線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合

本章簡介本章討論線性系統(tǒng)的系統(tǒng)綜合問題主要介紹狀態(tài)空間分析方法在系統(tǒng)控制與綜合中的應(yīng)用，主要內(nèi)容為狀態(tài)反饋與輸出反饋極點配置系統(tǒng)鎮(zhèn)定全維狀態(tài)觀測器第六章線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合目錄6.1引言6.2狀態(tài)反饋與輸出反饋6.3狀態(tài)反饋極點配置6.4輸出反饋極點配置6.5狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定6.6全維狀態(tài)觀測器6.7基于觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的特性6.8Matlab問題本章小結(jié)由三個要素組成：1)受控系統(tǒng)受控系統(tǒng)是綜合問題的對象。為了簡單起見，一般為連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)(A,B,C)。2)性能指標(biāo)性能指標(biāo)是綜合問題的目標(biāo)。一般為性能函數(shù)。3)控制輸入控制輸入是實現(xiàn)綜合問題目標(biāo)的手段。常選用反饋控制形式。系統(tǒng)綜合就是，對給定的受控系統(tǒng)，確定反饋形式的一個控制u，使所導(dǎo)出的閉環(huán)控制系統(tǒng)的運動行為達(dá)到或優(yōu)于指定的期望性能指標(biāo)。1.問題的提出系統(tǒng)綜合是系統(tǒng)分析的逆問題。系統(tǒng)分析問題即為對已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，以及確定好系統(tǒng)的外部輸入(系統(tǒng)激勵)下，對系統(tǒng)運動進(jìn)行定性分析如能控性、能觀性、穩(wěn)定性等而系統(tǒng)綜合問題為已知系統(tǒng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，以及所期望的系統(tǒng)運動形式或關(guān)于系統(tǒng)運動動態(tài)過程和目標(biāo)的某些特征，所需要確定的是則需要施加于系統(tǒng)的外部輸入的大小或規(guī)律。6.1引言2.性能指標(biāo)的類型綜合問題的性能指標(biāo)函數(shù)可分為優(yōu)化型和非優(yōu)化型性能指標(biāo)兩者差別在于:優(yōu)化性能指標(biāo)是一類極值型指標(biāo)，綜合的目的是使該性能指標(biāo)函數(shù)取極小(極大)；而非優(yōu)化型性能指標(biāo)是一類由不等式約束的性能指標(biāo)，一般只要求解的控制規(guī)律對應(yīng)的性能指標(biāo)達(dá)到或好于期望性能指標(biāo)。對優(yōu)化型性能指標(biāo)，需要函數(shù)優(yōu)化理論和泛函理論求解控制規(guī)律；而對非優(yōu)化型性能指標(biāo)一般存在解析方法求解控制規(guī)律，如極點配置方法。常用的非優(yōu)化型性能指標(biāo)提法有以下幾種。以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題為鎮(zhèn)定問題。以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點位置或極點凸約束區(qū)域(空間)為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題為極點配置問題。將一個MIMO系統(tǒng)通過反饋控制實現(xiàn)一個輸入只控制一個輸出的系統(tǒng)綜合問題稱為系統(tǒng)解耦問題。系統(tǒng)解耦對于高維復(fù)雜系統(tǒng)尤為重要。以使系統(tǒng)的輸出y(t)無靜差地跟蹤一個外部信號y0(t)作為性能指標(biāo)，相應(yīng)得綜合問題稱為跟蹤問題。3.工程實現(xiàn)狀態(tài)獲取問題（狀態(tài)反饋的物理構(gòu)成）對狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，要實現(xiàn)已求解的狀態(tài)反饋規(guī)律，需要獲取被控系統(tǒng)的狀態(tài)信息，以構(gòu)成反饋。