第五節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

第三章三角函數(shù)與解三角形第五節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)y=tanx解析式y(tǒng)=sinxy=cosx圖象定義域RR{x|x∈R且x≠kπ+π,k∈Z}12值域［-1,1］［-1,1］R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)(-+kπ,+kπ)上為增函數(shù)(k∈Z)單調(diào)性［-+2kπ,+2kπ］上為增函數(shù);［+2kπ,+2kπ］上為減函數(shù).(k∈Z)π2π23π2π2［(2k-1)π,2kπ］上為增函數(shù)；［2kπ,(2k+1)π］上為減函數(shù).(k∈Z)π2π2π2對(duì)稱軸x=kπ(k∈Z)最值x=2kπ+,k∈Z時(shí),ymax=1;x=2kπ-,k∈Z時(shí),ymin=-1π2x=2kπ,k∈Z時(shí),ymax=1;x=2kπ+π,

k∈Z時(shí),ymin=-1無最值對(duì)稱性對(duì)稱中心(kπ,0)(k∈Z)對(duì)稱中心(kπ+,0)(k∈Z)π2對(duì)稱中心(,0)(k∈Z)kπ2對(duì)稱軸x=kπ+(k∈Z)無對(duì)稱軸π2二、研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的方法課前自修類比于研究y＝sinx的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sinx中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和ω的符號(hào)，通過誘導(dǎo)公式先將ω化為正數(shù)．研究函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的性質(zhì)的方法與其類似，也是類比、轉(zhuǎn)化．三、求三角函數(shù)的周期的常用方法課前自修課前自修f(π,2)解析：因?yàn)閥＝1－2cos2（2x）＝－cos4x，故其最小正周期T＝f(2π,4)＝f(π,2).課前自修B課前自修f(3,2)解析：函數(shù)y＝－2sin2x＋2sinx＋1，令sinx＝t∈[－1，1]，所以y＝－2t2＋2t＋1，當(dāng)t＝f(1,2)時(shí)，y取得最大值f(3,2).課前自修題型一與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域求下列函數(shù)的定義域：（1）y=lgsin(cos

x);(2)y=

本題求函數(shù)的定義域:(1)需注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，然后利用弦函數(shù)的圖象求解；

(2)需注意偶次根式的被開方數(shù)大于或等于零，然后利用函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線求解.

解

(1)要使函數(shù)有意義,必須使sin(cos

x)>0.∵-1≤cosx≤1,∴0<cos

x≤1.題型分類深度剖析方法一利用余弦函數(shù)的簡圖得知定義域?yàn)榉椒ǘ脝挝粓A中的余弦線OM,依題意知0<OM≤1,∴OM只能在x軸的正半軸上，∴其定義域?yàn)椋?）要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cos

x≥0.方法一利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出［0,2］上y=sinx和y=cos

x的圖象,如圖所示.在［0，2］內(nèi)，滿足sinx=cos

x的x為再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2,所以定義域?yàn)榉椒ǘ萌呛瘮?shù)線，如圖MN為正弦線，OM為余弦線，要使sinx≥cos

x,即MN≥OM，方法三考點(diǎn)1求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究變式探究題型二三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性（1）化為再求單調(diào)區(qū)間;(2)先化為,再求單調(diào)區(qū)間.解考點(diǎn)2求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究點(diǎn)評(píng)：(1)熟練掌握正、余弦函數(shù)y＝sinx，y＝cosx的單調(diào)區(qū)間是迅速正確求解正、余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵．特別提醒，當(dāng)單調(diào)區(qū)間有無窮多個(gè)時(shí)，別忘了注明k∈Z.(2)在求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和ω的符號(hào)，若ω<0，則通過誘導(dǎo)公式先將ω化為正數(shù)再求．考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究變式探究考點(diǎn)3求三角函數(shù)的最小正周期、最值(值域)考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究變式探究A1考點(diǎn)探究6.給出下列命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②存在實(shí)數(shù),使得③④⑤

其中正確的序號(hào)為（）

A.①③B.②④C.①④D.④⑤考點(diǎn)4三角函數(shù)的零點(diǎn)、奇偶性、對(duì)稱性的應(yīng)用考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究題型三三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性已知f(x)=sinx+cos

x（x∈R），函數(shù)

y=f(x+)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，則的值可以是 （）

先求出f(x+)的函數(shù)表達(dá)式.

f(x+)關(guān)于x=0對(duì)稱，即f(x+)為偶函數(shù).2.(2009·全國Ⅰ)如果函數(shù)y=3cos(2x+)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,那么|φ|的最小值為（）

解析由y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)A8.（2008·遼寧）已知f(x)=

且f(x)在區(qū)間上有最小值，無最大值，則

.

解析如圖所示,答案考點(diǎn)探究變式探究D

1考點(diǎn)求形如y=Asin2x+Bsinx+C的最值三角函數(shù)與二次函數(shù)的綜合思路點(diǎn)撥：(1)將其轉(zhuǎn)化為含參數(shù)a，b的關(guān)于sinx的二次函數(shù)在某閉區(qū)間上的最值問題去解決，注意分類討論；(2)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間[－1,1]上的最值問題來解決．點(diǎn)評(píng)：(1)含參的三角函數(shù)中求參數(shù)的