Ch 多維r v及其分布

會計學1Ch多維rv及其分布§1二維（元）r.v定義：設(X，Y)是二維r.v，，稱

F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)

為二維r.v(X，Y)的二維（或聯(lián)合）d.fF(x，y)的性質：1°F(x，y)關于x（或y）是不減的2°0≤F(x，y)≤1，而且

第2頁/共53頁第1頁/共53頁§1二維（元）r.v3°4°若x1＜x2，y1＜y2，則

P(x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2)=F(x2，y2)-F(x2，y1)-F(x1，y2)+F(x1，y1)≥0xy(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)x1x2y2y1第3頁/共53頁第2頁/共53頁§1二維（元）r.v若(X,Y)所有可能取值是有限或可列的，稱(X,Y)是二維離散r.v。假定(X,Y)可能取值為（ai,bj），i,j≥1

記而且，稱｛pij，i,j≥1｝為(X,Y)的二維概率分布。

Ypb1b2b3

…bk

…bj

…Xa1p11p12p13…p1k…p1j

…a2p21p22p23

…p2k

…p1j…a3

︰al

……︰aipi1pi2pi3

…pik

…pij

…︰……第4頁/共53頁第3頁/共53頁§1二維（元）r.v例1：在1-21個數字中任取一數，觀察：1°偶數；

2°能被3整除。解：若此數為偶數，令X=1，否則X=0；若此數能被3整除，令Y=1，否則Y=0?！邤?、12、18即是偶數，又被3整除數2、4、8、10、14、16、20是偶數，不能被3整除數3、9、15、21不是偶數，但能被3整除數1、5、7、11、13、17、19是奇數，不被3整除

∴

第5頁/共53頁第4頁/共53頁§1二維（元）r.v解（續(xù)）：XY0101

第6頁/共53頁第5頁/共53頁§1二維（元）r.v二維離散型r.v(X，Y)的聯(lián)合d.f為

對二維(X，Y)，其聯(lián)合d.f為F(x，y)，若存在非負的f(x，y)使得

則稱f(x，y)為(X，Y)的二維（聯(lián)合）d.l，此時稱(X，Y)為二維連續(xù)r.v。第7頁/共53頁第6頁/共53頁§1二維（元）r.vf(x，y)有性質：1°f(x，y)≥02°3°若f(x，y)在點(x，y)連續(xù)，則

4°對平面上任一區(qū)域G，有

第8頁/共53頁第7頁/共53頁§1二維（元）r.v例2：設二維r.v(X，Y)的二維d.l為

求：1°F(x，y)，2°P（）

解：1°

第9頁/共53頁第8頁/共53頁§1二維（元）r.v解（續(xù)）：2°

第10頁/共53頁第9頁/共53頁§1二維（元）r.v若二維r.v(X，Y)的二維d.l為

則稱(X，Y)服從二維正態(tài)分布，記為

一般地，若(X1,X2,…,Xn)是n維r.v（隨機向量），稱為(X1,…,Xn)的n維d.f，它有以下性質：

第11頁/共53頁第10頁/共53頁§1二維（元）r.v1°對每一xi，是單調不減的2°對每一xi，是右連續(xù)的3°4°對任意中，，有

第12頁/共53頁第11頁/共53頁§1二維（元）r.v對連續(xù)型r.v，若有n維非負函數f(x1，…，xn)使有

且在n維連續(xù)點(x1，…，xn)處有

第13頁/共53頁第12頁/共53頁§2邊緣（際，沿）分布設二維r.v(X，Y)的d.f為F(x,y)，r.vX、Y的d.f各記作FX(x)、FY(y)，分別稱為(X，Y)關于X、Y的邊緣d.f。

F(x,y)與FX(x)、FY(y)之間關系如下：1°離散型記，則第14頁/共53頁第13頁/共53頁§2邊緣（際，沿）分布

此外

所以

同理

所以

各稱為(X，Y)關于X與Y的邊緣分布。第15頁/共53頁第14頁/共53頁§2邊緣（際，沿）分布例1：已知(X，Y)：(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pij

