2003年全國統(tǒng)一考試理科卷

2003年普通高等學校招生統(tǒng)一考試（卷 學（理工農醫(yī)類本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）12

2x,0cosx4,則tan2x

7310頁?？荚嚱Y束后.

3．設函數(shù)

2x1,xf(x) ,

若f(x0

，則x0的取值范圍是

（60分

x答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的、準考號、考試科目用鉛筆涂寫在答題

A（－1，1） B（－1，+∞）C（－∞，－2）∪（0，+∞） D（－∞，－1）∪（1，+∞）4．O是平面上一定點，A、B、CP如果事件A、B互斥，那 球的表面積公

OPOA

|AB

|AC

則PABC A．外 B．內 C．重 D．垂如果事件A、B相互獨立，那 其中R表示球的半P（A·B）=P（A·P（B）

5y

x1Ank

V4R3

exyex

,x

y

exex

,x 其中R表示球的半P(k)CkPk(1

y

exex

,x

y

exex

,x 12560分，在每小題給出的四個選項中，

a a a a 一項是符合題目要求的1 1 (3

a0,f(x)ax2bxcy

f(xP(x0,f(x0值范圍為 1

]，則P到曲線y4

f1

1 3

1 3

1 3

1 3

a

[0,|b

[0,|b1

C．3

已知方程(x22xm)(x22xn)014則|mn

第Ⅱ卷（90分4416分.答案填在題中橫線上

(x21)9展開式中x9的系數(shù)

1200輛，60002000F

7,0直線yx1與其相交于MN兩點MN中點的橫坐標為23

產品質量?，F(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46取 1 x y1 22C．x 22

x y1 1 22D．x 22

6（如圖）.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一 序A（0，0，B（2，0，C（2，1）D（0，1）.一質點從ABP0AB夾角為θBCP1CD、DA序

下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是 則tan

（x40

1 B．(1, 3

C．(2,15

D．(2,2)5

674分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟lim n

17（已知函f(x2sinx(sinxcosx).

求函數(shù)f(x)y

f(x在區(qū)間[

,

上的圖象3一個四面體的所有棱長都為

22，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為2 19（a0f(x)

xln(xa)(x0,的單調區(qū)間x18（如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側棱AA1=2，D、ECC1A1BEABD上的射影是△ABD的G.A1BABD所成角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示A1AED的距離20（A、B兩隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是BAAA1AAA12313A22535A32535

21（a>0c=（0，a，i=（1，0Oc+λi為方向向量的直是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存10A隊、B分分別為ξ、求ξ、η22（ 設a為常數(shù)，且a3n1 (n n1

1[3n(1)n12n](1)n2na n1anan1a0的取值范圍

2003年普通高等學校招生統(tǒng)一考試（卷數(shù)學試題（理工農醫(yī)類）5601.B2.D3.D4.B5.B6.C7.B8.C9.D10.C11.B4162

本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質和恒等變換的基本技能,考查畫圖的技能.滿分12分解：（1）f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin441

2(sin2xcos4

cos2xsin4

1

2xy所以函數(shù)f(x)的最小正周期為，最大值為2xy（2）由（1）

f(x)0x2(2a4)xa2（i）a1x0x22a4a20即f(x)0，此時f(x)在(0,內單調遞增y

f(x在區(qū)間[2

2

（ii）a1x1x22a4)xa20即f(x)0，此時f(x)在（0，1）內單調遞增，又知函數(shù)f(x)x=1間想象能力和推理運算能力.滿分12分.（Ⅰ）BGBGBEABD的射影，即∠EBGA1BABD所成FABEF、

函數(shù)f(x)在（0，+）（iii）0a1時，令f(x)0x22a4)xa20解得x2a21a,或x2a 連結DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形

因此，函數(shù)f(x在區(qū)間(0,2a21a內單調遞增，在區(qū)間(2a

1aEF2于是ED

FD1FD2EF332,EG21633

FD

分

內也單調遞增令f(x)0,即x22a4)xa203FCCD AB3

EB1sinEBGEG61

2

2a

x2a

1a 2A1B與平面ABD所成的角是arcsin32

因此，函數(shù)f(x（2a

1a,2a

1a內單調遞減（Ⅱ）連結A1D，有

VD

本小題考查離散型隨量分布列和數(shù)學期望等概念考查運用概率知識解決實際問題的能（滿分EDABEDEF,又EFAB

12分ED平面A1AB,A1AED2則 h 26 故A1到平面AED的距離2

P(3)222

P(2)

本小題主要考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法及推理和運算能力.12分

2 12解：f(x)12

x

(x0)

P(0)

33a0x0

f

35 2又 1 1AAAB 2

1AEED 6

根據(jù)題意知ξ+η=3，所以

, 2A1 4

h 26

2263

, 2（1）BGBGBEABD的射影，即∠A1BGA1BABD所成的角

（2）E3

2

15

0

E3E

23如圖所示建立坐標系，坐標原點為O，設E（a，a，1）G（2a,2a,1 GEaa

本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分12分.解：根據(jù)題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩 3

3

OPAP

yax

ya2axGEBD

2a2

0

消去參數(shù)λP(x,yyya)2a2x2 4

(ya2x 2

a

(2,2,2),BG(232

,3

(a 1cosABG1

BA1BG

14/

7|

||BG

231 3

（i）a

E27（ii）7

0a

2

2a

F

,a

A1B與平面ABD所成角是 3（2）由（1）

12121a（iii）a2

22

a22a222

F

a22a222

A1EDAA1EED∴平AEDAA1EAEDAAEDKAE上

合乎題意的兩個定點本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學歸納法，考查靈活運用數(shù)學知識分析問題和解14分.證法一：（i）n=1a1=1－2a0AKAE，AKAAAK

（ii）n=k（k≥1）

1[3k(1)k12k] 由AKAE0，即20， 解得2

3k

3k21AK(

4)

k

1[3k1(1)k2k1](1)k1 3

n=k+1時，等式也成立.根據(jù)（i）和（ii）n∈N，成立

3n1

a3n1

3n1

a15

a0

(0,3所以 3n是公比為－2，首項

的等比數(shù)列an5

a1aa3n3an

3)(2)

00

(nN

即n

3n(1)n15

(1)n2naan

anan1

23n1(1)n13050

3

a0

(nN)

(1)n1

1)(3)n2(nN).2（i）當n=2k－1，k=1，2

(1)2k2

1)

(3)2k20即為0

132k 1( ( ②式對k=1，2

a1

3 (

0 0（ii）當n=2k，k=1，2

(1)2k1

1)

(3)2k22即

15

(3)2k2

1 ③式對k=1，25a1

(2

151

n∈N0a1 a0的取值范圍為(0,).3解法二：如果anan1（n∈N*）成立，特別取n=1，2 a1a013a0aa

因此0

1 0a