但對許多實際系統(tǒng)，所考慮的狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部信息的一組變量，可能并不完全能直接測量或以經(jīng)濟的方式測量。這就需要基于狀態(tài)觀測理論，根據(jù)系統(tǒng)模型，利用直接測量到的輸入輸出信息來構(gòu)造或重構(gòu)狀態(tài)變量信息。相應(yīng)的理論問題稱為狀態(tài)重構(gòu)問題，即觀測器問題。建模誤差和參數(shù)攝動問題對系統(tǒng)綜合問題，首先需建立一個描述系統(tǒng)動力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型。并且，系統(tǒng)分析與綜合都是建立在模型基礎(chǔ)上的。系統(tǒng)模型是理想與現(xiàn)實，精確描述與簡化描述的折中，任何模型都會有建模誤差。此外，由于系統(tǒng)本身的復(fù)雜性及其所處環(huán)境的復(fù)雜性，系統(tǒng)的動力學(xué)特性會產(chǎn)生緩慢變化。這種變化在一定程度上可視為系統(tǒng)模型的參數(shù)攝動。這樣，基于理想模型綜合得到的控制器，運用于實際系統(tǒng)中所構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，對這些建模誤差和參數(shù)攝動是否具有良好的抗干擾性(不敏感性)，是否使系統(tǒng)保持穩(wěn)定，是否使系統(tǒng)達(dá)到或接近預(yù)期的性能指標(biāo)成為控制系統(tǒng)實現(xiàn)的關(guān)鍵問題。該問題稱為系統(tǒng)魯棒性問題?；谔岣呦到y(tǒng)魯棒性的控制綜合方法也稱為魯棒控制方法。擾動抑制問題綜合問題最基本的任務(wù)是，對給定的被控系統(tǒng)設(shè)計能滿足所期望的性能指標(biāo)的閉環(huán)控制系統(tǒng)，即尋找反饋控制律。狀態(tài)反饋和輸出反饋是控制系統(tǒng)設(shè)計中兩種主要的反饋策略，其意義分別為將觀測到的狀態(tài)和輸出取作反饋量以構(gòu)成反饋律，實現(xiàn)對系統(tǒng)的閉環(huán)控制，以達(dá)到期望的對系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求。在經(jīng)典控制理論中，一般只考慮由系統(tǒng)的輸出變量來構(gòu)成反饋律，即輸出反饋。在現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間分析方法中，多考慮采用狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋律，即狀態(tài)反饋。6.2狀態(tài)反饋與輸出反饋1.狀態(tài)反饋對線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C),若取系統(tǒng)的狀態(tài)變量來構(gòu)成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為狀態(tài)反饋系統(tǒng)。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可如圖6-1所示圖6-1狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖其中K為rn維的實矩陣，稱為狀態(tài)反饋矩陣；v為r維的輸入向量，亦稱為伺服輸入。將狀態(tài)反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程，可得如下狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下:設(shè)開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和狀態(tài)反饋律分別記為狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為K(A-BK,B,C)，其傳遞函數(shù)陣為:GK(s)=C(sI-A+BK)-1B由狀態(tài)能控性PBH秩判據(jù)，被控系統(tǒng)(A,B,C)采用狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的能控性可由條件rank[I-A+BKB]=n

