第7章 一階電路

第7章一階電路§7.3一階電路的零輸入響應(yīng)§7.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)§7.5一階電路的全響應(yīng)§7.1電路中的過渡過程§7.2動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件§7.6一階電路的三要素法§7.7一階電路的單位階躍響應(yīng)和單位沖擊響應(yīng)2+-usR1R2（t=0）i0ti過渡期為零電阻電路i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)+–uCUsRCi

(t→)前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0?i有一過渡期電容電路3i=0,uC=0i=0,uC=Us前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)第二個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0i有一過渡期第三個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)+–uCUsRCi

(t<t2)K+–uCRCi

(t=t2)4i=0,uL=0uL=0,i=Us/R前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?UL有一過渡期K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→)電感電路5K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uL=uL=0,i=Us/RK斷開瞬間K+–uLUsRLi+–uLUsRLi

(t→)注意工程實(shí)際中的過電壓過電流現(xiàn)象6§7.1電路中的過渡過程Usuct充電前穩(wěn)態(tài)充電后穩(wěn)態(tài)充電過程(過渡過程）

電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過渡到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，所經(jīng)歷的隨時(shí)間變化的電磁過程，稱為過渡過程。1、換路電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)的突然改變。72、產(chǎn)生過渡過程的條件換路電路中含有儲(chǔ)能元件∞過渡過程產(chǎn)生的原因：儲(chǔ)能元件能量的存儲(chǔ)與釋放不能突變。3、研究過渡過程的基本方法時(shí)域分析（經(jīng)典法）復(fù)頻域分析法8§7.2動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件一、換路定律電感電流不能突變電容電壓不能突變即：uc(0+)=uc(0-)

q(0+)=q(0-)iL(0+)=iL(0-)換路定律二、電路的初始條件

電路初始條件要根據(jù)換路定則來確定。下面通過例題說明電路初始條件的求解。9[例1]

圖示電路，開關(guān)K換位前電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，求K換位后瞬間各支路電流和電感兩端的電壓。已知US1=24V，US2=12V，R1=1W，R2=2W，

R3=4W，L=0.2H，C=4mF。

例1題圖解：

由于開關(guān)K換位前電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路，0－時(shí)刻的等效電路如圖（a）所示可求得：根據(jù)換路定則知：

10用數(shù)值為uc(0+)的電壓源替代電容，用數(shù)值為iL(0+)的電流源替代電感，即為0＋時(shí)刻的等效電路，如圖（b）所示。由0＋時(shí)刻的等效電路求得：

獨(dú)立初始條件：

將在換路時(shí)刻不能發(fā)生突變的物理量在t＝0＋時(shí)刻的值稱為獨(dú)立初始條件。非獨(dú)立初始條件：

將在換路時(shí)刻可以發(fā)生突變的物理量在t＝0＋時(shí)刻的值稱為非獨(dú)立初始條件。11求初始值的步驟:1.由換路前電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；2.由換路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.畫0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a.換路后的電路（取0+時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。12§7.3一階電路的零輸入響應(yīng)所謂一階電路是指只含有一個(gè)獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的電路。根據(jù)KVL知：該一階常系數(shù)齊次微分方程通解為：其中K為待定常數(shù)，p為特征根。

特征方程為：特征根：一、RC電路的零輸入響應(yīng)13代入初始條件確定待定常數(shù)K（1）（2）由式（1）、（2）知在相同的初始值下，電阻R與電容C的乘積越大，uc、i曲線的衰減就越慢，反之就越快，

定義：為RC一階電路的時(shí)間常數(shù)，其單位為秒（s）

14二、RL電路的零輸入響應(yīng)

圖5是一個(gè)RL電路，t=0時(shí)開關(guān)打開，討論t

0時(shí)的電感電流iL。

開關(guān)打開后的KVL方程為：

工程上認(rèn)為,經(jīng)過

3~5,過渡過程結(jié)束。：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時(shí)間。U0

0.368U00.135

U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

15電感電流iL、電感電壓uL的變化曲線如圖6。

定義RL電路的時(shí)間常數(shù)為：與RC電路的數(shù)學(xué)模型作比較，得出電感電流的零輸入響應(yīng)為：

16[例2]圖示電路，已知開關(guān)在位置1已經(jīng)很久，t＝0時(shí)開關(guān)由位置1換到位置2，求開關(guān)動(dòng)作后的uc和u1。12K（t＝0）解：開關(guān)動(dòng)作后的電路如下圖：17根據(jù)前面的分析知：

