初中尺規(guī)作圖詳細(xì)講解(含圖)

初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖講解初等平面幾何研究的對(duì)象，僅限于直線、圓以及由它們（或一部分）所組成的圖形，因此作圖的工具，習(xí)慣上使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)兩種.限用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的作圖方法，叫做尺規(guī)作圖法.最簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖有如下三條：⑴經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)可以畫一條直線；⑵已知圓心和半徑可以作一圓；⑶兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點(diǎn)；以上三條，叫做作圖公法.用直尺可以畫出第一條公法所說(shuō)的直線；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說(shuō)的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說(shuō)的交點(diǎn).一個(gè)作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述三條作圖公法，經(jīng)過(guò)有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問(wèn)題；否則，就稱為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題.歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問(wèn)題是：⑴三等分角問(wèn)題：三等分一個(gè)任意角；⑵倍立方問(wèn)題：作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；⑶化圓為方問(wèn)題：作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積.這三個(gè)問(wèn)題后被稱為“幾何作圖三大問(wèn)題".直至1837年，萬(wàn)芝爾（PierreLaurentWantzel）首先證明三等分角問(wèn)題和立方倍積問(wèn)題屬尺規(guī)作圖不能問(wèn)題；1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（FerdinandLindemann）證明n是一個(gè)超越數(shù)（即n是一個(gè)不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實(shí)數(shù)），由此即可推得根號(hào)n（即當(dāng)圓半徑r=1時(shí)所求正方形的邊長(zhǎng)）不可能用尺規(guī)作出，從而也就證明了化圓為方問(wèn)題是一個(gè)尺規(guī)作圖不能問(wèn)題.若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的，而當(dāng)中很多不可能證明是利用了由19世紀(jì)出現(xiàn)的伽羅華理論.盡管如此，仍有很多業(yè)余愛(ài)好者嘗試這些不可能的題目，當(dāng)中以化圓為方及三等分任意角最受注意數(shù)學(xué)家UnderwoodDudley曾把一些宣告解決了這些不可能問(wèn)題的錯(cuò)誤作法結(jié)集成書.還有另外兩個(gè)著名問(wèn)題：⑴正多邊形作法?只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形.?只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形.?只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形一一這個(gè)看上去非常簡(jiǎn)單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手無(wú)策，因?yàn)檎哌呅问遣荒苡沙咭?guī)作出的.?只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來(lái)，因?yàn)閱斡弥背吆蛨A規(guī)，是不足以把一個(gè)角分成三等份的.?問(wèn)題的解決：高斯，大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是2的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的積，解決了兩千年來(lái)懸而未決的難題.⑵四等分圓周只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個(gè)已知圓心的圓周4等分?這個(gè)問(wèn)題傳言是拿破侖?波拿巴出的，向全法國(guó)數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn).尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸：用生銹圓規(guī)（即半徑固定的圓規(guī)）作圖只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形生銹圓規(guī)作圖，已知兩點(diǎn)A、B，找出一點(diǎn)C使得AB=BC=CA.3?已知兩點(diǎn)A、B，只用半徑固定的圓規(guī)，求作C使C是線段AB的中點(diǎn).4.尺規(guī)作圖，是古希臘人按“盡可能簡(jiǎn)單”這個(gè)思想出發(fā)的，能更簡(jiǎn)潔的表達(dá)嗎？順著這思路就有了更簡(jiǎn)潔的表達(dá).10世紀(jì)時(shí)，有數(shù)學(xué)家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖.1672年，有人證明：如果把“作直線”解釋為“作出直線上的2點(diǎn)”，那么凡是尺規(guī)能作的，單用圓規(guī)也能作出！從已知點(diǎn)作出新點(diǎn)的幾種情況：兩弧交點(diǎn)、直線與弧交點(diǎn)、兩直線交點(diǎn)，在已有一個(gè)圓的情況下，那么凡是尺規(guī)能作的，單用直尺也能作出！五種基本作圖：初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線段等于已知線段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分線4.過(guò)一點(diǎn)做一已知線段的垂線5.做一線段的中垂線下面介紹幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法：⑴軌跡交點(diǎn)法：解作圖題的一種常見(jiàn)方法.解作圖題常歸結(jié)到確定某一個(gè)點(diǎn)的位置.如果這兩個(gè)點(diǎn)的位置是由兩個(gè)條件確定的，先放棄其中一個(gè)條件，那么這個(gè)點(diǎn)的位置就不確定而形成一個(gè)軌跡；若改變放棄另一個(gè)條件，這個(gè)點(diǎn)就在另一條軌跡上，故此點(diǎn)便是兩個(gè)軌跡的交點(diǎn).這個(gè)利用軌跡的交點(diǎn)來(lái)解作圖題的方法稱為軌跡交點(diǎn)法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌跡法.【例1】電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如下圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須