來判定，而上式即表明狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。狀態(tài)反饋可能改變狀態(tài)能觀性。由能控規(guī)范形的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表明，狀態(tài)反饋雖然可以改變系統(tǒng)的極點，但不能改變系統(tǒng)的零點。當(dāng)被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控時，其極點可以進(jìn)行任意配置。因此，當(dāng)狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點恰好配置與開環(huán)的零點重合時，則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中將存在零極點相消現(xiàn)象。根據(jù)零極點相消定理可知，閉環(huán)系統(tǒng)或狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀。由于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)保持其開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控特性，故該閉環(huán)系統(tǒng)只能是狀態(tài)不完全能觀的。這說明了狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。從以上說明亦可得知，若SISO系統(tǒng)沒有零點，則狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。2.輸出反饋對線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C)，若取系統(tǒng)的輸出變量來構(gòu)成反饋，則所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為輸出反饋控制系統(tǒng)。輸出反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖6-2所示。圖6-2輸出反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與狀態(tài)反饋有何不同?輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下:開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和輸出反饋律分別為其中H為rm維的實矩陣，稱為輸出反饋矩陣。將輸出反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程，則可得如下輸出反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:u=-Hy+vy=Cx輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為H(A-BHC,B,C)，其傳遞函數(shù)陣為:GH(s)=C(sI-A+BHC)-1B由狀態(tài)反饋和輸出反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可知，輸出反饋其實可以視為當(dāng)K=HC時的狀態(tài)反饋。因此，在進(jìn)行系統(tǒng)分析時，輸出反饋可看作狀態(tài)反饋的一種特例。反之，則不然。由此也可知，狀態(tài)反饋可以達(dá)到比輸出反饋更好的控制品質(zhì)，更佳的性能；但物理實現(xiàn)而言，輸出反饋要優(yōu)于狀態(tài)反饋。由于輸出反饋可視為狀態(tài)反饋在K=HC時的特例，故輸出反饋亦不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性。對線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標(biāo)，在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點位置所決定的。因此在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計時,設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指標(biāo)的極點，可以有效地改善系統(tǒng)的性能。這樣的控制系統(tǒng)設(shè)計方法稱為極點配置。在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，無論采用頻率域法還是根軌跡法，都是通過改變極點的位置來改善性能指標(biāo)，本質(zhì)上均屬于極點配置方法。6.3狀態(tài)反饋極點配置本節(jié)所討論得極點配置問題,則是指如何通過狀態(tài)反饋陣K的選擇，使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好處于預(yù)先選擇的一組期望極點上。由于線性定常系統(tǒng)的特征多項式為實系數(shù)多項式，因此考慮到問題的可解性，對期望的極點的選擇應(yīng)注意下列問題:1)對于n階系統(tǒng)，可以而且必須給出n個期望的極點;2)期望的極點必須是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)；3)期望的極點必須體現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)等的要求。基于指定的期望閉環(huán)極點，線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點配置問題可描述為:給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)確定反饋控制律使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在指定的n個期望的閉環(huán)極點也就是成立本節(jié)主要討論兩方面的問題：其一，閉環(huán)極點可任意配置的條件；其二，如何設(shè)計反饋增益陣使閉環(huán)極點配置在期望極點處。為簡單起見，僅討論單輸入單輸出系統(tǒng)。定理6-1對線性定常系統(tǒng)(A,B,C)利用線性狀態(tài)反饋陣K，能使閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的極點任意配置的充分必要條件為被控系統(tǒng)(A,B,C)狀態(tài)完全能控。1.狀態(tài)反饋極點配置定理2.系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置的算法方法一標(biāo)準(zhǔn)算法