由于換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，電容電壓就等于電源電壓，即：時(shí)間常數(shù)為：回原電路求解電壓u1得：18[例3]電路如圖所示。uc(0-)=20V，t=0時(shí)開關(guān)K1閉合，t=0.1s時(shí)開關(guān)K2閉合。求t

0的電容電壓uc(t)。

例3題圖解：

0<t<0.1s時(shí)，等效電路如下圖（a）所示。19t0.1s時(shí)，等效電路如下圖（b）所示。

由此知電容電壓的變化規(guī)律為：

對(duì)應(yīng)的變化曲線:20[例4]圖所示電路在t<0時(shí)處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)K打開，求t0的電感電壓uL(t)

。例4題圖解：由于電路在t<0時(shí)處于穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路，故：用外加電源法求t0時(shí)，從電感元件兩端看過去的等效電路。21根據(jù)KVL知：

等效電阻：

故開關(guān)打開后的等效電路如圖（b）所示：

電路的時(shí)間常數(shù)：由式（3）知電感電流：

由圖（b）可得電感兩端的電壓為：22§7.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

如果電路的初始狀態(tài)為零（即換路前電容電壓為零，電感電流為零），那么由外加激勵(lì)源產(chǎn)生的響應(yīng)即被稱為零狀態(tài)響應(yīng)。

開關(guān)K閉合前：一、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)是一個(gè)一階非齊次微分方程。uc(0-)=0以電容電壓uc為變量，開關(guān)K閉合后的KVL方程為:23uck滿足方程：其解為：ucp滿足方程：該方程中uc的解由兩部分組成特解通解24由換路定則：

代入uc解的一般式中：

特解ucp的形式取決于us的形式：（1）當(dāng)us為直流時(shí)，ucp也為直流；（2）當(dāng)us為正弦交流，ucp也為正弦交流。電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為：25對(duì)應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2由式（1）可以得到電容電流：當(dāng)激勵(lì)源為直流，即us=Us時(shí)，特解

ucp(t)=Us

此時(shí)：（1）26圖3所示為RL的零狀態(tài)響應(yīng)電路。根據(jù)KCL得：代入零初始條件可得電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為：

其中時(shí)間常數(shù)：二、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)27[例5]圖所示電路，在t<0時(shí)處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)K在t=0時(shí)閉合，求t0時(shí)的uc(t)、uR(t)

。

例5題圖解：求電容電壓時(shí)可將電容元件的左側(cè)電路用戴維南等效電路來等效，如下圖(a)所示。由前面的分析知電容的零狀態(tài)響應(yīng)為：

當(dāng)圖（a）電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容電壓的數(shù)值即為特解。28時(shí)間常數(shù)：回原電路求uR，有[例6]圖所示電路，t=0時(shí)開關(guān)K打開，開關(guān)K打開前電路為穩(wěn)態(tài)，求t0的iL、uL和u1。

例6題圖29例6題圖解：開關(guān)K打開前電感電流：開關(guān)K打開后，電感L右側(cè)等效電路如圖（a）所示，電壓源電壓：等效電阻：時(shí)間常數(shù)：電感電流的特解：30電感電流：

電感電壓：

回到原電路求電流源兩端的電壓u1：

例6題圖31§7.5一階電路的全響應(yīng)

當(dāng)一階電路的外加激勵(lì)和初始狀態(tài)都不為零時(shí)，由此產(chǎn)生的電路響應(yīng)稱為一階電路的全響應(yīng)。

圖1所示電路在開關(guān)K閉合前電容C上已充有電荷，且t=0時(shí)刻開關(guān)閉合，電源接入電路。以電容電壓uc為變量，t0的KVL方程為：其解：特解通解32電容電壓uc的全響應(yīng)為：

代入初始條件：uc(0+)=ucp(0+)+KK=uc(0+)-ucp(0+)所以：（1）電容電壓的固有分量。

其形式由電路的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)確定，是電路本身固有的，與外加激勵(lì)源無關(guān)。這一部分的數(shù)值隨著時(shí)間的增大而衰減最后到零。因此又被稱為電容電壓的暫態(tài)分量。33ucp(t)：電容電壓的強(qiáng)制分量。