相等，到兩條髙速公路m、n的距離也必須相等，發(fā)射塔P應(yīng)修建在什么位置？【分析】這是一道實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)題意知道，點(diǎn)P應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是在線段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點(diǎn)P應(yīng)是它們的交點(diǎn).【解析】⑴作兩條公路夾角的平分線OD或OE；⑵作線段AB的垂直平分線FG；則射線OD，OE與直線FG的交點(diǎn)C,C?就是發(fā)射塔的位置【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，在直線y=x+3上求一點(diǎn)P，使AAOP是等腰三角形，這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)？【解析】首先要清楚點(diǎn)P需滿足兩個(gè)條件，一是點(diǎn)P在y=x+3上；二是AAOP必須是等腰三角形?其次，尋找P點(diǎn)要分情況討論，也就是當(dāng)

OA=OP時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑畫圓，與直線有兩個(gè)點(diǎn)P、P；當(dāng)OA=AP時(shí)，以A點(diǎn)為圓12心，OA為半徑畫圓，與直線無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)PO=PA時(shí)，作OA的垂直平分線，與直線有一交點(diǎn)P，所以3總計(jì)這樣的P點(diǎn)有3個(gè).【例3】設(shè)0O與0O'相離，半徑分別為R與R'，求作半徑為r的圓，使其與0O及0O'外切.r■rIr■rI【分析】設(shè)0M是符合條件的圓，即其半徑為r，并與0O及0O'外切，顯然，點(diǎn)M是由兩個(gè)軌跡確定的，即M點(diǎn)既在以O(shè)為圓心以R+r為半徑的圓上，又在以O(shè)'為圓心以R'+r為半徑的圓上，因此所求圓的圓心的位置可確定.若0O與0O'相距為b，當(dāng)2r<b時(shí)，該題無(wú)解，當(dāng)2r=b有唯一解；當(dāng)2r>b時(shí)，有兩解.【解析】以當(dāng)0O與0O'相距為b，2r>b時(shí)為例：⑴作線段OA=R+r，O'B=R'+r.⑵分別以O(shè),O'為圓心，以R+r，R'+r為半徑作圓，兩圓交于M,M兩點(diǎn).12⑶連接OM，OM，分別交以R為半徑的0O于D、C兩點(diǎn).12⑷分別以M,M為圓心，以r為半徑作圓.120M,0M即為所求.12【思考】若將例3改為：“設(shè)0O與0O'相離，半徑分別為R與R'，求作半徑為r(r>R)的圓，使其與0O內(nèi)切，與0O'外切又該怎么作圖？⑵代數(shù)作圖法：解作圖題時(shí)，往往首先歸納為求出某一線段長(zhǎng)，而這線段長(zhǎng)的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線段長(zhǎng)的表達(dá)式設(shè)計(jì)作圖步驟.用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法.【例4】只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周(已知圓心).【分析】設(shè)半徑為1?可算出其內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為"2,也就是說(shuō)用這個(gè)長(zhǎng)度去等分圓周?我們的任務(wù)就是做出這個(gè)長(zhǎng)度?六等分圓周時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)^3的長(zhǎng)度?設(shè)法構(gòu)造斜邊為<3,—直角邊為1的直角三角形，、込的長(zhǎng)度自然就出來(lái)了

