稍微偏離原平衡位置后不能回到原位置隨機平衡模型特征能在隨機位置保持平衡O平衡位置是位能最低的位置判斷物體平衡種類的一般操作對由重力與支持力作用下的平衡

設(shè)計一個元過程，即設(shè)想對物體施一微擾，使之稍偏離原平衡位置．

或從能量角度考察受擾動后物體重心位置的高度變化，根據(jù)重心是升高、降低還是不變來判斷物體原本是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡或是隨遇平衡；

為比較擾動前后物體的受力與態(tài)勢，要作出直觀明晰的圖示；由于對微擾元過程作的是“低細(xì)節(jié)”的描述，故常需運用合理的近似這一數(shù)學(xué)處理手段．

或從受力角度考察受擾動后重力作用點的側(cè)移量，即重力對擾動后新支點的力臂，從而判斷物體原來的平衡態(tài)屬于哪一種．依問題的具體情況，擇簡而從．

圖中每一系統(tǒng)的兩個球都用一跨過滑輪的線聯(lián)結(jié)起來，問每一種情況各屬哪種平衡？解:隨機平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡給兩小球線繩系統(tǒng)一擾動,從受力角度考察受擾動后,兩小球重力沿繩方向力的合力指向,從而判斷平衡種類!

如圖所示,長度為2L、粗細(xì)均勻的桿，一端靠在鉛直的墻上，而另一端靠在不動的光滑面上．為了使桿即使沒有摩擦仍能在任意位置處于平衡，試寫出這個表面的橫截線的函數(shù)表達(dá)式Ｙ(x)（桿總是位于垂直于墻面的豎直平面內(nèi)）解:為滿足題意即桿處于隨遇平衡,應(yīng)使桿的重心始終在x軸!OyxC(0,)(x,y)表面的橫截線滿足該表面為橢球面的一部分llmLαm

如圖所示裝置，它是由一個長L的木釘、從木釘上端向左右斜伸出兩個下垂的、長為l的細(xì)木桿，以及在木桿的末端裝有質(zhì)量同為m的小重球而組成．木釘及木桿的質(zhì)量可忽略，木桿與木釘間夾角為α，此裝置放在硬質(zhì)木柱上，則l、L、α間應(yīng)當(dāng)滿足______________關(guān)系才能使木釘由垂直位置稍微偏斜后，此裝置只能以O(shè)點為支點擺動而不致傾倒．小試身手題3解:為滿足題意即系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡,給系統(tǒng)一擾動,兩小球重力對O的力矩應(yīng)能使系統(tǒng)回到原位!原平衡位置時受一微擾后ααO2mg不能回到原位原平衡位置時2mg受一微擾后能回到原位

一根質(zhì)量為m的均勻桿，長為L，處于豎直的位置，一端可繞固定的水平軸轉(zhuǎn)動．有兩根水平輕彈簧，勁度系數(shù)相同，把桿的上端拴住，如圖所示，問彈簧的勁度系數(shù)k為何值時才能使桿處于穩(wěn)定平衡？

解:為使桿處于穩(wěn)定平衡,給桿一擾動,彈簧拉力對O的力矩應(yīng)大于桿重力矩!mgFT即其中得FT

如圖所示,一塊厚d的勻質(zhì)木板位于半徑為R的圓柱上，板的重心剛好在圓柱的軸上方．板與圓柱的一根摩擦因數(shù)足夠大．試求板可以處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的條件．RC解:令板從原平衡位置偏轉(zhuǎn)一小角度αα板處于穩(wěn)定平衡條件是重心升高!以圓柱軸為參照,原板重心高度擾動后重心高度α應(yīng)有考慮到OOKDhRKDβαCKO

如圖所示,兒童玩具不倒翁高h(yuǎn)＝21cm，質(zhì)量m＝300g，相對軸KD對稱分布．不倒翁的下部是半徑R＝６cm的球面，如果不倒翁放在與水平面成角α＝30°的粗糙面上，當(dāng)它的軸KD與豎直方向傾角β＝45°，則處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)．為了使它在水平面上失去穩(wěn)定平衡，試問最少需在頭頂Ｋ加多少塑泥？解:C先求原重心位置：在三角形OCD中運用正弦定理：在水平面上：ODKC不倒翁失去穩(wěn)定平衡條件是重心高于O!Δm有一長為0.2m、截面積為2cm2的均勻細(xì)棒，密度為5×102kg/m3．⑴在細(xì)棒下端釘上一小鐵片（不計體積），讓細(xì)棒豎立在水面，若細(xì)棒露出水面部分的長為0.02m，則小鐵片質(zhì)量為多少？⑵不拿去浸在水中的小鐵片，在上端要截去多少長度，恰好使上端面與水面齊平？⑶要使細(xì)棒豎在水面是穩(wěn)定平衡，下端小鐵片至少要多重?解:⑴分析此時受力：CM⑵此時態(tài)勢為：C1⑶低細(xì)節(jié)描述系統(tǒng)為穩(wěn)定平衡條件是浮心高于合重心!C總C總C總C總不穩(wěn)定平衡隨機平衡穩(wěn)定平衡續(xù)解質(zhì)點系m2m1m3mi…F31F13F1FiF2F3F21Fi1F12質(zhì)點系各質(zhì)點受系統(tǒng)以外力F1、F2、……對質(zhì)點1對各質(zhì)點F1i質(zhì)點系的牛頓第二定律直線運動中的動力學(xué)問題與方法mAgBAED

