Copula基本原理與模型構(gòu)建實(shí)用

會(huì)計(jì)學(xué)1Copula基本原理與模型構(gòu)建實(shí)用引言國(guó)際金融市場(chǎng)快速發(fā)展——市場(chǎng)間相互依存性加強(qiáng)。金融創(chuàng)新不斷涌現(xiàn)——金融風(fēng)險(xiǎn)越發(fā)集中和隱蔽。相關(guān)性分析是多變量金融分析中的一個(gè)中心問(wèn)題，資產(chǎn)定價(jià)、投資組合、波動(dòng)的傳導(dǎo)和溢出、風(fēng)險(xiǎn)管理等問(wèn)題都涉及相關(guān)性分析。而常用的線性相關(guān)系數(shù)有具有一定的局限性。如它要求變量間是線性的，且方差存在，但是金融市場(chǎng)中出現(xiàn)的不少數(shù)據(jù)往往是厚尾分布，它們的方差有時(shí)并不存在。金融波動(dòng)和危機(jī)的頻繁出現(xiàn)使風(fēng)險(xiǎn)度量和多變量金融時(shí)間序列分析成為國(guó)內(nèi)外關(guān)注的焦點(diǎn)，原有的多變量金融模型已不能完全滿足發(fā)展的需要。如用Var來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)須具備一定的條件，它在非橢圓分布時(shí)就不可用。第1頁(yè)/共32頁(yè)主要內(nèi)容常用的Copula函數(shù)Copula函數(shù)的定義1Copula函數(shù)的相關(guān)測(cè)度23Copula模型的構(gòu)建45Copula模型的參數(shù)估計(jì)第2頁(yè)/共32頁(yè)1.Copula函數(shù)的定義★什么是Copula函數(shù)？

形象地說(shuō)，我們可以把Copula函數(shù)叫做“連接函數(shù)”或“相依函數(shù)”，它是把多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與它們各自的邊緣分布相連接起來(lái)的函數(shù)。多元聯(lián)合分布函數(shù)邊緣分布Copula函數(shù)第3頁(yè)/共32頁(yè)1.Copula函數(shù)的定義★Sklar定理

令為具有邊緣分布的聯(lián)合分布函數(shù)，那么存在一個(gè)Copula函數(shù)，滿足：若連續(xù)，則唯一確定。第4頁(yè)/共32頁(yè)2.相關(guān)性測(cè)度2.1.提出問(wèn)題2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測(cè)度2.3.尾部相關(guān)性第5頁(yè)/共32頁(yè)2.1.關(guān)于相關(guān)系數(shù)★一個(gè)問(wèn)題

我們知道，對(duì)于兩個(gè)變量之間的相關(guān)性關(guān)系，我們可以利用相關(guān)系數(shù)來(lái)度量，但是，我們看下面的問(wèn)題：若（x，y顯然關(guān)系密切）

則

即x，y的相關(guān)系數(shù)為0。

因此，當(dāng)變量間的關(guān)系是非線性時(shí)，用相關(guān)系數(shù)來(lái)度量其關(guān)系是不可靠的。而Copula函數(shù)在一定的范圍內(nèi)就可以避免這個(gè)問(wèn)題。第6頁(yè)/共32頁(yè)2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測(cè)度★定理對(duì)隨機(jī)變量做嚴(yán)格的單調(diào)增變換，相應(yīng)的Copula函數(shù)不變。①Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ②Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρ③Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)γ第7頁(yè)/共32頁(yè)2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測(cè)度①Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ

考察兩個(gè)變量的相關(guān)性時(shí)，最直觀的方法是考察它們的變化趨勢(shì)是否一致。若一致，表明變量間存在正相關(guān)；若不一致，表明變量間是負(fù)相關(guān)的。令和為隨機(jī)向量(X,Y)的兩組觀測(cè)值，如果且，或者且,即，則稱和是一致的，反之，即，則為不一致。第8頁(yè)/共32頁(yè)2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測(cè)度◆定義：和為獨(dú)立同分的隨機(jī)向量，，完全正相關(guān)；，完全負(fù)相關(guān)；，無(wú)法判定。◆可以看到，對(duì)于單調(diào)增函數(shù)s(x)和t(y)，有因此τ值對(duì)單調(diào)增的變換是不變的?！鬕endall秩相關(guān)系數(shù)可以由Copula函數(shù)給出（證明略）：第9頁(yè)/共32頁(yè)2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測(cè)度②Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρ◆定義：和為獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，則◆Sperman秩相關(guān)系數(shù)對(duì)嚴(yán)格單調(diào)增的變換也是不變的，由相應(yīng)的Copula函數(shù)來(lái)表示如下：第10頁(yè)/共32頁(yè)2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測(cè)度③Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)γ