則(X，Y)關于X與Y的各自邊緣分布為

X01Y01

第16頁/共53頁第15頁/共53頁§2邊緣（際，沿）分布一般地，若有如下分布：

ypy1y2y3

…yj

…Xx1p11p12p13

…p1j

…

x2p21p22p23

…p1j

…

︰xipi1pi2pi3

…pij

…

︰……

第17頁/共53頁第16頁/共53頁§2邊緣（際，沿）分布2°連續(xù)型設二維r.v(X，Y)的d.l為f(x,y)，則稱

各為(X，Y)關于X和Y的邊緣d.f。

而；各為(X，Y)關于X和Y的邊緣d.l。第18頁/共53頁第17頁/共53頁§2邊緣（際，沿）分布例2：（見書中例3），已知(X，Y)的二維d.l為

求：fX(x)（見書）；

解：∵

第19頁/共53頁第18頁/共53頁§2邊緣（際，沿）分布解（續(xù)）：∴

令，

則

即第20頁/共53頁第19頁/共53頁§3條件分布一、離散型

設r.vX，Y各有離散分布為

Xx0，x1，x2

…Yy0，y1，y2

…Pp0，p1，p2

…Pq0，q1，q2

…

而(X，Y)的二維分布為pij=P(X=xi，Y=yj)(X，Y)關于X、Y各自邊緣分布記為，i=0,1，…

，j=0,1，…第21頁/共53頁第20頁/共53頁§3條件分布對于任意i，j，設＞0，則稱

為在Y=yj

的條件下關于X的條件分布。稱

為在Y=yj條件下關于X的條件d.f。同理，可定義在X=xi條件下關于Y的條件分布與條件d.f。第22頁/共53頁第21頁/共53頁§3條件分布例1：在1-21個數字中，若已知取出的是偶數，求取出的這個數能被3整除的概率。解：按題意，在1-21個數字中共有10個偶數，能否被3

整除的分布為

第23頁/共53頁第22頁/共53頁§3條件分布例2：設某射手進行射擊，命中率為p(0＜p＜1)，射擊進行到擊中目標兩次為止。設X表示第1次擊中目標的射擊次數，Y表示總共進行射擊次數。求(X，Y)的二維分布及條件分布。解：∵P(X=m，Y=n)=p2qn-2(q=1-p)m=1,2,…,n-1，n=2,3,…

而

第24頁/共53頁第23頁/共53頁§3條件分布例2（續(xù)）：

∴

第25頁/共53頁第24頁/共53頁§3條件分布二、連續(xù)型此時，∵P(X=x)=(Y=y)=0，故需引進另外的定義：設＞0，＞0。若存在極限則稱此極限為在Y=y條件下關于X的條件d.f，記為或P(X≤x︱Y=y)

同理，可定義第26頁/共53頁第25頁/共53頁§3條件分布若(X，Y)存在二維d.lf(x，y)，且f(x，y)在(x，y)處連續(xù)，又(X，Y)關于Y的邊緣d.lfY(y)連續(xù)且大于0，則有

其中稱為在Y=y條件下關于X的條件d.l。第27頁/共53頁第26頁/共53頁§3條件分布例3：考察云霧寶中粒子的衰變，設某粒子到達衰變的時間X是r.v，服從參數為y的負指數分布，但不同的粒子，y是不同的。設參數y是某一r.vY的特定值，而Y服從(Gamma)分布，即其中，且，第28頁/共53頁第27頁/共53頁§3條件分布

例3（續(xù)）：于是X具有以下的條件d.l，求X的d.lfX(x)。

解：為求X的d.lfX(x)，先求(X，Y)的二維d.lf(x，y)，即當y＞0時，有

第29頁/共53頁第28頁/共53頁§3條件分布例3（續(xù)）：從而，當x＞0時，就有

第30頁/共53頁第29頁/共53頁§3條件分布例3（續(xù)）：當x≤0時，∵∴總之有例4：設(X，Y)～N()，試求解：∵第31頁/共53頁第30頁/共53頁§3條件分布例4（續(xù)）：∴