如圖所示，A、B滑塊質(zhì)量分別是mA和mB，斜面傾角為α，當(dāng)A沿斜面體D下滑、B上升時，地板突出部分E對斜面體D的水平壓力F為多大（繩子質(zhì)量及一切摩擦不計）？解:ax對A、B、D系統(tǒng)在水平方向有對A、B系統(tǒng)分析受力amBgαxααF

如圖所示，一根繩跨過裝在天花板上的滑輪，一端接質(zhì)量為M的物體，另一端吊一載人的梯子而平衡．人的質(zhì)量為m，若滑輪與繩子的質(zhì)量均不計，繩絕對柔軟，不可伸長．問為使滑輪對天花板的反作用力為零，人相對于梯子應(yīng)按什么規(guī)律運動？解:由“滑輪對天花板的反作用力為零”知繩上張力為零

M對人與梯由質(zhì)點系“牛二律”

則人相對梯的加速度為繩、桿約束物系或接觸物系各部分加速度往往有相關(guān)聯(lián)系，確定它們的大小關(guān)系的一般方法是：設(shè)想物系各部分從靜止開始勻加速運動同一時間，則由可知，加速度與位移大小成正比，確定了相關(guān)物體在同一時間內(nèi)的位移比，便確定了兩者加速度大小關(guān)系．物系加速度相關(guān)關(guān)系x2x

如圖所示，質(zhì)量為m的物體靜止在傾角為θ的斜面體上，斜面體的質(zhì)量為M，斜面體與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ．現(xiàn)用水平拉力F向右拉斜面體，要使物體與斜面體間無相互作用力，水平拉力F至少要達(dá)到多大？解:mMθF當(dāng)物體與斜面體間無作用力時，物體的加速度為g

考慮臨界狀況，斜面體至少具有這樣的加速度a：在物體自由下落了斜面體高度h的時間t內(nèi)，斜面體恰右移了hcotθ，由在相同時間內(nèi)對斜面體gaMgFNFm1m2PAQBα

如圖所示，A為固定斜面體，其傾角α=30°，B為固定在斜面下端與斜面垂直的木板，P為動滑輪，Q為定滑輪，兩物體的質(zhì)量分別為m1=0.4kg和m2=0.2kg，m1與斜面間無摩擦，斜面上的繩子與斜面平行，繩不可伸長，繩、滑輪的質(zhì)量及摩擦不計，求m2的加速度及各段繩上的張力．

解:m1沿斜面下降,m2豎直上升,若m1下降s,m2上升2s,故T1m1gsinαm2g建立如圖坐標(biāo)分析受力牛頓第二定律方程為

對m1建立方程

m1m1gsinαT1代入題給數(shù)據(jù)

PT1T1T2非慣性系相對于慣性系以加速度a運動的參考系稱非慣性參考系.牛頓運動定律在非慣性參考系中不能適用a小球不受外力而靜止小球不受外力而向我加速慣性力為了使牛頓定律在非慣性系中具有與慣性系相同的形式，我們可以引入一個虛擬的力叫慣性力使牛頓第二定律形式為可適用于非慣性系．慣性力與物體實際受到的力（按性質(zhì)命名的力）不同，它是虛構(gòu)的，沒有施力物，不屬于哪種性質(zhì)的力．Mα

一質(zhì)量為M、斜面傾角為α的三棱柱體，放在粗糙的水平面上，它與水平面間的摩擦因數(shù)為μ，若將一質(zhì)量為m的光滑質(zhì)點輕輕地放在斜面上，M發(fā)生運動，試求M運動的加速度a．

解:mμ設(shè)M運動的加速度為a，顯然a的方向水平向右:a設(shè)m相對于M的加速度為a非，a非的方向與水平成α角向下，即，沿三棱柱體的斜面:a非設(shè)水平面對三棱柱體的摩擦力為Ff，支持力為FN:Ff研究M、m構(gòu)成的系統(tǒng)，在水平方向有在豎直方向有由摩擦定律取m為研究對象xmgFnFNFi(M+m)gMθ

如圖所示，已知方木塊的質(zhì)量為m，楔形體的質(zhì)量為M，斜面傾角為θ，滑輪及繩子的質(zhì)量可忽略，各接觸面之間光滑，求楔形體M的加速度．

解:MθmamMxMxmM情景模擬楔形體和方木塊的加速度設(shè)為aM、am,方木塊相對楔形體的加速度amM：amM和aM的關(guān)系由位移關(guān)系amM和aM、am的矢量關(guān)系是矢量圖示aMamMam對方塊，以M為參考系的運動方程為系統(tǒng)的“牛二律”方程為aM

