誤差基本理論

第二章．誤差基本理論

2.1測(cè)量誤差的基本概念2.2測(cè)量誤差的分類和測(cè)量結(jié)果的表征2.3測(cè)量誤差的估計(jì)和處理2.4測(cè)量不確定度2.5測(cè)量數(shù)據(jù)處理§2.1測(cè)量誤差的基本概念一、測(cè)量誤差的定義測(cè)量的目的:獲得被測(cè)量的真值（約定真值）。真值:在一定的時(shí)間和空間環(huán)境條件下，被測(cè)量本身所具有的真實(shí)數(shù)值。A0所有測(cè)量結(jié)果都帶有誤差，因?yàn)檎嬷凳菧y(cè)不出來(lái)的。測(cè)量誤差:測(cè)量結(jié)果與真值的差別二、測(cè)量誤差的來(lái)源（1）儀器誤差：由于測(cè)量?jī)x器及其附件的設(shè)計(jì)、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過(guò)程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。（2）影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動(dòng)、電源電壓、電磁場(chǎng)等）與測(cè)量要求的條件不一致而引起的誤差。（3）理論誤差和方法誤差：由于測(cè)量原理、近似公式、測(cè)量方法不合理而造成的誤差。（4）人身誤差：由于測(cè)量人員感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺(jué)疲勞、固有習(xí)慣、缺乏責(zé)任心等原因，而在測(cè)量中使用操作不當(dāng)、現(xiàn)象判斷出錯(cuò)或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。（5）測(cè)量對(duì)象變化誤差：測(cè)量過(guò)程中由于測(cè)量對(duì)象變化而使得測(cè)量值不準(zhǔn)確，如引起動(dòng)態(tài)誤差等。實(shí)際應(yīng)用中常用實(shí)際值A(chǔ)（高一級(jí)以上的測(cè)量?jī)x器或計(jì)量器具測(cè)量所得之值）來(lái)代替真值。絕對(duì)誤差：三、測(cè)量誤差的表示方法測(cè)量誤差有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差兩種表示方法。1.絕對(duì)誤差（1）定義：由測(cè)量所得到的被測(cè)量值與其真值之差，稱為絕對(duì)誤差

有大小，又有符號(hào)和量綱x：示值，即測(cè)量值讀數(shù)：直接從儀表讀出的數(shù)。指針式：讀數(shù)→示值數(shù)字式：讀數(shù)=示值（2）修正值與絕對(duì)誤差的絕對(duì)值大小相等，但符號(hào)相反的量值，稱為修正值測(cè)量?jī)x器的修正值可以通過(guò)上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的檢定給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。被測(cè)量的實(shí)際值2.相對(duì)誤差一個(gè)量的準(zhǔn)確程度，不僅與它的絕對(duì)誤差的大小，而且與這個(gè)量本身的大小有關(guān)。例：測(cè)量足球場(chǎng)的長(zhǎng)度和赤道的周長(zhǎng)，若絕對(duì)誤差都為1米，測(cè)量的準(zhǔn)確程度是否相同？（1）相對(duì)真誤差、實(shí)際相對(duì)誤差、示值相對(duì)誤差相對(duì)（真）誤差：絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值之比相對(duì)（真）誤差是兩個(gè)有相同量綱的量的比值，只有大小和符號(hào)，沒(méi)有單位。實(shí)際相對(duì)誤差：用實(shí)際值A(chǔ)代替真值A(chǔ)0

示值相對(duì)誤差：用測(cè)量值X代替實(shí)際值A(chǔ)（2）滿度相對(duì)誤差（引用相對(duì)誤差）用測(cè)量?jī)x器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差與該量程值（上限值－下限值）之比來(lái)表示的相對(duì)誤差，稱為滿度相對(duì)誤差（或稱引用相對(duì)誤差）儀表各量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值電工儀表就是按引用誤差之值進(jìn)行分級(jí)的。是儀表在工作條件下不應(yīng)超過(guò)的最大引用相對(duì)誤差我國(guó)電工儀表共分七級(jí)：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級(jí)，則說(shuō)明該儀表的最大引用誤差不超過(guò)S%，即測(cè)量點(diǎn)的最大相對(duì)誤差在使用這類儀表測(cè)量時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)牧砍蹋故局当M可能接近于滿度值，指針最好能偏轉(zhuǎn)在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。