該算法適用系統(tǒng)維數(shù)n等于或大于4（1）考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。（2）利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項式確定出3．確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P。若給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，那么P=I。非奇異線性變換矩陣P

可給出，即其中Qc為能控性矩陣，即Qc=[B

AB…An-1B]P=QcW5．此時的狀態(tài)反饋增益矩陣

為4．利用給定的期望閉環(huán)極點，可寫出期望的特征多項式為確定出確定出確定出5．此時的狀態(tài)反饋增益矩陣

為確定出

方法二解聯(lián)立方程

如果是低階系統(tǒng)(n≤3)，則將線性反饋增益矩陣K直接代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式，可能更為簡便。例如，若n=3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為進(jìn)而將此代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式使其等于期望的閉環(huán)極點

即例6-1考慮如下線性定常系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋控制

，希望該系統(tǒng)的閉環(huán)極點為s=-2±j4和s=-10，試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。解：(1)首先需檢驗該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：rankQc

=3。因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點。c方法1：(2)該系統(tǒng)的特征方程為：因此(3)期望的特征方程為可得因此方法2：(2)設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益矩陣為并使和期望的特征多項式相等，可得(3)使其兩端的同次冪系數(shù)相等因此可得由于輸出變量空間可視為狀態(tài)變量空間的子空間，因此輸出反饋也稱之為部分狀態(tài)反饋。由于輸出反饋包含的信息較狀態(tài)反饋所包含的信息少，因此輸出反饋的控制與鎮(zhèn)定能力必然要比狀態(tài)反饋弱。6.4輸出反饋極點配置線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出反饋極點配置問題可描述為:給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)確定反饋控制律使得輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在指定的n個期望的閉環(huán)極點也就是成立輸出反饋對能控能觀系統(tǒng)可以改變極點位置，但不能進(jìn)行任意的極點配置。故欲使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定或具有所期望的閉環(huán)極點，要盡可能采取狀態(tài)反饋控制或動態(tài)輸出反饋控制(動態(tài)補償器)。定理6-2對能控能觀的線性定常系統(tǒng)Σ(A,B,C)，可采用靜態(tài)輸出反饋進(jìn)行“幾乎”任意接近地配置p=min{n,m+r-1}個極點。定理6-2中的n,m,r分別為狀態(tài)空間、輸出空間和輸入空間的維數(shù)，“幾乎”任意接近地配置極點的意義為可以任意地接近于指定的期望極點位置，但并不意味著能確定配置在指定的期望極點位置上。6.5狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定受控系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，這樣的問題稱為鎮(zhèn)定問題。能通過反饋控制而達(dá)到漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)是可鎮(zhèn)定的。鎮(zhèn)定只要求閉環(huán)極點位于復(fù)平面的左半開平面之內(nèi)。鎮(zhèn)定問題的重要性主要體現(xiàn)在3個方面:首先，穩(wěn)定性往往是控制系統(tǒng)能夠正常工作的必要條件，是對控制系統(tǒng)的最基本的要求；其次，許多實際的控制系統(tǒng)是以漸近穩(wěn)定作為最終設(shè)計目標(biāo)；最后，穩(wěn)定性往往還是確保控制系統(tǒng)具有其它性能和條件，如漸近跟蹤控制問題等。鎮(zhèn)定問題是系統(tǒng)極點配置問題的一種特殊情況，它只要求把閉環(huán)極點配置在s平面的左側(cè)，而并不要求將極點嚴(yán)格配置在期望的極點上。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，只需將那些不穩(wěn)定因子，即具有非負(fù)實部的極點，配置到s平面的左半開平面即可。因此，通過狀態(tài)反饋矩陣使系統(tǒng)的特征值得到相應(yīng)配置，把系統(tǒng)的特征值(即的特征值)配置在平面的左半開平面就可以實現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。定理6-3狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)(A,B,C)可經(jīng)狀態(tài)反饋矩陣鎮(zhèn)定。證明根據(jù)狀態(tài)反饋極點配置定理6-1，對狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)，可以進(jìn)行任意極點配置。因此，也就肯定可以通過狀態(tài)反饋矩陣K將系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在s平面的左半開平面之內(nèi)，即閉環(huán)系統(tǒng)是鎮(zhèn)定的。故證明了完全能控的系統(tǒng)必定是可鎮(zhèn)定的。定理6-4若系統(tǒng)(A,B,C)是不完全能控的，則線性狀態(tài)反饋使系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充要條件是系統(tǒng)的完全不能控部分是漸近穩(wěn)定的(特征值均具有負(fù)實部)，即系統(tǒng)(A,B,C)不穩(wěn)定的極點只分布在系統(tǒng)的能控部分?；诰€性系統(tǒng)能控結(jié)構(gòu)分解方法和狀態(tài)反饋極點配置方法，可得到如下狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定算法。狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定算法:

步1:將可鎮(zhèn)定的系統(tǒng)(A,B,C)進(jìn)行能控性分解，獲得變換矩陣Pc,并可得到其中，為完全能控部分,為完全不能控部分但漸近穩(wěn)定。步2:利用極點配置算法求取狀態(tài)反饋矩陣，使得