如圖所示，在以加速度a行駛的車廂內(nèi)，有一長為L，質(zhì)量為m的棒AB靠在光滑的后壁上，棒與車廂底面間的摩擦因數(shù)為μ．為了使棒不滑動，棒與豎直平面所成的夾角θ應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

．解:棒不向右滑,受力如圖

aABmgFNF2Ffma水平方向豎直方向以車為參考系

以A端為支點,應(yīng)滿足

由上可得

棒不向左滑,受力如圖

Ff以A端為支點,應(yīng)滿足

θ范圍為

A曲線運動與力曲線運動發(fā)生的條件合外力方向與速度方向不在一直線ΣFvΣFnΣFt切向力改變速度大小法向力改變速度方向求解曲線運動的動力學(xué)方法做好兩項分析物體運動情況分析物體受力情況分析正交分解法R

一質(zhì)點在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點P，在重力作用下由靜止開始往下滑，從Q點離開球面，求PQ兩點的高度差h.設(shè)球半徑為RPQHmgv由機械能守恒:Q點動力學(xué)方程為:由幾何關(guān)系:若質(zhì)點從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下的高度越短．這是一個有趣又有用的模型．

返回BAω

如圖所示，套管A質(zhì)量為M，因受繩子牽引沿豎直桿向上滑動．繩子另一端繞過離桿距離為L的滑輪B而纏在鼓輪上．當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)動時，其邊緣上各點的速度大小為v0．求繩子拉力和距離x之間的關(guān)系．XY解:分析滑塊A受力：

MgFNFT重力Mg、繩子拉力FT、導(dǎo)軌支持力FN分析滑塊A運動：

vAv0vt滑塊沿導(dǎo)軌向上的運動速度vA可視作沿繩向滑輪B的法向速度v0及以B為中心轉(zhuǎn)動的切向速度vt的合成！

xL由牛頓第二定律:

A實際運動沿豎直，在水平方向滿足

xvv解:

如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為r的圓木擱在兩個高度相同的支架上，右支架固定不動，而左支架以速度v從圓木下面向外滑．求當(dāng)兩個支點距離時，圓木對固定支架的壓力FN．（兩支架開始彼此靠得很近，圓木與支架之間的摩擦不計）BrOAr由幾何關(guān)系知分析圓木受力mgFNAFNB重力mg、支架A、B支持力FNA、

FNB

分析圓木運動：

圓木質(zhì)心O繞A點轉(zhuǎn)動v圓木與B接觸,故接觸點具有相同的法向速度O對A點轉(zhuǎn)動的線速度

圓木的運動方程vOFN否則圓木已與固定支架脫離

如圖所示，用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運動，圓心為O，繩長為L，質(zhì)量可以忽略，繩的另一端系著一個質(zhì)量為m的小球，恰好也沿著一個以O(shè)點為圓心的大圓在桌面上運動，小球和桌面之間有摩擦，求：⑴手對細(xì)繩做功的功率P；⑵小球與桌面之間的動摩擦因數(shù)μ．解:VrLf小球圓運動的半徑設(shè)為RR分析小球受力T繩拉力T；桌面摩擦力f

∵小球圓周運動，在法向有手拉端速度ω∵小球勻速圓周運動，在切向有

如圖所示，一長為a的細(xì)線系著一小球懸掛在O點靜止不動．若使小球獲得一個水平初速度，略去空氣阻力，證明：小球的運動軌跡經(jīng)過懸點O．解:小球運動軌跡會通過懸點O，是因為線繩在水平直徑上方與水平成某一角度α?xí)r，繩恰不再張緊，小球開始脫離圓軌道而做斜上拋運動Ovv0yx0繩上張力為零時小球達(dá)臨界速度該過程機械能守恒:圖示h小球做斜上拋運動設(shè)當(dāng)y方向位移為-h時歷時t,有續(xù)解這段時間內(nèi)小球完成的水平位移為查閱Oyx0說明小球做斜拋運動過程中，通過了坐標(biāo)為

的懸點O!

如圖所示，長為l的輕桿上端有一個質(zhì)量為m的小重物，桿用鉸鏈固接在A點，并處于豎直位置，同時與質(zhì)量為M的物體互相接觸．由于微小擾動使系統(tǒng)發(fā)生運動．試問質(zhì)量之比M/m為多少情況下，桿在脫離物體時刻與水平面成角α＝π/6，這時物體的速度u為多少？解:MmlA小重物與物體恰要脫離時兩者接觸而無擠壓,

故物體的加速度為零!小重物只受重力，小重物與物體水平速度相同

mgvu過程中系統(tǒng)機械能守恒小重物動力學(xué)方程y解:

