CH5測量誤差的基本知識3

會計學1CH5測量誤差的基本知識3第一節(jié)概述

通常把測量儀器、觀測者的技術水平和外界環(huán)境三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件不理想和不斷變化，是產生測量誤差的根本原因。通常把觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測。第1頁/共35頁

三、測量誤差的分類測量誤差按其對測量結果影響的性質，可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。第一節(jié)概述第2頁/共35頁1、系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差一般具有累積性。系統(tǒng)誤差產生的主要原因之一，是由于儀器設備制造不完善。例如，用一把名義長度為50m的鋼尺去量距，經檢定鋼尺的實際長度為50.005m，則每量一尺段，就帶有+0.005m的誤差(“+”表示在所量距離值中應加上)，丈量的尺段越多，所產生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比。第一節(jié)概述第3頁/共35頁

再如，在水準測量時，當視準軸與水準管軸不平行而產生夾角時，對水準尺的讀數(shù)所產生的誤差為l*i″/ρ″（ρ″=206265″，是一弧度對應的秒值)，它與水準儀至水準尺之間的距離l成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，對測量結果的影響很大。但是由于系統(tǒng)誤差的大小和符號有一定的規(guī)律，所以可以采取措施加以消除或減少其影響。第一節(jié)概述第4頁/共35頁2、偶然誤差在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均不一定，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。例如，用經緯儀測角時的照準誤差，鋼尺量距時的讀數(shù)誤差等，都屬于偶然誤差。偶然誤差，就其個別值而言，在觀測前我們確實不能預知其出現(xiàn)的大小和符號。但若在一定的觀測條件下，對某量進行多次觀測，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律。而且，隨著觀測次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯。第一節(jié)概述第5頁/共35頁3、粗差：由于觀測過程中的錯誤所產生的誤差。第一節(jié)概述四、多余觀測1、多余觀測2、閉合差（不符值）：觀測結果之間的矛盾3、測量平差：誤差處理五、測量平差的任務1、求出最可靠值（最或然值、平差值）2、評定測量成果的精度第6頁/共35頁第二節(jié)精度的概念

所謂精度，就是各個觀測值之間的密集或離散程度。習慣上所說的精度通常都是對誤差而言，分布密集，誤差就小，精度就高；反之，分布離散，誤差就大，精度就低。為使泛指的精度更加確切，應按不同性質的誤差來定義精度。精密度：偶然誤差大小的程度正確度：系統(tǒng)誤差大小的程度準確度：偶然和系統(tǒng)誤差的綜合，表示測量結果與真值的一致程度第7頁/共35頁第三節(jié)偶然誤差的特性一、偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律真值：觀測量客觀上存在的一個能代表其真正大小的數(shù)值，一般用X表示。觀測值：對該量觀測所得的值，一般用Li表示。真誤差：觀測值與真值之差，一般用i=Li-X表示第8頁/共35頁例：在相同的條件下獨立觀測了358個三角形的全部內角，每個三角形內角之和應等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計算各內角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔5秒進行統(tǒng)計。誤差區(qū)間—△+△KK/n(K/n)*d△KK/n(K/n)*d△0~5450.1260.0252460.1280.02565~10400.1120.0224410.1150.023010~15330.0920.0184330.0920.018415~20230.0640.0128210.0590.011820~25170.0470.0094160.0450.009025~30130.0360.0072130.0360.007230~3560.0170.003450.0140.002835~4040.0110.002220.0060.0012>40000000和1810.5050.1011770.4950.099第9頁/共35頁用直方圖表示:0468-8-6-4閉合差頻數(shù)/d概率密度函數(shù)曲線符合正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：式中σ是觀測誤差的標準差（方根差或均方根差）第10頁/共35頁1、有限性:在一定條件下的有限觀測值中，其誤差的絕對值不會超過一定的界限；2、密集性:絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多；3、對稱性:絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等；4、抵償性:當觀測次數(shù)無限增多時，其算術平均值趨近于零，Limn——n[]=0偶然誤差的特性第11頁/共35頁誤差曲線在縱軸兩邊各有一個轉向點（拐點）。如果將f（Δ）求二階導數(shù)并令其等于零，可求得曲線拐點橫坐標：Δ拐=±σ從下圖可知，由于誤差出現(xiàn)在-σ~+σ區(qū)間內的相對個數(shù)是某個定值，即介于曲線f（Δ），橫軸和直線Δ=-σ，Δ=+σ之間的曲邊梯形的面積是個定值。所以當σ愈小時，曲線將愈陡峭，即誤差分布較密集；當σ愈大時，曲線將愈平緩，即誤差分布較分散。因此，參數(shù)σ的值表征了誤差擴散的特征-σ+σΔf（Δ）第12頁/共35頁第四節(jié)衡量精度的標準

測量成果中都不可避免地含有誤差，在測量工作中，使用“精度”來判斷觀測成果質量好壞的。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。第13頁/共35頁第四節(jié)衡量精度的標準一、絕對誤差1、標準差上式中求σ值,要求觀測次趨于無窮大，不現(xiàn)實。