[例1-3]某待測(cè)電流約為90mA，現(xiàn)有0.5級(jí)量程為0～400mA和1.5級(jí)量程為0～100mA的兩個(gè)電流表，問(wèn)用哪一個(gè)電流表測(cè)量較好？用1.5級(jí)量程為0～100mA電流表測(cè)量90mA時(shí)的最大相對(duì)誤差為解：用0.5級(jí)量程為0～400mA電流表測(cè)90mA時(shí)，最大相對(duì)誤差為因?yàn)楹笳叩恼`差范圍小，所以測(cè)量結(jié)果更好。（3）分貝誤差——相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表示分貝誤差是用對(duì)數(shù)形式（分貝數(shù)）表示的一種相對(duì)誤差，單位為分貝（dB）。電壓增益的測(cè)得值為誤差為用對(duì)數(shù)表示為增益測(cè)得值的分貝值分貝誤差若測(cè)量的是功率增益，則分貝誤差為：§2.2測(cè)量誤差的分類和測(cè)量結(jié)果的表征一、測(cè)量誤差的分類根據(jù)測(cè)量誤差的性質(zhì)，測(cè)量誤差可分為隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。1.隨機(jī)誤差定義:在同一測(cè)量條件下（指在測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員、測(cè)量技術(shù)和測(cè)量?jī)x器都相同的條件下），多次重復(fù)測(cè)量同一量值時(shí)（等精度測(cè)量），每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差，簡(jiǎn)稱隨差。隨機(jī)誤差主要由對(duì)測(cè)量值影響微小且互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動(dòng)、大地微震、測(cè)量人員感官的無(wú)規(guī)律變化等。例：對(duì)一不變的電壓在相同情況下，多次測(cè)量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測(cè)量的隨差沒(méi)有規(guī)律，但多次測(cè)量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？赏ㄟ^(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)處理,即求算術(shù)平均值隨機(jī)誤差定量定義：測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差2.系統(tǒng)誤差定義：在同一測(cè)量條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都保持不變，或在測(cè)量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測(cè)量原理中使用近似計(jì)算公式，測(cè)量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個(gè)測(cè)量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測(cè)量就越準(zhǔn)確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。即3.粗大誤差：粗大誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測(cè)量操作疏忽和失誤如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。②測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤如用普通萬(wàn)用表電壓檔直接測(cè)高內(nèi)阻電源的開(kāi)路電壓③測(cè)量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測(cè)量?jī)x器示值的劇烈變化等。含有粗差的測(cè)量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)剔除掉。二、測(cè)量結(jié)果的表征1.測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響

在剔除粗大誤差后，任何一次測(cè)量結(jié)果可看成是受到系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的共同影響，即在去除隨機(jī)誤差的影響下，系統(tǒng)誤差表明了測(cè)量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度，即測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。隨機(jī)誤差表明了測(cè)量結(jié)果的分散性。準(zhǔn)確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高，即測(cè)量值與實(shí)際值符合的程度越高。精密度表示隨機(jī)誤差的影響。精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測(cè)量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來(lái)反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響。精確度越高，表示準(zhǔn)確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。射擊誤差示意圖2.測(cè)量結(jié)果的表征測(cè)量值是粗大誤差圖3-1誤差在數(shù)軸上的分布§2.3測(cè)量誤差的估計(jì)和處理一、隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法在測(cè)量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)誤差是由大量微小的沒(méi)有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動(dòng)，電磁場(chǎng)的干擾，大地輕微振動(dòng)等。多次測(cè)量，測(cè)量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，處理測(cè)量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。（1）隨機(jī)變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：

