CH 大數(shù)定律和中心極限定理

會(huì)計(jì)學(xué)1CH大數(shù)定律和中心極限定理2本章要解決的問題

為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計(jì)？為何能以樣本均值作為總體期望的估計(jì)？為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)是什么？大數(shù)定律中心極限定理第1頁/共23頁3§5.1切比雪夫不等式引理1

設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X)均存在，則對于任意實(shí)數(shù)

>

0，有下述不等式成立或第2頁/共23頁4切比雪夫不等式示意圖E(X)E(X)

+eE(X)

-eF(x)xD(X)/e2第3頁/共23頁5例1已知E(X)=100,D(X)=30，試估計(jì)隨機(jī)變量X落在(70,130)內(nèi)的概率。解:

P{70<X<130}=P{|X100|<30}由切比雪夫不等式可得0.967

契比雪夫不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，事件{|X|<}或

{|X|≥}的概率的一種估計(jì)方法第4頁/共23頁6§5.2大數(shù)定律

概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。

一般地，不僅隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性，很多一般的平均結(jié)果也都具有穩(wěn)定性，即無論個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果以及它們在進(jìn)行過程中的個(gè)別特性如何，大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果實(shí)際上與各個(gè)個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象的特征無關(guān)，也幾乎不再是隨機(jī)的了。大數(shù)定律即是研究這些事實(shí)的理論依據(jù)。大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率第5頁/共23頁7貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律定理1

設(shè)

nA

是n

重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的>0，有或第6頁/共23頁8引入隨機(jī)變量序列{Xk}由題設(shè)X1,X2,,Xn相互獨(dú)立證明：故n+時(shí)，結(jié)論成立。由切比雪夫不等式第7頁/共23頁9貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律的意義“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件A

發(fā)生的頻率頻率與

p

有較大偏差是小概率事件

因而在試驗(yàn)次數(shù)n

足夠大時(shí)，可用事件發(fā)生的頻率近似代替事件發(fā)生的概率，即此類定律說明了大次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)所呈現(xiàn)的客觀規(guī)律。同時(shí)，頻率的這種穩(wěn)定性也稱為依概率穩(wěn)定。第8頁/共23頁10切比雪夫（Chebyshev）大數(shù)定律定理2

設(shè)X1,X2,...,Xn,...是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且分別具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)和方差D(Xk),（k=1,2,...)。若方差有界，即存在常數(shù)C，使得D(Xk)C，則對于任意的>0，恒有

切比雪夫大數(shù)定律是貝努里大數(shù)定律的推廣，而貝努里大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的一個(gè)特例。第9頁/共23頁11證明：對于隨機(jī)變量序列{Xk}記根據(jù)切比雪夫不等式可知n1由方差和期望的性質(zhì)可得第10頁/共23頁12均服從同一分布，并且有相同的數(shù)學(xué)期望和方差2，則對于任意的>0，恒有或是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，推論

設(shè)第11頁/共23頁13當(dāng)

n

足夠大時(shí)，算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù)。

具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望。算術(shù)均值數(shù)學(xué)期望近似代替可被切比雪夫（Chebyshev）大數(shù)定律的意義第12頁/共23頁14辛欽（ХИНЧИН）大數(shù)定律定理3設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，均服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望

E(Xk)=,k=1,2,…,則對任意的

>0，均有第13頁/共23頁15§5.3中心極限定理

在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總影響。

觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)隨機(jī)因素在總影響中所起的作用不大，那么這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布。

研究“在一定條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布是以正態(tài)分布為極限分布”的定理統(tǒng)稱為中心極限定理。

第14頁/共23頁16獨(dú)立同分布的中心極限定理的分布函數(shù)Fn(x)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，即定理4

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,

E(Xk)=,D(Xk)=2>0(k=1,2,…)則隨機(jī)變量

第15頁/共23頁17林德伯格-列維中心極限定理示意圖第16頁/共23頁18(1)

對于當(dāng)n

足夠大時(shí)，Yn

的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，即近似近似服從表明：當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布。稱

Yn

為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。第17頁/共23頁19例2某大型商場每天接待顧客10000人，設(shè)每位顧客的消費(fèi)額(元)服從[200,2000]上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的，試求該商場的銷售額(元)在平均銷售額上、下浮動(dòng)不超過30000元的概率。解:設(shè)第k位顧客的消費(fèi)額為Xk(k=1,2,…,10000)商場日銷售額為X從而可得

第18頁/共23頁20由題設(shè)可知=100001100=11106第19頁/共23頁21P{11×10630000≤X≤11×106+30000}2(0.58)10.44由獨(dú)立同分布中心極限定理可得第20頁/共23頁22德莫弗-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理定理5

設(shè)隨機(jī)變量Xn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…，則對任意實(shí)數(shù)x，均有Xn

~N(np,np(1-p))(近似)即n