D112數(shù)項級數(shù)及審斂法40245

會計學1D112數(shù)項級數(shù)及審斂法40245都有定理2(比較審斂法)設且存在對一切有(1)若級數(shù)則級數(shù)(2)若級數(shù)則級數(shù)證:設對一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級數(shù)和強級數(shù)的部分和,則有是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨第1頁/共43頁(1)若級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若級數(shù)因此這說明級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,級數(shù)第2頁/共43頁例.

討論p

級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,第3頁/共43頁因為當故考慮級數(shù)的部分和故級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,2)若第4頁/共43頁調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切p

級數(shù)級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散第5頁/共43頁證明級數(shù)發(fā)散.證:

因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例.第6頁/共43頁判別級數(shù)斂散性.解:

因為而調(diào)和級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例.第7頁/共43頁定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當

l=

0

(3)當

l=∞

證:

據(jù)極限定義,設兩正項級數(shù)滿足(1)當0<l<∞

時,第8頁/共43頁由定理

2

可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當l=∞時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當0<l<∞時,(2)當l=

0時,由定理2知收斂,若第9頁/共43頁是兩個正項級數(shù),(1)當時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)(2)當且收斂時,(3)當且發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.第10頁/共43頁的斂散性.～例.

判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～第11頁/共43頁例.

判別級數(shù)的斂散性.解:所以發(fā)散.第12頁/共43頁例.

判別級數(shù)的斂散性.故原級數(shù)收斂.解:第13頁/共43頁定理4

.

比值審斂法(D’alembert判別法)設為正項級數(shù),且則(1)當(2)當證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知第14頁/共43頁因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當說明:

當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而第15頁/共43頁例.

討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;第16頁/共43頁例:判別級數(shù)的收斂性解:

第17頁/共43頁例:判別級數(shù)的收斂性解:

比值審斂法失效,改用比較審斂法第18頁/共43頁例:判別級數(shù)的收斂性解:

故級數(shù)收斂.第19頁/共43頁例判別級數(shù)的斂散性.解:因為由于所以收斂,故原級數(shù)收斂.第20頁/共43頁解:

令則故原級數(shù)收斂.例

:判別級數(shù)的收斂性第21頁/共43頁對任意給定的正數(shù)定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設為正項級則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且第22頁/共43頁時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第23頁/共43頁例.

證明級數(shù)收斂于S,似代替和S

時所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計以部分和Sn

近第24頁/共43頁例:判別級數(shù)的收斂性解:因為所以級數(shù)收斂第25頁/共43頁例:判別級數(shù)的收斂性解:因為所以級數(shù)發(fā)散第26頁/共43頁不是p–級數(shù)解發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.例:判別級數(shù)的收斂性第27頁/共43頁小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.利用正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別部分和極限第28頁/共43頁二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足第29頁/共43頁證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故第30頁/共43頁收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂第31頁/共43頁三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.第32頁/共43頁定理7.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:

設根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令第33頁/共43頁例.

證明下列級數(shù)絕對收斂:證:而收斂,收斂因此絕對收斂.第34頁/共43頁證

令因此收斂,絕對收斂.例.

證明下列級數(shù)絕對收斂:第35頁/共43頁其和分別為絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質(zhì).*定理8.

絕對收斂級數(shù)不因改變項的位置而改變其和.*定理9.

(絕對收斂級數(shù)的乘法)則對所有乘積按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,設級數(shù)與都絕對收斂,其和為第36頁/共43頁內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.利用正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別部分和極限第37頁/共43頁3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂第38頁/共43頁練習1.設正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.第39頁/共43頁2.

判別級數(shù)的斂散性:解:

(1)先考察絕對值級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.又所以條件收斂.第40頁/共43頁3.

則級數(shù)(A)