X為連續(xù)型隨機(jī)變量：

1.隨機(jī)誤差的分布規(guī)律

②方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差

方差是用來(lái)描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為： D(X)=E(X－E(X))2

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么？(2)測(cè)量誤差的正態(tài)分布一般情況下，認(rèn)為測(cè)量中隨機(jī)誤差的分布和隨機(jī)誤差影響下的測(cè)量數(shù)據(jù)的分布服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：測(cè)量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝正態(tài)分布時(shí)概率密度曲線

隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差隨機(jī)誤差特點(diǎn)：①對(duì)稱性②單峰性③有界性④抵償性

標(biāo)準(zhǔn)偏差意義標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說(shuō)明數(shù)據(jù)越分散。（3）測(cè)量誤差的非正態(tài)分布常見(jiàn)的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤(pán)回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當(dāng)只能估計(jì)誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時(shí)，一般可假定均勻分布。

概率密度:均值:當(dāng)時(shí),標(biāo)準(zhǔn)偏差:

當(dāng)

時(shí)，2.

有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值求被測(cè)量的數(shù)字特征，理論上需無(wú)窮多次測(cè)量，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率。貝努力定理：事件發(fā)生的頻度依概率收斂于事件發(fā)生的概率。令n個(gè)相同的測(cè)試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計(jì)為1,當(dāng)時(shí)，則（1）有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值——算術(shù)平均值估計(jì)有限次等精度測(cè)量條件下，規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值，并作為最后的測(cè)量結(jié)果。即：

算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無(wú)偏估計(jì)值、一致估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。有限次測(cè)量值的算術(shù)平均值比測(cè)量值更接近真值？

（2）有限次測(cè)量情況下，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差故：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機(jī)誤差的抵償性。*采用統(tǒng)計(jì)平均的方法可以有效地減弱隨機(jī)誤差。算術(shù)平均值：（3）有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值殘差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：【例3.1】用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測(cè)量值的序列（見(jiàn)下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式計(jì)算各測(cè)量值殘差列于上表中③實(shí)驗(yàn)偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差3.

測(cè)量結(jié)果的置信問(wèn)題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積（2）正態(tài)分布的置信概率當(dāng)分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當(dāng)k=3時(shí)置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大（3）t分布的置信限t分布與測(cè)量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當(dāng)n很小時(shí)，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對(duì)于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測(cè)量次數(shù)n，查表得置信因子kt

自由度：v=n-1t分布圖t分布圖ktkt（4）非正態(tài)分布的置信因子由于常見(jiàn)的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:關(guān)于置信區(qū)間的例題：二、系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法

1.系統(tǒng)誤差的特征

在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測(cè)量求平均不能減少系差。2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準(zhǔn)、修正和實(shí)驗(yàn)比對(duì)。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況 將所測(cè)數(shù)據(jù)的殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號(hào)的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無(wú)明顯系統(tǒng)誤差②馬利科夫判據(jù)：若有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）測(cè)量前，應(yīng)盡量完善測(cè)量條件，從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①要從測(cè)量原理和測(cè)量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②測(cè)量?jī)x器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對(duì)測(cè)量的影響，特別是溫度對(duì)電子測(cè)量的影響較大。④盡量減少或消除測(cè)量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測(cè)量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。（2）測(cè)量后，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，應(yīng)查找原因，盡量減小或消除系差。

