第二章 有心力

第二章有心運動§2.1

有心力和有心運動

一、有心力的基本性質(zhì)1.有心力：運動質(zhì)點受力的作用線始終通過某一定點，該力為有心力，該點叫力心。有心力的量值一般為r的函數(shù)。2.平面運動因為力通過力心質(zhì)點必在平面內(nèi)運動。如：月亮繞地球運動、地球繞太陽運動3.運動微分方程(1)直角坐標(biāo)(2)極坐標(biāo)物理意義:動量矩守恒4.有心力為保守力機(jī)械能守恒定律：解決問題的基本出發(fā)點：二、軌道微分方程：比耐公式通常求軌道：然后消去t后得到。但在有心力中，所有對于時間的微分都可以通過消除，從而得到關(guān)于r

與θ的微分方程,求解軌道微分方程可得軌道方程。令：--比耐公式用途:1、已知力的具體形式，求軌道運動；2、已知軌道形狀，求力的具體形式復(fù)習(xí)1、有心力的特點……；4、基本方程：5、比耐公式：2、有心力下質(zhì)點必做平面運動；3、有心力下質(zhì)點動量矩守恒、機(jī)械能守恒；后面討論的是第一類問題，我們看第二類問題的例子§2.2

平方反比引力──行星運動引力:比耐公式變?yōu)锳,θ0微積分常數(shù),將極軸轉(zhuǎn)動使θ0=0為正焦弦的一半為偏心率,由初始條件確定以太陽為焦點的圓錐曲線e<1橢圓e=1拋物線e>1雙曲線決定行星運動軌道通過守恒律討論軌道形狀設(shè)無窮遠(yuǎn)處為零勢能,任意位置的勢能為：機(jī)械能守恒律寫為：已知角動量值守恒：結(jié)合消去t。如何做？作變換，代入機(jī)械能守恒律，得決定行星軌道E<0橢圓E=0拋物線E>0雙曲線§2.3

圓軌道的穩(wěn)定性

在有心力勢場中：設(shè)勢能V（r）令：有效勢能滿足：為穩(wěn)定平衡等效為質(zhì)點在矢徑方向作一維的運動，圓軌道穩(wěn)定條件：若：則二維的圓運動，化為一維的靜平衡.§2.4

平方反比斥力—α質(zhì)點的散射α粒子(42H)散射:把一束具有一定能量的α粒子碰撞靶核（用重金屬及薄的箔），靶核金屬原子核帶電Ze.α粒子所受的金屬原子核的萬有引力可以認(rèn)為是有心斥力：α粒子具有的勢能：定義V（∞）=0，則α粒子的機(jī)械能守恒：α粒子的運動軌道：因E>0而為雙曲線的一個分支。1、α散射的軌道方程用比耐公式討論確定A、B:①從無窮遠(yuǎn)處入射，θ=π，r=∞，即u=0.②無窮遠(yuǎn)處，θ=π，y=ρ.無窮遠(yuǎn)處，A，B都已確定，故α粒子被散射的軌道方程為：因故代入2、偏轉(zhuǎn)角Α粒子遠(yuǎn)離力心后r=∞，u=0,θ=φ，代入用方便測量的量代替。？偏轉(zhuǎn)角φ可見，只要瞄準(zhǔn)距離ρ足夠小，就可能出現(xiàn)大角度的反彈。這正可以解釋盧瑟福的α散射實驗出現(xiàn)的大角度散射現(xiàn)象。補(bǔ)充例題例1.一質(zhì)量為m的小環(huán)在半徑為r的水平圓環(huán)上，設(shè)小環(huán)的初速度為，小環(huán)與圓環(huán)的摩擦系數(shù)為，求小環(huán)經(jīng)過多少弧長后停止運動。解：1.

研究對象：小環(huán)

2.

參考系：地面坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系3.

受力分析：4.

列運動微分方程:聯(lián)立方程(1)、(2)和(3)得分離變量得：兩邊求定積分得3.

受力分析xyoAB解法一:1.

研究對象：質(zhì)點2.

參考系：地面，坐標(biāo)系:

直角坐標(biāo)系4.

列運動微分方程例2.質(zhì)量為m的質(zhì)點，沿半徑為R的圓上的光滑AB弦運動，次質(zhì)點受一指向圓心o的引力作用，引力大小與質(zhì)點到o點的距離成反比，開始時質(zhì)點靜止于A處，求質(zhì)點通過點的速度，已知分離變量得兩邊求定積分得解法二：質(zhì)點機(jī)械能守恒(有心力為保守力，R不作功)(1)

求勢能函數(shù)選勢能零點(2)用機(jī)械能守恒列方程得例3.

一質(zhì)點穿在一光滑拋物線軸線上方h處，并從此處無初速地滑下，拋物線的方程為，p為常數(shù)。問滑至何處，曲線對質(zhì)點的反作用力將改變符號？Aoxy解：1.研究對象：質(zhì)點2.參考系：地面坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系3.

受力分析4.列質(zhì)點運動微分方程

(5)解方程由(1)得在N=0處，反作用力將改號，由(2)得(3)式變?yōu)椋赫淼眉锤奶柼幍脃為方程(4)的根。例4.光滑滑道AB的后部是半徑為a的圓環(huán)，重為P的物體由靜止自高度h沿AB下滑。求：①使物體通過圓環(huán)頂點不脫落的h最小值；②若圓環(huán)上部形成一角的缺口，欲使物體越過缺口仍能通過圓環(huán)，h應(yīng)該多大；欲使h為最小，為？CDEoB零勢能A解：①物體在重力場中沿滑道滑到E點的過程中，不作功，只有重力做功，機(jī)械能守恒同時，物體在E點的法向運動微分方程為