解析】具體做法：⑴隨便畫一個(gè)圓.設(shè)半徑為1.⑵先六等分圓周?這時(shí)隔了一個(gè)等分點(diǎn)的兩個(gè)等分點(diǎn)距離為"3.⑶以這個(gè)距離為半徑，分別以兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)為圓心，同向作弧，交于一點(diǎn).（“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”其實(shí)就是直徑的兩端點(diǎn)啦！兩弧交點(diǎn)與“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”形成的是一個(gè)底為2,腰為＜3的等腰三角形?可算出頂點(diǎn)距圓心距離就是\運(yùn).）⑷以^2的長(zhǎng)度等分圓周就可以啦！【例5】求作一正方形，使其面積等于已知AABC的面積.【分析】設(shè)AABC的底邊長(zhǎng)為a,髙為h,關(guān)鍵是在于求出正方形的邊長(zhǎng)x,使得x2=ah,所以x是a與h的22比例中項(xiàng).【解析】已知：在AABC中，底邊長(zhǎng)為a，這個(gè)底邊上的髙為h,求作：正方形DEFG，使得：S=S正方形DEFGAABC作法：⑴作線段MD=1a；2⑵在MD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，使得DN=h；⑶取MN中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OM為半徑作0O；⑷過(guò)D作DE丄MN，交0O于E,⑸以DE為一邊作正方形DEFG.正方形DEFG即為所求.【例6】在已知直線l上求作一點(diǎn)M，使得過(guò)M作已知半徑為r的0O的切線，其切線長(zhǎng)為a.

OrBAMM1OrBAMM1【分析】先利用代數(shù)方法求出點(diǎn)M與圓心O的距離d，再以O(shè)為圓心，d為半徑作圓，此圓與直線l的交點(diǎn)即為所求.【解析】⑴作RtAOAB，使得：ZA=90。，OA=r，AB=a.⑵以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓.若此圓與直線l相交，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)M，M.12M，M即為所求.12若此圓與直線l相切，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)M.M即為所求.若此圓與直線l相離，此時(shí)無(wú)交點(diǎn).即不存在這樣的M點(diǎn)使得過(guò)M作已知半徑為r的00的切線，其切線長(zhǎng)為a.⑶旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑.【例7】已知：直線a、b、c，且a〃b〃c.求作：正AABC，使得A、B、C三點(diǎn)分別在直線a、b、c上.【分析】假設(shè)AABC是正三角形，且頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別在直線a、b、c上?作AD丄b于D，將AABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后，置于AACD'的位置，此時(shí)點(diǎn)D'的位置可以確定.從而點(diǎn)C也可以確定.再作ZBAC=60。，B點(diǎn)又可以確定，故符合條件的正三角形可以作出.解析】作法：⑴在直線a上取一點(diǎn)A，過(guò)A作AD丄b于點(diǎn)D；⑵以AD為一邊作正三角形ADD'；⑶過(guò)D'作D'C丄AD'，交直線c于C；⑷以A為圓心，AC為半徑作弧，交b于B（使B與D'在AC異側(cè)）.⑸連接AB、AC、BC得AABC.

AABC即為所求.【例8】已知：如圖，P為ZAOB角平分線OM上一點(diǎn).求作：APCD，使得ZP=90。,PC=PD，且C在OA上,D在OB上.【解析】⑴過(guò)P作PE丄OB于E.⑵過(guò)P作直線l//OB;⑶在直線l上取一點(diǎn)M，使得PM=PE（或PM'=PE）；⑷過(guò)M（或M'）作MC丄l（或M'C丄l），交OA于C（或C'）點(diǎn)；⑸連接PC（或PC'），過(guò)P作PD丄PC（或PD'丄PC'）交OB于D（或D'）點(diǎn).連接PD,CD（或PD',C'D'）.則APCD（或APC'D'）即為所求.⑷位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出滿足全部的條件.【例9】已知：一銳角AABC.求作:一正方形DEFG，使得D、E在BC邊上，F(xiàn)在AC邊上，G在AB邊上.【分析】先放棄一個(gè)頂點(diǎn)F在AC邊上的條件，作出與正方形DEFG位似的正方形D'E'F'G'，然后利用位似變換將正方形D'E'F'G'放大（或縮?。┑玫綕M足全部條件的正方形DEFG.解析】作法：⑴在AB邊上任取一點(diǎn)G'，過(guò)G'作G'D'丄BC于D'（2）以G'D'為一邊作正方形D'E'F'G'，且使E'在BD'的延長(zhǎng)線上.