如用修正方法減少系統(tǒng)誤差修正值＝－誤差=－（測(cè)量值－真值） 實(shí)際值＝測(cè)量值＋修正值（3）測(cè)量過(guò)程中，采用一些專門的測(cè)量方法①替代法不改變測(cè)量條件，先對(duì)被測(cè)量進(jìn)行測(cè)量，然后用標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量，再次測(cè)量，得到被測(cè)量的值。主要用于消除恒定系差。例如電阻的測(cè)量。②交換法利用交換被測(cè)量在測(cè)量系統(tǒng)中的位置或測(cè)量方向等，進(jìn)行二次測(cè)量，對(duì)二次測(cè)量的結(jié)果取平均。④半周期法相隔半個(gè)周期再進(jìn)行一次測(cè)量，取兩次測(cè)量結(jié)果的平均值。用于減小周期性系統(tǒng)誤差。⑤零示法③對(duì)稱測(cè)量法以整個(gè)測(cè)量時(shí)間內(nèi)的某時(shí)刻為中點(diǎn)，向兩邊對(duì)稱測(cè)量?？捎行p小線性系統(tǒng)誤差。

對(duì)稱差動(dòng)的橋式結(jié)構(gòu)當(dāng)時(shí)，

⑥微差法在零示法中，要仔細(xì)調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量S使之與未知量x相等，這通常很費(fèi)時(shí)間，有時(shí)甚至不可能做到。微差法：標(biāo)準(zhǔn)量S與被測(cè)量x相差了一微小量，再用儀器測(cè)出，即求得待測(cè)量x。測(cè)量值測(cè)量?jī)x器的誤差對(duì)測(cè)量的影響被大大地削弱。[例]對(duì)某信號(hào)源的輸出頻率進(jìn)行了12次等精度測(cè)量（單位kHz），結(jié)果如下。請(qǐng)分別用殘差觀察法、馬利科夫及阿貝-赫梅特判據(jù)判別是否存在變值系差。n1234560.04880.03380.03380.01380.0038-0.0062n789101112-0.0062-0.0162-0.0262-0.0212-0.0262-0.0362①殘差觀察法結(jié)論：存在線性、累進(jìn)性變值系差。解：②馬利科夫判據(jù)結(jié)論：存在累進(jìn)性變值系差。③阿貝-赫梅特判據(jù)結(jié)論：存在周期性變值系差。三、粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的測(cè)量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測(cè)量人員的主觀原因：操作失誤或錯(cuò)誤記錄；②客觀外界條件的原因：測(cè)量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測(cè)量?jī)x器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法剔除異常數(shù)據(jù)；培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和責(zé)任心；保持儀器的穩(wěn)定；采用不等精度測(cè)量；增加等精度測(cè)量次數(shù)。2.

粗大誤差的判別準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過(guò)置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗(yàn)法

格拉布斯檢驗(yàn)法

式中，G值按重復(fù)測(cè)量次數(shù)n及置信概率Pc確定隨機(jī)誤差符合正態(tài)分布，且測(cè)量次數(shù)充分大（>10次）應(yīng)注意的問(wèn)題①

所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無(wú)統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測(cè)量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。②

若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過(guò)檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。③在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說(shuō)明系統(tǒng)工作不正常。解：①計(jì)算得s=0.033 計(jì)算殘差填入表3－7，最大，是可疑數(shù)據(jù)。②用萊特檢驗(yàn)法3·s=3×0.033=0.099故可判斷是粗大誤差，應(yīng)予剔除。再對(duì)剔除后的數(shù)據(jù)計(jì)算得：s′=0.016 3·s′=0.048各測(cè)量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s′故14個(gè)數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)?！纠?.3】對(duì)某電爐的溫度進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，所得結(jié)果列于表3－7，試檢查測(cè)量數(shù)據(jù)中有無(wú)粗大誤差。序號(hào)測(cè)量值xi/℃殘差vi/℃殘差xi/℃（去掉粗大誤差后）120.42+0.016+0.009220.43+0.026+0.019320.40-0.004-0.011420.43+0.026+0.019520.42+0.016+0.009620.43-0.026+0.019720.39-0.014+0.029820.30-0.104---920.40-0.004-0.0111020.43+0.026+0.0191120.42+0.016+0.0091220.41+0.006-0.0011320.39-0.014-0.0211420.39-0.014-0.0211520.40-0.004-0.011表3-7電爐溫度測(cè)量值等精度測(cè)量：即在相同地點(diǎn)、相同的測(cè)量方法和相同測(cè)量設(shè)備、相同測(cè)量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的重復(fù)測(cè)量。不等精度測(cè)量：在測(cè)量條件不相同時(shí)進(jìn)行的測(cè)量，測(cè)量結(jié)果的精密度將不相同。不等精度測(cè)量處理方法：加權(quán)，保證可信程度大的結(jié)果占的比重大一些。一般權(quán)值

