2022-2023學(xué)年安徽省肥東中學(xué)高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的一條漸近線(xiàn)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)且交的左支于兩點(diǎn)，若，的面積為8，則的漸近線(xiàn)方程為（）A． B．C． D．2．設(shè)x、y、z是空間中不同的直線(xiàn)或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線(xiàn)；②x、y是直線(xiàn)，z是平面；③z是直線(xiàn)，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是（）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②3．2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個(gè)貧困縣扶貧，要求每個(gè)貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到縣的分法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．36種4．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．-1 D．05．已知集合，則等于（）A． B． C． D．6．已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．7．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．8．歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過(guò)研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界，開(kāi)創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱(chēng)為割圓術(shù)．近代無(wú)窮乘積式、無(wú)窮連分?jǐn)?shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得值的計(jì)算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個(gè)公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是A． B． C． D．9．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)派四位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家，則甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知，則“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配，避免貧富過(guò)分懸殊，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線(xiàn)，如圖所示.勞倫茨曲線(xiàn)為直線(xiàn)時(shí)，表示收入完全平等.勞倫茨曲線(xiàn)為折線(xiàn)時(shí)，表示收入完全不平等.記區(qū)域?yàn)椴黄降葏^(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱(chēng)為基尼系數(shù).對(duì)于下列說(shuō)法：①越小，則國(guó)民分配越公平；②設(shè)勞倫茨曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則對(duì)，均有；③若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線(xiàn)近似為，則；④若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線(xiàn)近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)14．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則_________，該幾何體的表面積為_(kāi)________．15．已知雙曲線(xiàn)（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左，右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若，，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_________.16．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為.（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和直線(xiàn)的參數(shù)方程；（2）已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，滿(mǎn)足為的中點(diǎn)，求.18．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知拋物線(xiàn)：（）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為4.（1）求p的值；（2）設(shè)（）為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線(xiàn)分別與y軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn).求的取值范圍.20．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（10分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若，求直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線(xiàn)為，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，求證：直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在橢圓上．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得即，又，從而可得的漸近線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線(xiàn)方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力，屬于中檔題.2、C【解析】

①舉反例，如直線(xiàn)x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行判斷.③用垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行判斷.④舉例，如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線(xiàn)x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確；②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€(xiàn)平行,正確；③因?yàn)榇怪庇谕恢本€(xiàn)的兩平面平行,正確；④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線(xiàn)面關(guān)系，選擇題一般可通過(guò)特殊值法進(jìn)行排除，屬于簡(jiǎn)單題目.3、B【解析】

分成甲單獨(dú)到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨(dú)到縣，則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣，則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)答排列組合的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由函數(shù)，求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A，再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因?yàn)?，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.7、A【解析】

將點(diǎn)代入解析式確定參數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)斜率，即可由點(diǎn)斜式求的切線(xiàn)方程.【詳解】曲線(xiàn)，即，當(dāng)時(shí)，代入可得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得導(dǎo)函數(shù)可得，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，由點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程為，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程求法，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

初始：，，第一次循環(huán)：，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：，，此時(shí)，滿(mǎn)足條件，結(jié)束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是，所以正整數(shù)的最小值是3，故選B．9、A【解析】

每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由恒成立，等價(jià)于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?，分別作出及的圖象，由圖知，當(dāng)時(shí)，不符合題意，只須考慮的情形，當(dāng)與圖象相切于時(shí)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時(shí)，故.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問(wèn)題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.11、B【解析】

由兩直線(xiàn)垂直求得則或，再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”則，解得或，所以“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”是“”的必要不充分條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線(xiàn)的位置關(guān)系求得的值，同時(shí)熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

對(duì)于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式，可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積越小，國(guó)民分配越公平，所以①正確.對(duì)于②，根據(jù)勞倫茨曲線(xiàn)為一條凹向橫軸的曲線(xiàn)，由圖得，均有，可得，所以②錯(cuò)誤.對(duì)于③，因?yàn)?，所以，所以③錯(cuò)誤.對(duì)于④，因?yàn)?，所以，所以④正確.故選A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1．【解析】試題分析：由題意，可看作五個(gè)位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1．考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．點(diǎn)評(píng)：本題考查排列排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說(shuō)的背景，利用分步原理正確計(jì)數(shù)，本題較抽象，計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳．14、；【解析】試題分析：如圖：此幾何體是四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，并且，，所以體積是，解得，四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，所以計(jì)算出邊長(zhǎng)，表面積是考點(diǎn)：1．三視圖；2．幾何體的表面積．15、【解析】

設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義得出：，由得為等腰三角形，設(shè)，根據(jù)，可求出，得出，再結(jié)合焦點(diǎn)三角形，利用余弦定理：求出和的關(guān)系，即可得出離心率.【詳解】解：設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義得出：，，由圖可知：，又，即，則，為等腰三角形，，設(shè)，，則，，即，解得：，則，，解得：，，解得：，，在中，由余弦定理得：，即：，解得：，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線(xiàn)離心率.16、4【解析】設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.,故答案為4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）由曲線(xiàn)的參數(shù)方程消去參數(shù)可得曲線(xiàn)的普通方程，由此可求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；直接利用直線(xiàn)的傾斜角以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求出直線(xiàn)的參數(shù)方程即可；（2）將直線(xiàn)的參數(shù)方程，代入曲線(xiàn)的普通方程，整理得，利用韋達(dá)定理，根據(jù)為的中點(diǎn)，解出即可.【詳解】（1）由（為參數(shù)）消去參數(shù)，可得，即，已知曲線(xiàn)的普通方程為，，，，即，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，直線(xiàn)的參數(shù)方程：（為參數(shù)，）.（2）設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，.將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入并整理，得，，.又為的中點(diǎn)，，，，，即，，，，即，.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化以及直線(xiàn)參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以可轉(zhuǎn)化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因?yàn)椋?，所以，即，即．?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，不符合題意．當(dāng)時(shí)，解可得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為4，由拋物線(xiàn)的定義得到求解.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，則有，整理得：，根據(jù)題意，建立，將韋達(dá)定理代入求解.【詳解】（1）因?yàn)闄M坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為4，由拋物線(xiàn)的定義得：，解得:.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，整理得：，，由題意得：所以，，因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義及點(diǎn)與拋物線(xiàn)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，，則且為的中點(diǎn)，又∵為的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，故平面．（2）由平面，得，．以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，．取平面的一個(gè)法向量為，由，得：，令，得同理可得平面的一個(gè)法向量為∵平面平面，∴解得，得，又，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則.所以，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是．21、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，為中點(diǎn)【解析】

（1）證明面，即證明平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量方法得，解得，所以為中點(diǎn)．【詳解】（1）由于為中點(diǎn)，．又，故，所以為直角三角形且，即．又因?yàn)槊?，面面，面面，故面，又面，所以面面．?）由（1）知面，又四