τ和ρ只考慮了隨機(jī)變量變化方向的一致性和不一致性，而Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)則更細(xì)致地考慮了隨機(jī)變量變化順序的一致性和不一致性。設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的n個(gè)樣本為，將按從小到大順序排列后，的名次稱為它的秩，同樣在中的名次（秩）記為。如果x，y的變化是一致的，就應(yīng)該很小，所以反映了不一致的程度。如果變化方向相反，那么與應(yīng)處于兩端，位于位置時(shí)，應(yīng)位于倒數(shù)第的位置上，即第的位置上，因此，就應(yīng)該很小，而就反映了相反變化的不一致程度。第11頁(yè)/共32頁(yè)2.2.基于Copula函數(shù)的相關(guān)性測(cè)度◆定義：令為隨機(jī)變量X,Y的樣本，i=1,2,...,n的秩，則◆Gini系數(shù)可以擴(kuò)展到無(wú)限樣本的情形，并有相應(yīng)的Copula函數(shù)給出：第12頁(yè)/共32頁(yè)2.3.尾部相關(guān)性◆在金融風(fēng)險(xiǎn)分析中，更有意義的是隨機(jī)變量的尾部相關(guān)性，這一特性用Copula函數(shù)來(lái)處理十分方便?？紤]條件概率，它可以用來(lái)討論金融市場(chǎng)之間或金融市場(chǎng)中各類資產(chǎn)之間的相關(guān)性?！舢?dāng)x,y趨于無(wú)窮大或足夠大時(shí)，即反映了隨機(jī)變量X與Y的尾部相關(guān)性。第13頁(yè)/共32頁(yè)2.3.尾部相關(guān)性◆定義：(上尾相關(guān)與獨(dú)立、下尾相關(guān)與獨(dú)立)令為連續(xù)隨機(jī)變量的向量，邊緣分布分別為F,G，則的上尾相關(guān)系數(shù)為若，X,Y稱為上尾相關(guān)；若，X,Y稱為上尾獨(dú)立。下尾相關(guān)系數(shù)為若，X,Y稱為下尾相關(guān)；若，X,Y稱為下尾獨(dú)立。第14頁(yè)/共32頁(yè)2.3.尾部相關(guān)性由于同樣可證因此，基于Copula函數(shù)的尾部相關(guān)性可以表示為第15頁(yè)/共32頁(yè)相關(guān)性測(cè)度總結(jié)◆Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ◆Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρ◆Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)γ◆上尾相關(guān)系數(shù)◆下尾相關(guān)系數(shù)第16頁(yè)/共32頁(yè)3.常用的Copula函數(shù)3.1.二元正態(tài)Copula函數(shù)3.2.二元t-Copula函數(shù)3.3.二元阿基米德Copula函數(shù)第17頁(yè)/共32頁(yè)3.1.二元正態(tài)Copula函數(shù)第18頁(yè)/共32頁(yè)3.2.二元t-Copula函數(shù)第19頁(yè)/共32頁(yè)3.3二元阿基米德Copula函數(shù)◆阿基米德分布函數(shù)的定義:其中稱為阿基米德Copula函數(shù)的生成元，它是一個(gè)凸的減函數(shù)?！舫Ｓ玫亩⒒椎翪opula函數(shù)：

①GumbelCopula函數(shù)②ClaytonCopula函數(shù)③FrankCopula函數(shù)第20頁(yè)/共32頁(yè)3.3二元阿基米德Copula函數(shù)①GumbelCopula函數(shù)生成元第21頁(yè)/共32頁(yè)3.3二元阿基米德Copula函數(shù)上尾部變化十分敏感第22頁(yè)/共32頁(yè)3.3二元阿基米德Copula函數(shù)②ClaytonCopula函數(shù)生成元第23頁(yè)/共32頁(yè)3.3二元阿基米德Copula函數(shù)下尾部變化十分敏感第24頁(yè)/共32頁(yè)3.3二元阿基米德Copula函數(shù)③FrankCopula函數(shù)生成元第25頁(yè)/共32頁(yè)3.3二元阿基米德Copula函數(shù)描述對(duì)稱相關(guān)結(jié)構(gòu)，上尾下尾相關(guān)性變化都不敏感第26頁(yè)/共32頁(yè)4.Copula模型的構(gòu)建★兩階段法：1.確定邊緣分布；2.選取一個(gè)適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)，以便能很好地描述出隨機(jī)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。第27頁(yè)/共32頁(yè)4.Copula模型的構(gòu)建★選擇適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)1.看這種Copula函數(shù)的特征是否與現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)指數(shù)的收益率之間的相關(guān)性符合。2.看這種Copula函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的可操作性。3.看這種Copula函數(shù)所模擬結(jié)果與實(shí)際符合的程度。★邊緣分布的選擇:自回歸模型常用的單變量時(shí)間序列模型時(shí)間序列模型波動(dòng)模型