測(cè)量結(jié)果為加權(quán)平均值

四、測(cè)量結(jié)果的處理步驟等精度測(cè)量結(jié)果的處理步驟：

①對(duì)測(cè)量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗(yàn)證④按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值⑤按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則，檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測(cè)量；⑦計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差⑧寫(xiě)出最后結(jié)果的表達(dá)式，即（單位）。處理測(cè)量結(jié)果的綜合例題：【例3．4】對(duì)某電壓進(jìn)行了16次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。五、誤差的合成分析問(wèn)題：用間接法測(cè)量電阻消耗的功率時(shí)，需測(cè)量電阻R、端電壓V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來(lái)推算功率的誤差呢？誤差傳播定律說(shuō)明：誤差的合成不是分項(xiàng)誤差的簡(jiǎn)單相加，而與它們之間的函數(shù)關(guān)系相關(guān)；對(duì)測(cè)量方法選擇有指導(dǎo)作用。在實(shí)際應(yīng)用中，由于分項(xiàng)誤差符號(hào)不定而可同時(shí)取正負(fù)，有時(shí)就采用保守的辦法來(lái)估算誤差，即將式中各分項(xiàng)取絕對(duì)值后再相加該公式常用于在設(shè)計(jì)階段中對(duì)傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進(jìn)行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。但是，更嚴(yán)格和更準(zhǔn)確地計(jì)算合成誤差的方法是測(cè)量不確定度理論中的合成不確定度評(píng)定§2.4測(cè)量不確定度

一、不確定度的概念不確定度是說(shuō)明測(cè)量結(jié)果可能的分散程度的參數(shù)?？捎脴?biāo)準(zhǔn)偏差表示，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。1.術(shù)語(yǔ)（1）標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用概率分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度

①A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度。②B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用非統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度.（2）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度*由各不確定度分量合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。*因?yàn)闇y(cè)量結(jié)果是受若干因素聯(lián)合影響。（3）擴(kuò)展不確定度*合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的測(cè)量不確定度，即用包含因子乘以合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到一個(gè)區(qū)間半寬度。

*包含因子的取值決定了擴(kuò)展不確定度的置信水平。*通常測(cè)量結(jié)果的不確定度都用擴(kuò)展不確定度表示

2.不確定度的分類

3.不確定度的來(lái)源

①被測(cè)量定義的不完善，實(shí)現(xiàn)被測(cè)量定義的方法不理想，被測(cè)量樣本不能代表所定義的被測(cè)量。②測(cè)量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。③測(cè)量環(huán)境的不完善對(duì)測(cè)量過(guò)程的影響以及測(cè)量人員技術(shù)水平等影響。④計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測(cè)量過(guò)程中引入的近似值的影響。⑤在相同條件下，由隨機(jī)因素所引起的被測(cè)量本身的不穩(wěn)定性。二、誤差與不確定度的區(qū)別測(cè)量誤差測(cè)量不確定度客觀存在的，但不能準(zhǔn)確得到，是一個(gè)定性的概念表示測(cè)量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)試驗(yàn)、資料等信息定量評(píng)定。誤差是不以人的認(rèn)識(shí)程度而改變與人們對(duì)被測(cè)量和影響量及測(cè)量過(guò)程的認(rèn)識(shí)有關(guān)。隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差A(yù)類或B類不確定度是兩種不同的評(píng)定方法，與隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系。須進(jìn)行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評(píng)定不確定度在最后測(cè)量結(jié)果中應(yīng)修正確定的系統(tǒng)誤差。在測(cè)量不確定度中不包括已確定的修正值，但應(yīng)考慮修正不完善引入的不確定度分量。“誤差傳播定律”可用于間接測(cè)量時(shí)對(duì)誤差進(jìn)行定性分析。不確定度傳播律更科學(xué)，用于定量評(píng)定測(cè)量結(jié)果的合成不確定度1.標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定方法在同一條件下對(duì)被測(cè)量X進(jìn)行n次測(cè)量，測(cè)量值為：