具有一組穩(wěn)定特征值（任意實部為負(fù)的特征值）。步3:

計算原系統(tǒng)(A,B,C)可鎮(zhèn)定的狀態(tài)反饋矩陣?yán)?-2給定線性定常系統(tǒng)試設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣K，使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。解:1)

對系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解。表明系統(tǒng)不完全能控。取能控性分解變換矩陣Pc為:于是可得原系統(tǒng)的能控性分解為由于該系統(tǒng)的不能控部分只有一個具有負(fù)實部的極點-1，因此不能控子系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)是可鎮(zhèn)定的。設(shè)A*為具有期望特征值的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣，且，本例中設(shè)期望的閉環(huán)極點取為-3和-2。因此有顯然，當(dāng)反饋陣為2)

對能控部分進(jìn)行極點配置由上可知，系統(tǒng)的能控部分為此時，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A*為3)

求取原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定矩陣經(jīng)檢驗，經(jīng)狀態(tài)反饋后得到的如下閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為鎮(zhèn)定的。6.6全維狀態(tài)觀測器對狀態(tài)能控的線性定常系統(tǒng)，可以通過線性狀態(tài)反饋來進(jìn)行任意極點配置，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點及性能品質(zhì)指標(biāo)。但是，由于描述內(nèi)部運動特性的狀態(tài)變量有時并不是能直接測量的，更甚者有時并沒有實際物理量與之直接相對應(yīng)而為一種抽象的數(shù)學(xué)變量。在這些情況下，以狀態(tài)變量作為反饋變量來構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶來了具體工程實現(xiàn)上的困難。為此，人們提出了狀態(tài)變量的重構(gòu)或觀測估計問題?所謂的狀態(tài)變量的重構(gòu)或觀測估計問題，即設(shè)法另外構(gòu)造一個物理可實現(xiàn)的動態(tài)系統(tǒng),它以原系統(tǒng)的輸入和輸出作為它的輸入，而它的狀態(tài)變量的值能漸近逼近原系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值或者其某種線性組合，則這種漸近逼近的狀態(tài)變量的值即為原系統(tǒng)的狀態(tài)變量的估計值，并可用于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)中代替原狀態(tài)變量作為反饋量來構(gòu)成狀態(tài)反饋律。這種重構(gòu)或估計系統(tǒng)狀態(tài)變量值的裝置稱為狀態(tài)觀測器，它可以是由電子、電氣等裝置構(gòu)成的物理系統(tǒng)，亦可以是由計算機和計算模型及軟件來實現(xiàn)的軟系統(tǒng)。狀態(tài)觀測器指不考慮噪聲干擾下狀態(tài)值的觀測或估計問題，即所有測量值都準(zhǔn)確無差且原系統(tǒng)內(nèi)外部無噪聲干擾。對于存在噪聲干擾時的狀態(tài)觀測或估計問題，則可用卡爾曼濾波器理論來分析討論(最優(yōu)估計)。在這里設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A、輸入矩陣B和輸出矩陣C都已知。這里的問題是：若狀態(tài)變量x(t)不能完全直接測量到，如何構(gòu)造一個系統(tǒng)隨時估計該狀態(tài)變量x(t)。1.全維觀測器的構(gòu)造思路設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為(A,B,C)，即為對此問題一個直觀想法是：利用仿真技術(shù)來構(gòu)造一個和被控系統(tǒng)有同樣動力學(xué)性質(zhì)(即有同樣的系數(shù)矩陣A,B和C)的如下系統(tǒng)來重構(gòu)被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量:其中

