D112數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法

會(huì)計(jì)學(xué)1D112數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法定理2(比較審斂法)若是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),則級(jí)數(shù)

且級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.證（１）設(shè)第1頁(yè)/共45頁(yè)即有界，所以級(jí)數(shù)收斂;（２）用反證法，假設(shè)收斂;則由（１）知級(jí)數(shù)也收斂,

這與級(jí)數(shù)發(fā)散矛盾第2頁(yè)/共45頁(yè)都有設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2)若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)證:設(shè)對(duì)一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和,則有是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論１第3頁(yè)/共45頁(yè)(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)若弱級(jí)數(shù)因此這說(shuō)明強(qiáng)級(jí)數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共45頁(yè)例1.討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)/共45頁(yè)因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)/共45頁(yè)調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)/共45頁(yè)證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:

因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共45頁(yè)定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:

據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共45頁(yè)由定理

2

可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),(2)當(dāng)l=

0時(shí),由定理2知收斂,若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)/共45頁(yè)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)當(dāng)且收斂時(shí),(3)當(dāng)且發(fā)散時(shí),也收斂;也發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共45頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.因?yàn)槎蚨?2頁(yè)/共45頁(yè)的斂散性.～例4.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例5.

判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共45頁(yè)對(duì)任意給定的正數(shù)定理4.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共45頁(yè)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級(jí)數(shù)說(shuō)明:但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共45頁(yè)例6.

證明級(jí)數(shù)收斂于S,似代替和S

時(shí)所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理4可知該級(jí)數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計(jì)以部分和Sn

近機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)/共45頁(yè)例５．判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性解（１）第17頁(yè)/共45頁(yè)定理５

.

比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)/共45頁(yè)因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)當(dāng)說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.從而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)/共45頁(yè)例６．判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性解：第20頁(yè)/共45頁(yè)所以，比值審斂法失效，需改用其他方法判定第21頁(yè)/共45頁(yè)例７.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè)/共45頁(yè)例8求極限解作級(jí)數(shù)，而故級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知第23頁(yè)/共45頁(yè)二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè)/共45頁(yè)證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S,且故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第25頁(yè)/共45頁(yè)收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第26頁(yè)/共45頁(yè)三、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱原級(jí)收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第27頁(yè)/共45頁(yè)定理7.

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第28頁(yè)/共45頁(yè)例8.

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第29頁(yè)/共45頁(yè)(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第30頁(yè)/共45頁(yè)其和分別為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).*定理8.

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.說(shuō)明:

證明從略.*定理9.

(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法)則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和為但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第31頁(yè)/共45頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第32頁(yè)/共45頁(yè)3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第33頁(yè)/共45頁(yè)例1.

若級(jí)數(shù)均收斂,且證明級(jí)數(shù)收斂.證:

則由題設(shè)收斂收斂收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第34頁(yè)/共45頁(yè)題2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,原級(jí)數(shù)發(fā)散.因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第35頁(yè)/共45頁(yè)利用比值判別法,可知原級(jí)數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級(jí)數(shù)因n充分大時(shí)∴原級(jí)數(shù)發(fā)散.用比值判別法可知:時(shí)收斂;時(shí),與p

級(jí)數(shù)比較可知時(shí)收斂;時(shí)發(fā)散.再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂.時(shí)發(fā)散.發(fā)散,收斂,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第36頁(yè)/共45頁(yè)(4)解:由比較審斂法的極限形式,

第37頁(yè)/共45頁(yè)

題3.

設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和也收斂.提示:

因存在N>0,又因利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂,證明級(jí)數(shù)當(dāng)n>N時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第38頁(yè)/共45頁(yè)

題4.

設(shè)級(jí)數(shù)收斂,且是否也收斂？說(shuō)明理由.但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂.問級(jí)數(shù)提示:

對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知級(jí)數(shù)收斂,收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.例如,取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第39頁(yè)/共45頁(yè)題5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:提示:(1)P>1

時(shí),絕對(duì)收斂;0<p≤1

時(shí),條件收斂;p≤0

時(shí),發(fā)散.(2)因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù)

原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第40頁(yè)/共45頁(yè)因單調(diào)遞減,且但所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂

.由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)收斂

;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第41頁(yè)/共45頁(yè)因所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回