xi(i=1,2,…,n)(A)計(jì)算樣本算術(shù)平均值，作為被測(cè)量X的估計(jì)值，并把它作為測(cè)量結(jié)果。

(B)計(jì)算實(shí)驗(yàn)偏差式中自由度v=n－1.(C)A類不確定度三、不確定度的評(píng)定方法自由度意義：自由度數(shù)值越大，說(shuō)明測(cè)量不確定度越可信。2.標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定方法B類方法評(píng)定的主要信息來(lái)源是以前測(cè)量的數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠的技術(shù)證明書(shū)、儀器的鑒定證書(shū)或校準(zhǔn)證書(shū)等。確定測(cè)量值的誤差區(qū)間（α,-α），并假設(shè)被測(cè)量的值的概率分布，由要求的置信水平估計(jì)置信因子k，則B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度uB為

其中

a——區(qū)間的半寬度；k——置信因子，通常在2～3之間。分布三角梯形均勻反正弦

k(p=1)概率P%5068.27909595.459999.73置信因子0.67611.6451.96022.5763表3－9正態(tài)分布時(shí)概率與置信因子的關(guān)系表3－10幾種非正態(tài)分布的置信因子k

若沒(méi)有明確指出或不能分析得出分布情況，可假定為均勻分布（假設(shè)為正態(tài)分布）3.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算方法（1）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，其中一個(gè)量的變化導(dǎo)致另一個(gè)量的變化，那么這兩個(gè)量是相關(guān)的。獨(dú)立肯定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定獨(dú)立。①協(xié)方差的概念協(xié)方差協(xié)方差的估計(jì)值

②相關(guān)系數(shù)Q概念:表示兩隨機(jī)變量相關(guān)程度－1≤Q≤1。相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值r(x，y)

正相關(guān)負(fù)相關(guān)完全正相關(guān)完全負(fù)相關(guān)不相關(guān)0<Q<1－1<Q<0Q=1Q=－1Q=0（2）輸入量不相關(guān)時(shí)不確定度的合成①可寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式Y(jié)＝ｆ（X1，X2，……，XN）；式中稱為靈敏系數(shù)②不能寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式(3)輸入量相關(guān)時(shí),使用不確定度傳播律

（4）不確定度傳播律公式的幾種簡(jiǎn)化方法①

所有的輸入量都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)ｒ(ｘｉ,ｘｊ)＝1時(shí)，則uC(y)為

②當(dāng)被測(cè)量的函數(shù)形式為Y＝A1X1＋A2X2＋…＋ANXN，且X1,X2,…,XN不相關(guān)時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC(y)為

③

當(dāng)被測(cè)量的函數(shù)形式為且X1,X2,…,XN不相關(guān)時(shí)，相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC(y)/Y為例:電功率P=IV則（5）不確定度分量的忽略一切不確定度分量均貢獻(xiàn)于合成不確定度，即只會(huì)使合成不確定度增加。忽略任何一個(gè)分量，都會(huì)導(dǎo)致合成不確定度變小。但由于采用的是方差相加得到合成方差，當(dāng)某些分量小到一定程度后，對(duì)合成不確定度實(shí)際上起不到什么作用，為簡(jiǎn)化分析與計(jì)算，則可以忽略不計(jì)。例如，忽略某些分量后，對(duì)合成不確定度的影響不足十分之一，就可根據(jù)情況忽略這些分量。