質(zhì)點的運動是質(zhì)點相對槽的運動及與槽一起轉(zhuǎn)動兩者之合運動．

如圖所示，圓盤半徑為R，以角速度ω繞盤心O轉(zhuǎn)動，一質(zhì)點沿徑向槽以恒定速度u自盤心向外運動，試求質(zhì)點的加速度．

科里奧利加速度AO本題討論中介參考系以ω勻速轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點加速度的構(gòu)成

u

設(shè)某一瞬時質(zhì)點沿槽運動到與O相距r的位置AyBxOAuωru經(jīng)Δt時間，質(zhì)點沿槽運動到與盤心O相距r+uΔt的位置B，盤轉(zhuǎn)過了角度ωΔt，故質(zhì)點實際應(yīng)在位置B′在Δt時間內(nèi)，質(zhì)點沿y方向速度增量為在Δt時間內(nèi)，質(zhì)點沿x方向速度增量為注意到Δt→0時

續(xù)解方向與x成牽連加速度科里奧利加速度矢量圖示中介參考系以ω勻速轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點加速度的構(gòu)成牽連加速度

科里奧利加速度yxOA由于參考系轉(zhuǎn)動及質(zhì)點對參考系有相對運動而產(chǎn)生的，方向指向u沿ω方向轉(zhuǎn)過90°的方向返回試手ωml轉(zhuǎn)動參考系中的慣性力慣性離心力相對做勻角速度轉(zhuǎn)動的非慣性參考系靜止的物體小球受繩拉力而勻速轉(zhuǎn)動小球受繩拉力而靜止?

在相對于慣性參考系具有向心加速度的參考系中所引入的使牛頓定律仍能適用的力就是慣性離心力!牛頓運動定律仍可適用科里奧利力相對做勻角速度轉(zhuǎn)動的非慣性參考系運動的物體AOurFfFNFk科里奧利力是轉(zhuǎn)動參考系中引入的假想的慣性力，其大小等于引起科里奧利加速度的真實力，方向相反．物體在轉(zhuǎn)動平面上沿任何方向運動時，都將受到一個與運動方向垂直的科里奧利力:

利用圖象求功之方法適用于當(dāng)力對位移的關(guān)系為線性時;或在表示力對位移關(guān)系的F-s示功圖中F(s)圖線與s軸圍成的圖形“面積”有公式可依時;因為在F-s示功圖中，這種“面積”的物理意義就是功的大?。?/p>

方法A利用圖象—示功圖sF0變力求功方法ABCxW

錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有80%的能量傳給木樁，且木樁所受阻力f與插入深度x成正比，試求木樁每次打入的深度比．若第一次打擊使木樁插入了全長的1/3，全部插入須錘擊多少次？

專題8-例1解:本題中的阻力f為一與位移x成正比的變力，即f=kx示功圖xF0x1x2x3……lW0W0W0圖中各陰影“面積”

表示第1、2、3……次錘擊中，木樁克服阻力做的功，數(shù)值上等于錘傳給木樁的能量，設(shè)為W0．

由圖當(dāng)xn=l時，由

如圖所示，一質(zhì)量為m，長為l的柔軟繩索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨過桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數(shù)為μ．⑴柔繩能由靜止開始下滑，求下垂部分長度至少多長？⑵由這一位置開始運動，柔繩剛離開桌面時的速度多大？解:⑴設(shè)柔繩恰由靜止開始下滑時下垂部分長度為x0，則由

⑵柔繩恰由靜止開始下滑至以v離開桌面，由動能定理其中，重力功等于繩重力勢能減少摩擦力為線性變力：示功圖xFf0l-x0Wfx

如果在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系為F=f(s)，求該變力的功通常用微元法，即將位移區(qū)間分成n（n→∞）個小區(qū)間s/n，在每個小區(qū)間內(nèi)將力視為恒定，求其元功Fi·s/n，由于功是標(biāo)量，具有“可加性”，那么總功等于每個小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限，即變力在這段位移中所做的功為：

方法B用微元法在數(shù)學(xué)上，確定元功相當(dāng)于給出數(shù)列通項式，求總功即求數(shù)列n項和當(dāng)n→∞時的極限．

將板沿板長均分為n（n→∞）等份

將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動角α，求所需要做的功．木板長度為L，質(zhì)量為M，木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ．

解:元摩擦力做功的位移為摩擦力對i段做的元功為則對木板的功

各元段摩擦力為

半徑等于r的半球形水池，其中充滿了水，把池內(nèi)的水完全吸盡，至少要做多少功？

解:rri沿著容器的豎直直徑，我們將水池內(nèi)的水均勻細(xì)分成n層，每一元層水的高度r1i2每一層水均可看作一個薄圓柱，水面下第i層水柱底面的半徑這層水的質(zhì)量將這層水吸出至少應(yīng)做的元功是