當(dāng)激勵(lì)為直流或正弦交流信號(hào)時(shí)，ucp(t)是電路過渡過程結(jié)束后的響應(yīng)值。

全響應(yīng)＝穩(wěn)態(tài)分量＋暫態(tài)分量改寫式（1）全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)

tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U034求零輸入響應(yīng)部分時(shí)：

令外加激勵(lì)源等于零（即電流源開路、電壓源短路），求得僅由動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)；求零狀態(tài)響應(yīng)部分時(shí)：

認(rèn)為電路的初始狀態(tài)為零，求得外加激勵(lì)源引起的響應(yīng)。35[例8]電路如圖所示。開關(guān)K在位置1已經(jīng)很久，t＝0時(shí)開關(guān)K投向位置2，求t0時(shí)的電容電壓uc(t)和電阻電壓uR(t)。

例8題圖解：開關(guān)換位前電路為穩(wěn)態(tài)，故根據(jù)換路定則：電路的時(shí)間常數(shù)：所以電容電壓的零輸入響應(yīng)為：36電容電壓的穩(wěn)態(tài)值：所以電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為：故電容電壓的全響應(yīng)為：由電路知電阻電壓為：37§7.6一階電路的三要素法

由前面的分析可知，對(duì)于RC一階電路來說，無論是零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)還是全響應(yīng)，電容電壓均可表示為：

同理，對(duì)于RL一階電路來說，電感電流可表示為：實(shí)際上一階電路的任何一個(gè)變量都具有相同形式的表達(dá)式，即：（1）f(0+)：初始條件；fp(t)：特解；τ：時(shí)間常數(shù)。

一階電路的三要素

38如果電路的外加激勵(lì)源為直流，式（1）還可以表示為：

[例9]

圖所示電路，t<0時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)，求t

0的uR(t)。

例9題圖解：方法1：先求電感電流iL

由換路定則得：當(dāng)開關(guān)閉合且電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，電感可視為短路。電感電流的特解：39從電感元件看過去的等效電阻見下圖（b）

時(shí)間常數(shù)：所以電感電流為：40方法2：直接用三要素法求uR。

圖（c）為t＝0+時(shí)刻的等效電路。由此可求得：I由圖示電流參考方向列KVL方程：開關(guān)閉合電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)后：時(shí)間常數(shù)：由三要素公式知：42習(xí)題1.圖示電路中開關(guān)原打開，t=0時(shí)將開關(guān)s閉合，已知求t>0時(shí)的電流解：用三要素法解題1).2)、計(jì)算終值433)、計(jì)算時(shí)間常數(shù)先計(jì)算等效電阻Req將有源網(wǎng)絡(luò)變無源網(wǎng)絡(luò)，加壓求流則原題中要求的電流447.7一階電路的階躍響應(yīng)單位階躍函數(shù)

:階躍函數(shù)可以作為開關(guān)的數(shù)學(xué)模型

任意時(shí)刻t0起始的階躍函數(shù)

:45例：已知，，求電容上的電壓

先求單位階躍函數(shù)引起的電容電壓響應(yīng)s(t)根據(jù)三要素法，RC電路的單位階躍響應(yīng)s(t)為

根據(jù)疊加定理有,求已知輸入U(xiǎn)s引起的響應(yīng)方法一：46方法二：可以進(jìn)行分段求解

電路的零輸入響應(yīng)為47全響應(yīng)的波形為：1t0tt1-1t1-148關(guān)于積分電路和微分電路的討論1)、當(dāng)uc(t)作為輸出信號(hào)，并選，這時(shí)輸入信號(hào)Us主要由R所承受，輸出信號(hào)uc(t)為：即輸出是輸入的積分492)、當(dāng)以u(píng)R(t)作為輸出信號(hào)，并選，這時(shí)輸入信號(hào)US(t)主要由電容所承受，輸出信號(hào)UR(t)為：即輸出是輸入的微分507.8一階電路的沖激響應(yīng)單位沖激函數(shù)10t函數(shù)的性質(zhì):1)、2)、篩分性質(zhì)（取樣性質(zhì)）或：513)、對(duì)電容或電感的作用把（單位為A）的沖激加