4.擴(kuò)展不確定度的確定方法擴(kuò)展不確定度U由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度ｕC與包含因子ｋ的乘積得到

U＝k×uC

測(cè)量結(jié)果表示為Y=y±U，即Y=y±kuc

y是被測(cè)量Y的最佳估計(jì)值,k由置信概率（常取0.95或0.99）和概率分布（正態(tài)、均勻、t分布等）確定。算術(shù)平均值

包含因子k是的選取方法有:(A)無(wú)法得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度，且測(cè)量值接近正態(tài)分布時(shí)，則一般?。氲牡湫椭禐?或3。(B)根據(jù)測(cè)量值的分布規(guī)律和所要求的置信水平，選?。胫?。例如，假設(shè)為均勻分布時(shí)，置信水平P＝0．95，查表得k＝1．65。P﹪k57.741951.65991.711001.73表3—11均勻分布時(shí)置信概率與置信因子k的關(guān)系(C)根據(jù)要求的置信概率Pc和計(jì)算得到的自由度veff，查t分布的t值，得k。自由度的計(jì)算步驟如下：a)求A類不確定度分量的自由度

b)求B類不確定度分量的自由度c)求合成不確定度的自由度四、測(cè)量不確定度的評(píng)定步驟對(duì)測(cè)量設(shè)備進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定后，要出具校準(zhǔn)或檢定證書(shū)；對(duì)某個(gè)被測(cè)量進(jìn)行測(cè)量后也要報(bào)告測(cè)量結(jié)果，并說(shuō)明測(cè)量不確定度。①明確被測(cè)量的定義和數(shù)學(xué)模型及測(cè)量條件，明確測(cè)量原理、方法，以及測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)、測(cè)量設(shè)備等；②分析不確定度來(lái)源；③分別采用A類和B類評(píng)定方法，評(píng)定各不確定度分量。A類評(píng)定時(shí)要剔除異常數(shù)據(jù)；④計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度；⑤計(jì)算擴(kuò)展不確定度；⑥報(bào)告測(cè)量結(jié)果。Y=y±kuc【例3．9】用電壓表直接測(cè)量一個(gè)標(biāo)稱值為200Ω的電阻兩端的電壓，以便確定該電阻承受的功率。測(cè)量所用的電壓的技術(shù)指標(biāo)由使用說(shuō)明書(shū)得知，其最大允許誤差為±1％，經(jīng)計(jì)量鑒定合格，證書(shū)指出它的自由度為10。(當(dāng)證書(shū)上沒(méi)有有關(guān)自由度的信息時(shí)，就認(rèn)為自由度是無(wú)窮大。)標(biāo)稱值為200Ω的電阻經(jīng)校準(zhǔn)，校準(zhǔn)證書(shū)給出其校準(zhǔn)值為199.99Ω，校準(zhǔn)值的擴(kuò)展不確定度為0.02Ω（包含因子k為2）。用電壓表對(duì)該電阻在同一條件下重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)量值分別為：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。測(cè)量時(shí)溫度變化對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響可忽略不計(jì)。求功率的測(cè)量結(jié)果及其擴(kuò)展不確定度。（置信水平為0.95）電壓的B類不確定度電阻的B類不確定度電壓的A類不確定度解：（1）數(shù)學(xué)模型

（2）計(jì)算測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)值①②（3）測(cè)量不確定度的分析本例的測(cè)量不確定度主要來(lái)源為①電壓表不準(zhǔn)確；②電阻不準(zhǔn)確；③由于各種隨機(jī)因素影響所致電壓測(cè)量的重復(fù)性。·（4）標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的評(píng)定①電壓測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度電壓表不準(zhǔn)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u1（V）按B類評(píng)定。a1=2.32V×1%=0.023V(b)電壓測(cè)量重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u2（V）。按A類評(píng)定。(c)由此可得:電壓的自由度如下：②電阻不準(zhǔn)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u（R）由電阻的校準(zhǔn)證書(shū)得知，其校準(zhǔn)值的擴(kuò)展不確定度U＝0.02Ω，且k=2，則u（R）可由B類評(píng)定得到（5）計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC(P)，其中輸入量V（電壓）和R（電阻）不相關(guān)①計(jì)算靈敏系數(shù)c1和c2，得②計(jì)算uC(P)，得（6）確定擴(kuò)展不確定度U①計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度veff：電壓的自由度＝4.3，電阻的自由度可設(shè)為，則