為被控系統(tǒng)狀態(tài)變量x(t)的估計值。如果對任意矩陣A的情況都能設(shè)計出相應(yīng)的狀態(tài)觀測器，對于任意的被控系統(tǒng)的初始狀態(tài)都能滿足下列條件:即狀態(tài)估計值可以漸近逼近被估計系統(tǒng)的狀態(tài)。利用輸出變量對狀態(tài)估計值進(jìn)行修正的思想和狀態(tài)估計誤差須漸近趨于零的狀態(tài)觀測器的條件，可得如下狀態(tài)觀測器:其中G稱為狀態(tài)觀測器的反饋矩陣。0)(?)(Lim=-?￥tttxx該狀態(tài)估計器稱為全維狀態(tài)觀測器，也稱為漸進(jìn)狀態(tài)觀測器，其結(jié)構(gòu)如下圖所示。圖6-3漸近狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖2.引入反饋項的必要性未引入輸出反饋項的狀態(tài)估計系統(tǒng)稱為開環(huán)狀態(tài)觀測器，簡記為圖6-4開環(huán)狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖其結(jié)構(gòu)如下圖所示比較系統(tǒng)(A,B,C)和

的狀態(tài)變量，有則狀態(tài)估計誤差

的解為顯然，當(dāng)時，則有,即估計值與真實值完全相等。但是，一般情況下是很難做到這一點的。這是因為：2.若矩陣A的某特征值位于s平面的虛軸或右半開平面上(實部0)，則矩陣指數(shù)函數(shù)eAt中包含有隨時間t趨于無窮的元素。1.有些被控系統(tǒng)難以得到初始狀態(tài)變量x(0)，即不能保證；此時若或出現(xiàn)對被控系統(tǒng)狀態(tài)x(t)或狀態(tài)觀測器狀態(tài)的擾動，則將導(dǎo)致狀態(tài)估計誤差將不趨于零而為趨于無窮或產(chǎn)生等幅振蕩。所以，由于上述狀態(tài)觀測器不能保證其估計誤差收斂到零，易受噪聲和干擾影響，收斂速度不能由設(shè)計者調(diào)整，其應(yīng)用范圍受到較大的限制。引入輸出反饋后，狀態(tài)估計誤差:則有上述誤差方程的解為顯然，當(dāng)狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣A-GC的所有特征值位于s平面的左半開平面，即具有負(fù)實部,因此，狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題歸結(jié)為求反饋矩陣G，使A-GC的所有特征值具有負(fù)實部及所期望的衰減速度，即狀態(tài)觀測器的極點是否可任意配置問題。定理漸近狀態(tài)觀測器的極點可以任意配置，即通過矩陣G任意配置A-GC的特征值的充要條件為矩陣對(A,C)能觀。則無論

等于x(0)否，狀態(tài)估計誤差

將隨時間t趨于無窮而衰減至零，觀測器為漸近穩(wěn)定的。與狀態(tài)反饋的極點配置問題類似，對狀態(tài)觀測器的極點配置問題，對期望的極點的選擇應(yīng)注意下列問題:1.對于n階系統(tǒng)，可以而且必須給出n個期望的極點。2.期望極點必須是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。3.為使基于狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)有更好的暫態(tài)過渡過程，狀態(tài)觀測部分應(yīng)比原被控系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的控制部分有更快的時間常數(shù)(衰減更快)，即狀態(tài)觀測部分的極點比其它部分的極點應(yīng)當(dāng)更遠(yuǎn)離虛軸。由上述分析過程，類似于狀態(tài)反饋的極點配置技術(shù)，有如下狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法。方法一比較特征多項式

（1）考察系統(tǒng)的能觀性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的，則可按下列步驟繼續(xù)。（2）由于觀測器的狀態(tài)方程為則觀測器的特征多項式為其中（3）希望特征值對應(yīng)的特征多項式（4）兩特征多項式系數(shù)比較，得方法二標(biāo)準(zhǔn)算法（1）先通過非奇異線性變換，將狀態(tài)完全能觀的被控系統(tǒng)Σ(A,C)變換成能觀規(guī)范形。（2）對能觀規(guī)范形進(jìn)行極點配置，求得相應(yīng)的能觀規(guī)范形的觀測器的反饋陣Gz，如下（3）原系統(tǒng)Σ(A,B,C)的相應(yīng)狀態(tài)觀測器的反饋陣G為úúúúú?ùêêêêê?é---=--1*11*1*aaaaaaGznnnnM其中ai*和ai(i=1,2,…,n)分別為期望的狀態(tài)觀測器的極點所決定的特征多項式的系數(shù)和原被控系統(tǒng)的特征多項式的系數(shù)。例6-3

