chap專題定積分的近似計算實用

會計學(xué)1chap專題定積分的近似計算實用2矩形法定積分的定義：定積分的近似計算第1頁/共31頁3矩形法n

充分大，△x

充分小定積分的近似：

通常我們?nèi)∽簏c法右點法中點法點可以任意選取，常見的取法有：

左端點，右端點和中點。第2頁/共31頁4步長節(jié)點

右點法：

中點法：

左點法：左點法、右點法和中點法第3頁/共31頁5解：矩形法舉例==>h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100例：用不同的矩形法計算下面的定積分(取n=100)，

并比較這三種方法的相對誤差。左點法：右點法：中點法：(i=0,1,2,...,100)第4頁/共31頁6理論值：左點法相對誤差：誤差分析矩形法舉例右點法相對誤差：中點法相對誤差：不同的方法有不同的計算精度有沒有更好的近似計算定積分的方法

?第5頁/共31頁7定積分幾何意義第6頁/共31頁8

曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似整個曲邊梯形的面積：梯形法第7頁/共31頁9

如果我們n

等分區(qū)間[a,b]，即令：則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點公式有什么區(qū)別

?第8頁/共31頁10解：==>例：用梯形法計算下面定積分(取n=100)，

并計算相對誤差梯形法舉例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)

相對誤差：第9頁/共31頁11

2n

等分區(qū)間[a,b]，得該直線用拋物線代替，計算精度是否會更好？

計算每個節(jié)點上的函數(shù)值：拋物線法

在區(qū)間[x0,x2]上，用過以下三點的拋物線來近似原函數(shù)f(x)。第10頁/共31頁12設(shè)過以上三點的拋物線方程為：則在區(qū)間[x0,x2]上，有y=

x2+x

+

=p1(x)

拋物線法第11頁/共31頁13同理可得：相加即得：拋物線法第12頁/共31頁14整理后可得：或辛普森(Simpson)公式拋物線法公式拋物線法第13頁/共31頁15==>例：用拋物線法計算下面定積分(取n=100)，

并計算相對誤差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)相對誤差：拋物線法第14頁/共31頁16梯形法：trapztrapz(x,y)

x

為分割點（節(jié)點）組成的向量，

y為被積函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值組成的向量。

Matlab近似計算定積分的相關(guān)函數(shù)Matlab計算定積分函數(shù)介紹第15頁/共31頁17前面的做法例：用梯形法計算下面定積分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)>>

x=0:1/100:1;>>

y=1./(1+x.^2);>>

trapz(x,y)trapz函數(shù)trapz(x,1./(1+x.^2))trapz舉例第16頁/共31頁18quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數(shù)，[a,b]為積分區(qū)間，tol

為計算精度將自變量看成是向量拋物線法：quad不用自己分割積分區(qū)間可以指定計算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函數(shù)運行的時間越長此處的函數(shù)

f是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運算，即

點運算：.*，./，.\，.^

注：拋物線法第17頁/共31頁19解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-16)函數(shù)表達式一定要用單引號括起來！涉及的運算一定要用數(shù)組運算！例：用quad

計算定積分：quad舉例第18頁/共31頁20拋物線法計算二重積分：dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)tol為計算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f(x,y)

可以由inline

定義，或通過一個函數(shù)句柄傳遞

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，[c,d]是第二積分變量

的積分區(qū)間按字母順序，大寫字母排在小寫字母的前面二重積分的計算第19頁/共31頁21>>

f=inline('4*x*y+3*y^2');>>

I=dblquad(f,-1,1,0,2)

f(x,y)

中關(guān)于第一自變量的運算是數(shù)組運算，

即把x

看成是向量，y

看成是標(biāo)量。也可以全部采用數(shù)組運算例2：計算二重積分>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>

dblquad(inline('4*x.*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)例1：計算二重積分dblquad舉例第20頁/共31頁22例：計算二重積分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分別是第一和第二積分變量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被積函數(shù)f(x,y)

的另一種定義方法：匿名函數(shù)>>

dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令運行結(jié)果和上面的一樣嗎？dblquad舉例第21頁/共31頁23拋物線法計算二重積分：triplequadtriplequad(f,a,b,c,d,e,f,tol)tol為計算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f(x,y)

可以由inline

定義，或通過一個函數(shù)句柄傳遞

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，[c,d]是第二積分變量

的積分區(qū)間，[e,f]

是第三積分變量的積分區(qū)間，三重積分的計算第22頁/共31頁24>>

f=inline('y*sin(x)+z*cos(x)');>>

I=dblquad(f,0,pi,0,1,-1,1)例1：計算三重積分triplequad舉例>>

Q=triplequad(...@(x,y,z)(y*sin(x)+z*cos(x)),...0,pi,0,1,-1,1)第23頁/共31頁25triplequad舉例>>

f=inline('(x*y*z)^2');>>

I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1)例1：計算三重積分>>

f=inline('(x.*y.*z).^2');>>

I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1)>>

f=inline('(x.*y*z).^2');>>

I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1)第24頁/共31頁26int(f,a,b)

計算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]。int(f)

計算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的不定積分。int(f,v,a,b)

計算函數(shù)f

關(guān)于自變量v

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]int(f,v)

計算函數(shù)

f

關(guān)于自變量

v

的不定積分findsym(f,1)符號積分：

intint符號積分第25頁/共31頁27>>

symsxy;>>

f=y*sin(x);>>

int(f,x)>>

int(f,y)>>

int(f)>>

int('a+b')ans=-y*cos(x)ans=1/2*y^2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b^2例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果int舉例第26頁/共31頁28例：用int

函數(shù)計算定積分：解：>>

symsx;>>

f=1/(1+x^2);>>

int(f,x,0,1)>>

f=sym('1/(1+x^2)');>>

int(f,x,0,1)>>

int('1/(1+x^2)',x,0,1)或>>

int('1/(1+x^2)',0,1)或或int舉例第27頁/共31頁29double(a)將a

轉(zhuǎn)化為雙精度型，若a

是字符，則取對應(yīng)的ASCII碼>>

a=3;>>

double(a)>>

double('a')例：ans=3ans=97其它相關(guān)函數(shù)第28頁/共31頁30>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)梯形法：拋物線法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)符號積分法：>>

s