觀測誤差的標準差為σ,其定義為

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2、中誤差在相同的觀測條件下，對同一未知量進行n次觀測，所得各個真誤差平方的平均值，再取其平方根，稱為中誤差，用m表示，即：第四節(jié)衡量精度的標準［ΔΔ］——等精度觀測誤差Δi自乘的總和；

n——觀測次數(shù)。

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一組觀測中的每一個觀測值，都具有相同的精度。也就是說，中誤差僅是一組真誤差的代表值，代表了這一組測量中任一個觀測值的精度。所以，通常把m稱為觀測值中誤差或一次觀測值中誤差。不能用每次觀測的真誤差來說明一組中哪次精度高或低第四節(jié)衡量精度的標準第16頁/共35頁二、相對誤差中誤差和真誤差都是絕對誤差，誤差的大小與觀測量的大小無關。然而，有些量如長度，絕對誤差不能全面反映觀測精度，因為長度丈量的誤差與長度大小有關。例如，分別丈量了兩段不同長度的距離，一段為100m，另一段為200m，但中誤差皆為±0.02m。顯然不能認為這兩段距離觀測成果的精度相同。為此，需要引入“相對誤差”的概念，以便能更客觀地反映實際測量精度。

第四節(jié)衡量精度的標準第17頁/共35頁

相對誤差的定義為：中誤差的絕對值與相應觀測值之比，用K表示。相對誤差習慣于用分子為1的分數(shù)形式表示，分母愈大，表示相對誤差愈小，精度也就愈高。第四節(jié)衡量精度的標準第18頁/共35頁三、允許誤差--極限誤差根據(jù)偶然誤差的第一個特性，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，這個限值就是極限誤差，簡稱限差。限差是偶然誤差的限制值，用作觀測成果取舍的標準。如果觀測值的偶然誤差超過限差，則認為該觀測值不合格，應舍去不用。因此，測量上常取三倍中誤差作為極限誤差Δ限，也稱允許誤差，即：Δ限=3m。如實際工作要求嚴格，有時也取Δ限=2m第四節(jié)衡量精度的標準第19頁/共35頁

對于能直接觀測的量(如角度、距離、高差等)，經過多次觀測后，便可通過真誤差或改正數(shù)計算出觀測值的中誤差，作為評定觀測值精度的標準。但在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關系計算出來，這些未知量即為觀測值的函數(shù)。例如，在水準測量中，兩點間的高差h=a-b，則h是直接觀測值a和b的函數(shù)，等等。本節(jié)所要討論的就是在觀測值中誤差為已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學關系的定律，稱為誤差傳播定律。第五節(jié)誤差傳播定律第20頁/共35頁一、線性函數(shù)的誤差傳播定律1、倍數(shù)函數(shù)的中誤差設有函數(shù)：Z=KL，L的中誤差為mL，Z的中誤差為mz,ΔZ、ΔL分別表示Z和L的真誤差，則：Z+ΔZ=K（L+ΔL），則ΔZ=KΔL，若對L進行n次觀測，則有：Δzi=KΔLi

（i=1，2，…n），將其分別平方后求和并除以n得：第五節(jié)誤差傳播定律第21頁/共35頁2、和、差函數(shù)的中誤差則有：設有函數(shù)：若對x和y分別進行n次觀測，則有：對上式分別平方后求和并除以n，得：由于或若有函數(shù)：則有：等精度觀測第22頁/共35頁3、線性函數(shù)的中誤差設有函數(shù)：式中Z為觀測值函數(shù)，Ki為常數(shù)，xi為獨立觀測值，其中誤差為mi，設：第23頁/共35頁二、一般函數(shù)的中誤差設有函數(shù)：對上式全微分得：由于測量中的真誤差很小，故可用真誤差代替式中相應的微分，得：第24頁/共35頁三、求函數(shù)中誤差的步驟與注意事項1、根據(jù)題意列出函數(shù)關系式；2、判斷各觀測值之間是否互相獨立；3、判斷表達式屬于何類函數(shù)，并代入相應的公式運算；4、注意公式中各單位的統(tǒng)一。第25頁/共35頁一、水準測量的精度A、B兩點間進行水準測量，共測了n個測站

（等精度觀測）

mm

設兩測站間的水準D，且前后視距為d則

令當D=1km，為1km水準路線高差中誤差第六節(jié)測量精度分析舉例

第26頁/共35頁第27頁/共35頁一、最小二乘原理在等精度觀測時在非等精度觀測時第七節(jié)最小二乘法原理第28頁/共35頁（一）求最或然值在相同的觀測條件下，對某量進行n次觀測，其觀測值分別為L1，L2，…，Ln，則該量的算術平均值為：設該未知量的真值為X，則各觀測值的真誤差分別為：等式兩邊求和并除以n因為算術平均值最接近真值，所以又稱其為最或然值。二、等精度直接平差第29頁/共35頁（二）精度評定因觀測值的真值往往不知，故改用觀測值的改正數(shù)來求。在相同觀測條件下，一組觀測值的改正數(shù)之和恒等于零。相加平方求和第30頁/共35頁因所以因所以第31頁/共35頁例：對某段距離進行同精度丈量，觀測值列于下表，試求這段距離的最或是值、觀測值中誤差及最或是值的中誤差、相對誤差。編號觀測值δL(mm)V(mm)vv精度評定12345148.064148.058148.063148.062148.060+60+5+4+2–3+3–2–1+199411