系統(tǒng)方程為要求設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，其特征值為-3、-4、-5.解（1）首先判斷系統(tǒng)的能觀測性系統(tǒng)能觀測，可設(shè)計觀測器。設(shè)：其中，待定（2）希望特征值對應(yīng)的特征多項式而狀態(tài)觀測器的特征多項式（3）同次冪系數(shù)分別相等，可以得出例6-4給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)計一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的極點為，。解:

（1）首先判斷系統(tǒng)的能觀測性系統(tǒng)完全能觀測的，可構(gòu)造任意配置特征值全維狀態(tài)觀測器。*15l=-（2）求A特征值對應(yīng)的特征多項式（3）觀測器的期望特征多項式為得求新的狀態(tài)的反饋矩陣（4）計算變換矩陣（5）求所需的反饋矩陣得全維狀態(tài)觀測器6.7基于觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的特性狀態(tài)觀測器解決了狀態(tài)變量不能直接測量的系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，它為用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)控制奠定了基礎(chǔ)。本節(jié)主要研究利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特性。設(shè)系統(tǒng)(A,B,C)狀態(tài)能控又能觀，則該系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋進(jìn)行極點配置，以及能建立全維狀態(tài)觀測器并對其進(jìn)行極點配置。若系統(tǒng)(A,B,C)的狀態(tài)變量不能直接測量，則可由狀態(tài)觀測器提供的狀態(tài)變量的估計值來構(gòu)成狀態(tài)反饋律。即對線性定常連續(xù)系統(tǒng)其全維狀態(tài)觀測器為設(shè)基于狀態(tài)觀測值的狀態(tài)反饋律為帶全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖6-5所示。圖6-5帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖下面分析上述帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的觀測誤差：首先，定義狀態(tài)觀測誤差為另閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程又可記為代入被控系統(tǒng)和狀態(tài)觀測器的輸出方程增加/減去-BKx項則有因此，帶全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為由上述帶全維狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，可得該閉環(huán)系統(tǒng)的如下幾點特性:1.分離特性由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程可知，整個閉環(huán)系統(tǒng)的特征值由矩陣塊A-BK的特征值和矩陣塊A-GC的特征值所組成，即由狀態(tài)反饋部分的特征值和狀態(tài)觀測器部分的特征值所組成。這兩部分的特征值可單獨設(shè)計(配置)，互不影響，這種特性稱為狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測器的分離特性。2.傳遞函數(shù)的不變性由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，可得帶觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣如下:因此，帶觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣完全等于直接采用狀態(tài)變量作反饋量的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,即狀態(tài)觀測器不改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，也就是不改變閉環(huán)系統(tǒng)的外部輸入輸出特性。3.狀態(tài)觀測誤差不能控由閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程可知，狀態(tài)觀測誤差是不能控的，即不能由外部輸入去影響它。只要矩陣A-GC的特征值具有負(fù)實部，則