將池水吸盡至少要做的功是

這種求功方法依據(jù)功對能量變化的量度關(guān)系，只須了解初、未能量狀態(tài)，得到能量的增量便是相應(yīng)的功量．

方法C從能量變化反觀功如圖所示,一質(zhì)量分布均勻的粗繩長2a，質(zhì)量為2m，兩端懸于水平天花板上相距為a的兩點而懸垂靜止，其重心位于天花板下方b處.現(xiàn)施一力于繩之最低點C并將繩拉直至D點，求拉力所做的功．D由幾何關(guān)系拉直后兩段繩的重心位置距天花

重力勢能增加了由功能原理，拉力功為

解：專題8-例5由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢能變化，重力勢能的增量即為所求拉力功量．Chhxy

如圖甲所示，把質(zhì)量均為m的兩個小鋼球用長為2L的線連接，放在光滑的水平面上．在線的中央O作用一個恒定的拉力，其大小為F，其方向沿水平方向且與開始時連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會伸縮的，質(zhì)量可忽略不計．試求：⑴當(dāng)兩連線的張角為2θ時，如圖乙所示，在與力Ｆ垂直的方向上鋼球所受的作用力是多少？⑵鋼球第一次碰撞時，在與力Ｆ垂直的方向上，鋼球的對地速度為多少？⑶經(jīng)過若干次碰撞，最后兩個鋼球一直處于接觸狀態(tài)下運動，試求由于碰撞而失去的總能量為多少？例子OFO甲Fθθ乙解:⑴在如示坐標(biāo)中分解力FF在與F垂直方向上線對鋼球的力大小為⑵設(shè)鋼球第一次碰撞時沿F方向速度為vx，垂直于F方向速度為vy，設(shè)力F的位移為x，由動能定理

在x方向上:⑶達(dá)到終態(tài)時，兩球vy=0，F(xiàn)總位移X，有

元功法

取元功作微元，以功能原理為基本依據(jù)求得一類物理問題解答的方法，我們稱之為“元功法”.這種解法所循基本原理是分析力學(xué)中的“虛功原理”，由伯努利首先提出的．用元功法可以處理某些平衡問題，且頗為簡單．

元功法

元功法處理平衡問題基本思路

取與原平衡狀態(tài)逼近的另一平衡狀態(tài)，從而虛設(shè)一個元過程，此過程中所有元功之和為零，以此為基本關(guān)系列出方程，通過極限處理，求得終解．

如圖所示，質(zhì)量為m、長度為l的均勻柔軟粗繩，穿過半徑R的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個釘子上，兩鉤間距離為2R，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質(zhì)量為M，且相互間無摩擦，求繩上最低點C處的張力．

解:本題用元功法求解!分析粗繩、滑輪和重物構(gòu)成的系統(tǒng)的受力情況AOCRBTA(M+m)g分析繩之一半的受力情況TC設(shè)想在A處以力TA將ABC段繩豎直向上拉過一極小距離Δx由功能原理Δx

如圖所示，均勻桿OA重G1，能在豎直面內(nèi)繞固定軸O轉(zhuǎn)動，此桿的A端用鉸鏈連住另一重G2的均勻桿AB，在AB桿的B端施一水平力F，試用元功法求二桿平衡時各桿與水平所成的角度α及β．

解:FOAB分析連桿的受力情況G1G2xy設(shè)想水平力使AB桿的B端移動極小位移Δx3同時，G1、G2力沿力方向的極小位移各為：由元功法得將各力的微小位移代入:該等式成立須m1v10+m2v20=m1v1+m2v2m1v102/2+m2v202/2=m1v12/2+m2v22/2v10v20m1m2V1=[(m1－m2)v10+2m2v20]/m1+m2V2=[2m1v10+(m2－m1)v20]/m1+m2彈性碰撞在光滑斜槽底部有處于靜止?fàn)顟B(tài)的小球1，質(zhì)量為2m,在斜槽上部離地面高為h處有質(zhì)量為2m的小球2和質(zhì)量為m的小球3緊挨放置，放手讓兩小球開始下滑，問三球發(fā)生碰撞后各自升高的最大高度？（碰撞彈性，球大小忽略）h123牛頓碰撞定律：若兩球碰撞前速度依次為v10、v20，碰撞后速度為v1、v2，則碰撞后兩者的分離速度v2－v1與碰撞前兩者的接近速度v20－v10成正比，比值e稱恢復(fù)系數(shù)（或反彈系數(shù)），比值由兩者的質(zhì)料決定，即e=0完全非彈性碰撞0﹤e﹤1非完全彈性碰撞e=1完全彈性碰撞v10－v20m1m2

一質(zhì)量為m的皮球，從高為h處自由下落（不計空氣阻力），反彈起來的高度為原來的3/4，要皮球反彈回h高處，求每次拍球需對球做的功

專題8-例6解:

在球與地面接觸期間，地面對球的彈力對球做負(fù)功，使球的動能減少．地面對球的彈力功是變力功!從h高度自由下落再反彈的全過程,地面彈力功W1:從h高度拍下再反彈原高的全過程,地面彈力功W2:續(xù)解從h高下落未速度即與地接近速度:從地面反彈的起跳速度即與地分離速度:同一球與同一地面碰撞,恢復(fù)系數(shù)相同:A1A2AnA3r1rnM引力勢能m物體只在引力作用下繞中心天體運行，其機械能守恒．引力是保守力，引力場是勢場，在平方反比力場中，質(zhì)點的引力勢能取決于其在有心力場中的位置．在中心引力場中，m從A1移至An處，引力做負(fù)功為：

以無窮遠(yuǎn)處為零引力勢能位置，物體在距中心天體r遠(yuǎn)處的引力勢能為宇宙飛船繞一行星做勻速圓周運動，軌道半徑為R，速率為v,船長想把圓形軌道改為過B點的橢圓軌道，B點距行星中心為3R，如圖所示．(1)若飛船在A點由圓形軌道改為橢圓軌道，它的速率應(yīng)增加多少?(2)飛船由A到B的時間是多少?(3)飛船由A到C,由C到B各需多長時間?COBAR動量定理之應(yīng)用

動量定理

動量定理的應(yīng)用(1)遵從矢量性與獨立性原理(2)合理與必要的近似(3)盡量取大系統(tǒng)與整過程動量定理應(yīng)用示例1

如圖所示，頂角為2θ、內(nèi)壁光滑的圓錐體倒立豎直固定在P點，中心軸PO位于豎直方向，一質(zhì)量為m的質(zhì)點以角速度ω繞豎直軸沿圓錐內(nèi)壁做勻速圓周運動，已知a、b兩點為質(zhì)點m運動所通過的圓周一直徑上的兩點，求質(zhì)點m從a點經(jīng)半周運動到b點，圓錐體內(nèi)壁對質(zhì)點施加的彈力的沖量．解:分析受力：mgFNF向運動半周動量變化量為其中軌道半徑r由合外力沖量為重力沖量為IIGIN彈力沖量為mab2θOωP動量定理應(yīng)用示例3

如圖所示，滑塊A和B用輕線連接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F作用在B上，使A、B一起由靜止開始沿水平桌面滑動．已知滑塊A、B與水平桌面之間的動摩擦因數(shù)均為μ．力F作用時間t后A、B連線斷開，此后力F仍作用于B．試求滑塊A剛剛停住時，滑塊B的速度大小？兩滑塊質(zhì)量分別為mA、mB．ABF解:設(shè)繩斷時A、B速度為V，繩斷后A運動時間為T;則在t+T時間內(nèi)對系統(tǒng)有而在t時間內(nèi)對系統(tǒng)有其中

一根鐵鏈，平放在桌面上，鐵鏈每單位長度的質(zhì)量為λ．現(xiàn)用手提起鏈的一端，使之以速度v豎直地勻速上升，試求在從一端離地開始到全鏈恰離地，手的拉力的沖量，鏈條總長為L．小試身手題3解:

圖示是鏈的一微元段離地的情景，該段微元長

FΔx該段微元質(zhì)量

設(shè)該元段從靜止到被提起歷時Δt，那么豎直上升部分長x的鏈條在手的拉力F、重力的沖量作用下，發(fā)生了末段微元動量的變化，由動量定理:力隨時間線性變化，故可用算術(shù)平均力求整個過程手拉力F的總沖量：

動量守恒常用模型

反沖模型Mm※系統(tǒng)總動量為零※平均動量守恒在系統(tǒng)各部分相互作用過程的各瞬間，總有

※常以位移表示速度※須更多關(guān)注“同一性”與“同時性”“同一性”:取同一慣性參考系描述m1、m2的動量“同時性”:同一時段系統(tǒng)的總動量守恒OxS人一條質(zhì)量為M、長為L的小船靜止在平靜的水面上，一個質(zhì)量為m的人站立在船頭．如果不計水對船運動的阻力，那么當(dāng)人從船頭向右走到船尾的時候，船的位移有多大？設(shè)船M對地位移為x，以向右方向為正，用位移表速度，由“－”表示船的位移方向向左人對船的位移向右取正船對地的位移±未知待求運算法則反沖模型示例1解:M“子彈打木塊”問題的特征與規(guī)律典型情景：vmmvmmMvMMmvmMFmFvm-

[“一對力的功”用其中一個力的大小與兩物體相對位移的乘積來計算]模型特征：由兩個物體組成的系統(tǒng)，所受合外力為零而相互作用力為一對恒力．規(guī)律種種：⑴動力學(xué)規(guī)律兩物體的加速度大小與質(zhì)量成反比．⑵運動學(xué)規(guī)律兩個做勻變速運動物體的追及問題或相對運動問題．⑶動量規(guī)律系統(tǒng)的總動量守恒．⑷能量規(guī)律力對“子彈”做的功等于“子彈”動能的增量：力對“木塊”做功等于“木塊”動能增量：一對力的功等于系統(tǒng)動能增量：圖象1圖象2t0v長為L的木板A右邊固定著一個擋板，包括擋板在內(nèi)的總質(zhì)量為1.5M，靜止在光滑水平面上，有一質(zhì)量為M的小木塊B，從木板A的左端開始以初速度v0在木板A上滑動，小木塊B與木板A間的摩擦因數(shù)為μ小木塊B滑到木板A的右端與擋板發(fā)生碰撞．已知碰撞過程時間極短，且碰后木板B恰好滑到木板A的左端就停止滑動．求：⑴若在小木塊B與擋板碰撞后的運動過程中，摩擦力對木板A做正功還是做負(fù)功？做多少功？⑵討論木板A和小木塊B在整個運動過程中，是否有可能在某段時間里相對地面運動方向是向左的？如果不可能，說明理由；如果可能，求出能向左滑動，又能保證木板A和小木塊B不脫離的條件．解:

這是典型的“子彈打木塊”模型：A、B間相互作用著一對等大、反向的摩擦力Ff=μMg而系統(tǒng)不受外力，它的變化在于過程中發(fā)生一系統(tǒng)內(nèi)部瞬時的相互碰撞．小木塊B與擋板碰撞前、后及整個過程均遵從動量守恒規(guī)律；A、B兩者加速度大小與質(zhì)量成反比；碰撞前木塊“追”木板，碰撞后則成木板“追”木塊.LBAv0系統(tǒng)運動v-t圖t1t1+t2v0BALABL由系統(tǒng)全過程動量守恒續(xù)解由圖象求出B與擋板碰后時間t2:查閱碰后板A的速度VA:v-t圖由動能定理,摩擦力在碰后過程中對木板A做的功負(fù)功B能有向左運動的階段而又剛好不落下A板應(yīng)滿足兩個條件：一是B與擋板碰后B速度為負(fù):一是一對摩擦力在2L的相對位移上做的功不大于系統(tǒng)動能的增量，即:木塊B可在與擋板碰撞后的一段時間內(nèi)相對地面向左運動并剛好相對靜止在板A的左端

如圖所示，定滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量是2m和m的重物A和B，從靜止開始運動3秒后，A將觸地(無反跳)．試求從A第一次觸地后：⑴經(jīng)過多少時間，A將第二次觸地？⑵經(jīng)過多少時間系統(tǒng)停止運動？

解:⑴整個系統(tǒng)一起運動時初時質(zhì)量為2m的物塊A離地高度

A著地后，繩松，B以初速度

v1=at1=10m/s豎直上拋經(jīng)落回原處并將繩拉緊!此瞬時A、B相互作用，A被拉離地面，由動量守恒

2m此后，兩者以v2為初速度、a=g/3做勻變速運動（先反時針勻減速、后順時針勻加速），回到初位置即A第二次觸地須經(jīng)時間m則A的第一、二次著地總共相隔

續(xù)解⑵第二次著地時兩物塊的速度A再次被拉離地面時兩物塊的速度由

A著地后，繩松，B以初速度

v1/3豎直上拋,經(jīng)落回原處并將繩拉緊!此后，兩者以v3為初速度、a=g/3做勻變速運動（先反時針勻減速、后順時針勻加速），A第三次觸地須經(jīng)時間則A的第二、三次著地總共相隔

以此類推，到第n次著地時

自開始運動到最終停止共用查閱角動量角動量定理力對定點產(chǎn)生的矩αFrO

角動量是一個矢量，其方向由右手螺旋確定，大小是

J＝mrvsina

與質(zhì)點的速度,質(zhì)量以及速度與位矢的交角有關(guān)。rmvaOJ＝mrvsinam角動量vbOmr角動量定理角動量守恒TV＝Rw角動量矢量J小球作圓周運動的張力T對圓心的力矩為零，因此角動量守恒.由于圓半徑不變，質(zhì)點做勻速圓周運動。外力矩L＝0的條件(1)外力F＝0(2)外力的力臂為零（力的作用線通過固定點)(3)每個分力的力矩不為零，但和力矩為零。【開普勒第二定律】任意行星繞太陽橢圓軌道，相等時間內(nèi)位矢掃過的面積相等。角動量守恒F【例題】繞地球做橢圓運動的人造衛(wèi)星，地球是橢圓的一個焦點求衛(wèi)星在橢圓長半徑端點與短半徑端點處速度的關(guān)系。FBA第二十屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽第一題：圖中a為一固定放置的半徑為R的均勻帶電球體，O為其球心．己知取無限遠(yuǎn)處的電勢為零時，球表面處的電勢為U=1000V．在離球心O很遠(yuǎn)的O′點附近有一質(zhì)子b，它以Ek＝2000eV的動能沿與OO平行的方向射向a．以l表示b與OO線之間的垂直距離，要使質(zhì)子b能夠與帶電球體a的表面相碰，試求l的最大值．把質(zhì)子換成電子，再求l的最大值．v0bacde牛頓的草圖-天體的運動軌跡軌道與能量機械能守恒支配天體運動的守恒定律引力勢能動量守恒軌道與能量