即它服從N（）第32頁/共53頁第31頁/共53頁§4相互獨立的r.v

設二維r.v(X，Y)的聯(lián)合d.f為F(x,y)，又(X，Y)關于X、Y各自的邊緣d.f為FX(x)和FY(y)，如果有

即則稱r.vX與Y相互獨立。第33頁/共53頁第32頁/共53頁§4相互獨立的r.v

當(X，Y)是二維連續(xù)型r.v，即其二維d.l為f(x,y)并且關于X、Y各自的邊緣d.l為FX(x)與FY(y)，于是從推知第34頁/共53頁第33頁/共53頁§4相互獨立的r.v

當(X，Y)是二維離散型r.v時，即有二維分布律：，關于X、Y各自的邊緣分布為，，則X與Y相互獨立的充要條件是對一切i,j有即第35頁/共53頁第34頁/共53頁§4相互獨立的r.v例1：設二維r.v(X，Y)的聯(lián)合分布為

123

1

2

試求，使得r.vX與Y相互獨立。第36頁/共53頁第35頁/共53頁§4相互獨立的r.v解：由題意知r.vX與Y各自的邊緣分布為

X12Y123

由于X與Y相互獨立故從及可得

及

解出，

第37頁/共53頁第36頁/共53頁§4相互獨立的r.v例1（續(xù)）：此時有，，，，∴X與Y相互獨立例2：考察二維正態(tài)r.v(X，Y)有二維d.l為

第38頁/共53頁第37頁/共53頁§4相互獨立的r.v例2（續(xù)）：但是，(X，Y)關于X或Y的各自邊緣d.l為

，

故欲使X，Y相互獨立特別取，代入得到

第39頁/共53頁第38頁/共53頁§4相互獨立的r.v

一般地，對于n維r.v(X1,X2,…,Xn)的n維d.f為F(x1,x2,…,xn)，它關于X1,X2,…,Xn各自的邊緣d.f為如果有則稱X1,X2,…,Xn相互獨立。第40頁/共53頁第39頁/共53頁§4相互獨立的r.v

若記m維r.vX=(X1,…,Xm)與n維r.vY=(Y1,…,Yn)各自的m維或n維聯(lián)合d.f為F1(x1,…,xm)或F2(y1,…,yn)，而m+n維r.v(X1,…,Xm,Y1,…,Yn)的聯(lián)合d.f為F(x1,…,xm；y1,…,yn)

當F(x1,…,xm；y1,…,yn)=F1(x1,…,xm)F2(y1,…,yn)時，則稱m維r.vX與n維r.vY相互獨立。第41頁/共53頁第40頁/共53頁§4相互獨立的r.v命題：設X=(X1,…,Xm)與Y=(Y1,…,Yn)是兩相互獨立的m維r.v與n維r.v，則Xi與Yj（，）是相互獨立的；若h(x1,…,xm)與g(y1,…,yn)是兩任意m元與n元連續(xù)函數，則h(X1,…,Xm)和g(Y1,…,Yn)是相互獨立的。例：設二維r.v(X，Y)有d.l為試問A,b,c,a滿足什么條件，使得X與Y相互獨立。第42頁/共53頁第41頁/共53頁§4相互獨立的r.v解：∵令

∴第43頁/共53頁第42頁/共53頁§4相互獨立的r.v例（續(xù)）：同理

為使X、Y相互獨立，要求f(x,y)=fX(x)fY(y)

即兩邊比較相應的參數a,b,c,A得到，b=0

所以在與b=0條件下，X與Y相互獨立第44頁/共53頁第43頁/共53頁§5兩r.v函數的分布一、Z=X+Y的分布設(X,Y)有二維d.l為f(x,y)，則Z=X+Y的d.F為

固定z,x，令u=y+x，du=dy，則∴第45頁/共53頁第44頁/共53頁§5兩r.v函數的分布

或當X、Y獨立時，∵f(x,y)=fX(x)