②根據(jù)P＝0.95，veff＝5，查t分布，得③擴(kuò)展不確定度U0.95為（7）報(bào)告最終測(cè)量結(jié)果功率P＝（0.027±0.004）W（置信水平P＝0.95）包含因子k為2.57，有效自由度為5。1.合成不確定度的分配在進(jìn)行測(cè)量工作前，根據(jù)測(cè)量準(zhǔn)確度的要求來(lái)選擇測(cè)量方案，確定每項(xiàng)不確定度的允許范圍（1）按等作用原則分配不確定度：各個(gè)不確定度分量對(duì)合成不確定度的影響相等。假設(shè)不確定度互不相關(guān)，各個(gè)不確定度分量相等，

有：

則：

（2）有時(shí)，按照等作用原則分配不確定度，有的測(cè)量值難以滿足要求；另外，各分量靈敏系數(shù)不同，易導(dǎo)致相應(yīng)測(cè)量值的不確定度相差較大，因此必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整。對(duì)難以實(shí)現(xiàn)的不確定項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償；五、合成不確定度分配及最佳測(cè)量方案的選擇2.最佳測(cè)量方案的選擇選擇目的：使測(cè)量結(jié)果的不確定度為最小。（1）選擇最有利的函數(shù)公式應(yīng)先取包含測(cè)量值數(shù)目最少的函數(shù)公式來(lái)表示；應(yīng)選取不確定度較小的測(cè)量值的函數(shù)公式．

如測(cè)量?jī)?nèi)尺寸的誤差比測(cè)量外尺寸的誤差大，應(yīng)選擇含有外尺寸的函數(shù)公式。（2）使各個(gè)測(cè)量值對(duì)函數(shù)的靈敏系數(shù)為零或最小由函數(shù)公式可知，若使不確定度靈敏系數(shù)ci＝0或?yàn)樽钚?。則合成不確定度可相應(yīng)減小?！?.5測(cè)量數(shù)據(jù)處理

一、有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則由于測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測(cè)量結(jié)果的表示準(zhǔn)確唯一，計(jì)算簡(jiǎn)便，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，需對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進(jìn)1——在末位增1。（3）等于5時(shí)，取偶數(shù)——當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯(cuò)誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。1234567892.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對(duì)值不超過(guò)近似數(shù)末位的半個(gè)單位，則該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。有效數(shù)字=準(zhǔn)確讀數(shù)+1位估讀數(shù)字有效數(shù)字代表了測(cè)量所包含的最大誤差例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00005一、有效數(shù)字的一般概念例：用米尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度

L1=L2=3.43.45656

3.43.4中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開(kāi)頭的零不是有效數(shù)字。測(cè)量數(shù)據(jù)的絕對(duì)值比較大（或比較小），而有效數(shù)字又比較少的測(cè)量數(shù)據(jù)，應(yīng)采用科學(xué)計(jì)數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測(cè)量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測(cè)量的不確定度來(lái)確定，即測(cè)量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對(duì)齊。例如，某物理量的測(cè)量結(jié)果的值為63.44，且該量的測(cè)量不確定度u＝0.4，測(cè)量結(jié)果表示為63.4±0.4。幾點(diǎn)注意：3.近似運(yùn)算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。（1）加法運(yùn)算 以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（各項(xiàng)無(wú)小數(shù)點(diǎn)則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運(yùn)算：當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí)，有可能造成很大的相對(duì)誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測(cè)量方法，第二在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字。

（3）乘除法運(yùn)算以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字