兩個天體相互作用過程中，如果其它星系離它們很遙遠(yuǎn)，對它們的作用可以忽略的話，這兩個天體的總動量守恒，兩個天體從相距很遠(yuǎn)到相互作用直到遠(yuǎn)離，它們的始末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用的前后相對速度遵守“反射定律”，如果是一維方向上的“彈性碰撞”，則相對速度等值反向．若一個飛船向外噴氣或拋射物體，則系統(tǒng)的動量守恒而機械能不守恒．

角動量守恒角動量

若作用在質(zhì)點上的力對某定點的力矩為零，則質(zhì)點對該定點的角動量保持不變，這就是質(zhì)點的角動量守恒定律．物體在受有心力作用而繞著中心天體運動，或幾個天體互相繞其系統(tǒng)質(zhì)心運動時，由于有心力必過力心，對力心的力矩為零，故系統(tǒng)的角動量守恒．即．示例模型與方法

假設(shè)地球是一個均勻球體，現(xiàn)在地球的東半球北緯30°的a處開一個穿過地軸的直線隧道直通西半球北緯30°的b處，如圖所示．已知地球的半徑是6370km，地面的重力加速度g=9.8m/s2，第一宇宙速度v1=7.9km/s，假設(shè)隧道光滑．現(xiàn)將一個物體以v=v1/3的初速度從a處拋入隧道，問物體從b處出來后能飛離地面的最大高度是多少？解:ab30°解題方向考慮對稱性，物體從b處飛出的速度大小為v1/3，此后在地心引力作用下沿一橢圓軌道的遠(yuǎn)地橢圓弧運動；由守恒定律求最大高度.由機械能守恒有

hV由角動量守恒有

RR+hXAO

如圖，一質(zhì)量為m＝12t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉(zhuǎn)，其高度h＝100km．為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動機在X點做一次短時間發(fā)動．從噴口噴出的熱氣流相對飛船的速度為u＝10km/s．月球半徑R＝1700km，月球表面上自由落體的重力加速度為g月=1.7m/s2．飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球：⑴到達(dá)月球上的A點，該點正好與X點相對；⑵在X點給一指向月球中心的動量后，與月球表面相切于B點．試計算上述兩種情況下所需的燃料量．例解:⑴按此方式，飛船橢圓軌道X為遠(yuǎn)月點，A為近月點，XA為長軸，月心為焦點，vX由牛頓草圖可知，飛船在X點是向運動方向噴氣減速而成設(shè)飛船做圓運動時速率為v0

vA由機械能守恒有

由角動量守恒有

飛船噴氣過程動量守恒:代入題給數(shù)據(jù)得:

XAXAB⑴⑵讀題XBOvBvR⑵按此方式，飛船向背離月球方向噴氣后獲得的指向月心的速度vR，飛船在X點的速度變?yōu)関X由機械能守恒有

由角動量守恒有

飛船噴氣過程沿徑向動量守恒:

一衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道上運動，旋轉(zhuǎn)周期為Ｔ，如果給衛(wèi)星一個附加的徑向速度un或一個附加的切向速度ut，衛(wèi)星都將沿一個橢圓軌道運動．⑴確定在上述二種情況中衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期．⑵所附加的徑向速度un和切向速度ut必須滿足什么關(guān)系，才能使兩種情況下，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)周期相等？解:⑴衛(wèi)星在半徑r軌道圓運動速度為中心天體質(zhì)量為M、“遠(yuǎn)(近)地點”速度為V、矢徑為rn（t）衛(wèi)星附加速度u為徑向時讀圖機械能守恒角動量守恒對同一環(huán)繞中心，兩軌道周期滿足衛(wèi)星附加速度u為切向時⑵要使Tn=T，根據(jù)開普勒第三定律，必有an=at，即有原軌道原軌道vur變軌道rnV2an續(xù)解vu變軌道2atVrt衛(wèi)星附加速度u為徑向時衛(wèi)星附加速度u為切向時

遠(yuǎn)點在木星軌道而繞日運行的彗星稱為木星彗星，它的形成可看成是從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體經(jīng)木星碰撞偏轉(zhuǎn)而成為太陽的彗星，求其近日點．（已知木星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為R）

解:理想化模型：從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體在木星軌道經(jīng)與木星發(fā)生“彈性碰撞”改變運動方向進(jìn)入繞日軌道，如圖．木星軌道太陽v0vVv1得木星“碰撞”前速度為由機械能守恒，從無限遠(yuǎn)處被太陽吸引到木星軌道附近時速度v滿足與木星“完全彈性碰撞”過程速度矢量關(guān)系如圖：續(xù)解v0vV接近V分離V“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相等！天體進(jìn)入太陽彗星軌道，設(shè)其繞日軌道近日點距太陽r，過近日點時速度為v1讀圖由機械能守恒有

由角動量守恒有

質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星沿半徑為r0的圓軌道飛行，地球質(zhì)量為M．若衛(wèi)星運動中受