⑶作直線BF'交AC于F.⑷過(guò)F分別作FG〃F'G'交AB于G；作FE〃F'E'交BC于E.⑸過(guò)G作GD〃G'D'交BC于D.則四邊形DEFG即為所求.⑸面積割補(bǔ)法作圖：對(duì)于等積變形的作圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個(gè)三角形，再借助平行線補(bǔ)上一個(gè)等底等高的另一個(gè)三角形，使面積不變，從而完成所作圖形.【例10】如圖，過(guò)AABC的底邊BC上一定點(diǎn)，P，求作一直線l，使其平分AABC的面積.AA【分析】因?yàn)橹芯€AM平分AABC的面積，所以首先作中線AM，假設(shè)PQ平分AABC的面積，在AAMC中先割去AAMP，再補(bǔ)上AANP.只要NM〃AP，則AAMP和AAMP就同底等髙，此時(shí)它們的面積就相等了.所以PN就平分了AABC的面積.解析】作法：⑴取BC中點(diǎn)M，連接AM,AP；(2)過(guò)M作MN〃AP交AB于N；⑶過(guò)P、N作直線l.直線l即為所求.【例11】如圖：五邊形ABCDE可以看成是由一個(gè)直角梯形和一個(gè)矩形構(gòu)成.⑴請(qǐng)你作一條直線l，使直線l平分五邊形ABCDE的面積；2這樣的直線有多少條？請(qǐng)你用語(yǔ)言描述出這樣的直線.DCDCDCDC【解析】(1)取梯形AFDE的中位線MN的中點(diǎn)O，再取矩形BCDF對(duì)角線的交點(diǎn)O'，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,O'的直線l即為所求；(2)這樣的直線有無(wú)數(shù)條.設(shè)⑴中的直線l交AE于Q，交BC于R，過(guò)線段RQ中點(diǎn)P，且與線段AE、BC均有交點(diǎn)的直線均可平分五邊形ABCDE的面積.

【例12】（07江蘇連云港）如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果醫(yī)二匹，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金ABAC分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的如果二，那么ss1定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為s’s2如果二，那么ss1⑴研究小組猜想：在AABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是AABC的黃金分割線．你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？⑵請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？⑶研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)D作直線DF〃CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線EF也是AABC的黃金分割線?請(qǐng)你說(shuō)明理由.⑷如圖4,點(diǎn)E是ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF〃AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是ABCD的黃金分割線.請(qǐng)你畫一條ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過(guò)ABCD各邊黃金分割C圖4C圖4【解析】⑴直線CD是AABC的黃金分割線?理由如下：設(shè)AABC的邊AB上的髙為h?S=-ADhS=-BDhSABhADBD二ABAD△ADC2△BDC2△ADBD二ABADSADSBD?△ADC△BDC二…SAB，S-AD?△ABC△ADC又???點(diǎn)D為邊AB的黃金分割點(diǎn),SS?△ADC=△BDC?-SS△ABC△ADC???直線CD是△ABC的黃金分割線.⑵???三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分,1SS此時(shí)S=S=—S，即r豐2，122SS1?三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線⑶?/DF〃CE，???△DEC和'FCE的公共邊CE上的髙也相等，S=S?△DEC△FCE?設(shè)直線EF與設(shè)直線EF與CD交于點(diǎn)G,??S△DGE=S?△FGC??S=S+