不管輸入信號如何，則一定按A-GC所確定的衰減速度衰減至零。本章討論系統(tǒng)綜合問題，涉及的主要計算問題有連續(xù)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與極點配置、系統(tǒng)鎮(zhèn)定、系統(tǒng)解耦、狀態(tài)規(guī)測器設(shè)計等。本節(jié)將討論上述問題基于Matlab的問題求解和系統(tǒng)仿真。6.8Matlab問題1.單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置函數(shù)acker()的調(diào)用格式為k=acker(A,b,p)其中，輸入的A和b分別為單輸入系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣;p為給定的期望閉環(huán)極點所組成的一維數(shù)組；輸出k為求得的狀態(tài)反饋矩陣。由于單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置問題的反饋矩陣K的解具有惟一性，因此函數(shù)acker()求得的反饋矩陣與6.3節(jié)介紹的求解結(jié)果完全一致。Matlab在求得反饋矩陣后，就可以構(gòu)造反饋系統(tǒng)，進(jìn)行反饋系統(tǒng)的仿真與分析了。Matlab問題6-1試在Matlab中計算系統(tǒng)在期望的閉環(huán)極點為-1±j2時的狀態(tài)反饋矩陣，并計算閉環(huán)系統(tǒng)的初始狀態(tài)響應(yīng)并繪出響應(yīng)曲線。Matlab程序m6-1如下。A=[-1-2;-13];b=[2;1];x0=[2;-3];p=[-1+2j-1-2j];k=acker(A,b,p);A_c=A-b*k;sys=ss(A_c,b,[],[]);[y,t,x]=initial(sys,x0);plot(t,x);%賦值開環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣%賦值系統(tǒng)的初始狀態(tài)%賦值期望的閉環(huán)極點%計算基于極點配置的狀態(tài)反饋矩陣%計算閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣%建立閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程%求解狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的初始狀態(tài)響應(yīng)%繪制狀態(tài)軌線圖Matlab程序m6-2執(zhí)行結(jié)果如下.輸出的閉環(huán)系統(tǒng)初始狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖6-6所示。k=-2.33338.6667圖6-6Matlab問題的閉環(huán)系統(tǒng)初始狀態(tài)響應(yīng)用公式的計算結(jié)果結(jié)果完全一致2.全維狀態(tài)觀測器設(shè)計基于前面介紹的狀態(tài)反饋極點配置函數(shù)acker()、place()和canon_place()，通過對偶原理,可以實現(xiàn)全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計。對于狀態(tài)觀測器的運動軌跡分析(即狀態(tài)觀測器的狀態(tài)響應(yīng)、狀態(tài)觀測值的求解)問題，Matlab沒有提供相應(yīng)的函數(shù)。設(shè)計一個用于狀態(tài)觀測器仿真的函數(shù)obsv_lsim()，可以方便地進(jìn)行狀態(tài)觀測值的求解。狀態(tài)觀測器仿真函數(shù)obsv_lsim()的源程序為function[yt,eyt,t,xt,ext]=obsv_lsim(sys,G,u,t,x0,ex0)%定義函數(shù)的調(diào)用格式n=size(sys.a,1);%取狀態(tài)變量維數(shù)[yt,t,xt]=lsim(sys,u,t,x0);

%仿真被控系統(tǒng),求取其狀態(tài)和輸出響應(yīng)obsv_u=sys.b*u'+G*yt';%將Gy+Bu作為觀測器的輸入obsv_sys=ss(sys.a-G*sys.c,eye(n),sys.c,sys.d);%建立觀測器的仿真模型[eyt,t,ext]=lsim(obsv_sys,obsv_u,t,ex0);%仿真觀測器,求取狀態(tài)觀測值

其中，輸入格式的sys為被控對象模型,G為狀態(tài)觀測器增益矩陣,x0和ex0分別為被控對象和狀態(tài)觀測器的初始狀態(tài),u和t分別為被控系統(tǒng)的輸入信號采樣序列和時間數(shù)組;輸出格式的yt和xt為被控對象的輸出響應(yīng)和狀態(tài)響應(yīng),eyt和ext分別為狀態(tài)觀測器的輸出和狀態(tài)的估計值。Matlab問題6-2

試在Matlab中計算系統(tǒng)的全維狀態(tài)觀測器并仿真系統(tǒng)和狀態(tài)觀測器的運行，其中期望的觀測器極點為-3,-4,-5。A=[100;3-11;020];B=[2;1