初中數(shù)學(xué)教師基本功比賽一等獎?wù)f題稿

初中數(shù)學(xué)教師基本功比賽一等獎?wù)f題稿中考數(shù)學(xué)壓軸題歷來是初三師生關(guān)注的焦點，它一般有動態(tài)問題、開放性題型、探索性題型、存在性題型等類型，涉及到代數(shù)、幾何多個知識點，囊括初中重要的數(shù)學(xué)思想和方法。對于考生而言，中考壓軸題是一根標尺，可以比較準確的衡量學(xué)生綜合解題能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時它的得失，可以直接影響到學(xué)生今后的發(fā)展。下面我就2012年德州市數(shù)學(xué)中考第23題第2問進行講評。中考題如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A、點D重合)將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.求證：ZAPB=ZBPH；當點P在AD邊上移動時，APDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．審題分析本題涉及的知識點有：折疊問題；勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。本題通過翻折將全等變換，相似構(gòu)造，勾股定理運用，融進正方形，不失一道好的壓軸題，很值得推敲。由于此圖形是正方形，因此里面隱含著很多直角，這是學(xué)生所不注意的地方，也正是解決問題的突破口和切入點。題目的難點是學(xué)生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進行解決，總有“老虎吃天無從下口”的感覺。用好直角三角形和構(gòu)造直角三角形是解決此題的關(guān)鍵。由于此題綜合性較強，條件較分散，對學(xué)生分析問題的能力要求較高，因此難度較大，難度系數(shù)是。解題過程同一個問題，從不同的角度探究與分析，可有不同的解法。一題多解，有利于溝通各知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。思路與解法一：從線段AD上有三個直角這一條件出發(fā)，運用“一線三角兩相似”這一規(guī)律(見課件)，可將條件集中到厶EAP與厶PDH上,通過勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)來解決。解法如下：答：APDH的周長不變，為定值8.證明：設(shè)BE=a，貝I]AE=4-a，有折疊可知PE二BE=a，AP二2J2a-4,PD二4-2訂2a-4，0ZEPG=90o,ZAPE+ZDPH=900.又0ZPHD+ZDPH=9Oo,ZAPE=ZPHD

又0ZA又0ZA=ZD=900,「.AAEP?APDH.aAAEP的周長APDH的周長AEPD即4+2寸2a-44-a1APDH的周長—4-^.20^4*aAPDH的周長二32-8a=&4-a評析這種解法用的是設(shè)而不求的方法，這也是解決幾何問題的常規(guī)解法之一，解題過程中運用了勾股定理、相似，使解題思路明確，計算過程簡潔。思路與解法二：求厶PDH的周長，因為PD、DH都在正方形的邊上，所以需要將PH轉(zhuǎn)化到正方形的邊上進行解決，因此利用輔助線構(gòu)造三角形全等進行轉(zhuǎn)化。解法如下：答：APDH的周長不變，為定值8.證明：如圖2,過B作BQ丄PH,垂足為Q.由(1)知ZAPB=ZBPH,又?ZA=ZBQP=900,BP=BP,.■.△ABP竺△QBP..?.AP二QP,AB二BQ.又TAB二BC,.".BC=BQ.又?ZC=ZBQH=900,BH=BH,A^BCH^^BQH.aCH=QH..?.△PDH的周長為：PD+DH+P出AP+PD+DH+H(=AD+CD=8.評析這種解法用到了作輔助線,這樣把問題進行了轉(zhuǎn)化,利用三角形全等的知識,得出線段PH=PQ+PH=AP+CH,把分散的問題集中到已知條件上來，從而做到了化未知為已知，使問題迎刃而解?？偨Y(jié)提升：在原題的條件下，還可得以下結(jié)論：⑴求證：ZPBH=450;求證：S=S+SAPBHAABPABCH當PH二m時，則S=16一4m。ADHP證明略。評析拓展提升題有助于學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高思維能力，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力，并有助于拓展思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而使學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動性都得到提高。逆向探究：如圖1,現(xiàn)有一張邊長為4的正方形ABCD紙片，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A、點D重合)將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.ADHP的周長為8.求ABPH面積的最小值。解：設(shè)ABPH的面積為S,PD=x,DH=y,則AP=4-x,CH=4-y,S=2S+S正方形ABCDABPHADHP?16=2S+2xy.0HP=AP+CH,???HP=(4—x)+(4—y)=8—x—y.由勾股定理得HP2二DP2+DH2,即(8—x—y)2=x2+y2.整理得y=竺二32.x—88x—32?16=2S+x--x—8化簡得2x2+(S-16)x+(64-8S)二0.:.、二(S-16)2-8(64-8S)>0.S2+32S—256>0.S>16,2—16或S<—1^2—16（舍去）。S>16邁—16.?S的最小值為1^.2—16.評析加強逆向思維的訓(xùn)練，可改變思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向性，提高分析問題和解決問題的能力。因此教學(xué)中應(yīng)注重逆向思維的培養(yǎng)與塑造，以充分發(fā)揮學(xué)生的思考能力，訓(xùn)練其思維的敏捷性，從而激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)奧秘的興趣。像以上這種一題多解與一題多變的題例，在我們的教學(xué)過程中，如果有意識的去分析和研究，是舉不勝舉、美不勝收的。我想，拿到一個題目，如果這樣深入去觀察、分析、解決與反思，那必