概率論課件-08 -隨機向量及其分布

到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布.但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.

在打靶時,命中點的位置是由一對隨機變量(兩個坐標)來確定的.

飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量(三個坐標）來確定的等等.隨機向量及其分布一、n維隨機向量

以n個隨機變量X1，X2，…，Xn為分量的向量X=(X1,X2,…,Xn)稱為n維隨機向量。一維隨機變量及其分布n維隨機向量及其分布

由于從二維推廣到n維一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論二維隨機變量.n維隨機向量是一維隨機變量的推廣二、二維隨機向量及其分布函數(shù)設(shè)隨機試驗E的樣本空間是Ω。

X=X()和Y=Y()是定義在Ω上的隨機變量,由它們構(gòu)成的向量(X,Y),稱為二維隨機向量。二維隨機向量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X及Y的性質(zhì)有關(guān),而且還依賴于X和Y的相互關(guān)系,因此必須把(X,Y)作為一個整體加以研究。為此,首先引入二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)的概念。二維隨機變量（X,Y）X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)X的分布函數(shù)一維隨機變量X1.

F(x,y)是變量x,y的非減函數(shù).

即yR取定,當x1<x2時,F(x1,y)≤F(x2,y).

同樣,xR

取定,當y1<y2時,F(x,y1)≤F(x,y2).2.x,yR

有0≤F(x,y)≤1二維分布函數(shù)F(x,y)的三條基本性質(zhì)：3.

yR,F(-∞,y)=0，

xR,F(x,-∞)=0，

F(-∞,-∞)=0，F(xiàn)(∞,∞)=1如果把(X,Y)看成平面上隨機點的坐標。取定x0,y0R，F(xiàn)(x0,y0)就是點(X,Y)落在平面上的以(x0,y0)為頂點而位于該點左下方的無限矩形區(qū)域內(nèi)的概率。見右圖。由上面的幾何解釋,易見:隨機點(X,Y)落在矩形區(qū)域:x1<x≤x2,y1<y≤y2內(nèi)的概率為：P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)

說明

這里我們介紹了二維隨機向量的概念、二維隨機向量的分布函數(shù)及其性質(zhì)。二維隨機向量也分為離散型和連續(xù)型，下面我們分別討論它們。其中:二、離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布、邊緣概率分布⒈二維離散型隨機向量的概念如果二維隨機向量（X,Y）的全部取值(數(shù)對）為有限個或至多可

列個，則稱隨機向量（X,Y）為離散型的。易見，二維隨機向量(X,Y)為離散型的等價于它的每個分量X與Y

分別都是一維離散型的。⒉聯(lián)合概率分布及其性質(zhì)稱pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,...,)為(X,Y)的聯(lián)合概率分布,

其中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}為(X,Y)的取值集合,表格形式如下:Xx1x2…xi…y1y2…yj…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………Y

②∑∑pij=1;③P{(X,Y)∈D}=聯(lián)合概率分布性質(zhì):①pij≥0;i,j=1,2,…例1.二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為:X-101Y0120.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常數(shù)a的取值;(2)P(X≥0,Y≤1);(3)P(X≤1,Y≤1)解:(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=得P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X≤1,Y≤1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75XY二維聯(lián)合概率分布區(qū)域圖:-10121P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}3.離散型二維隨機向量聯(lián)合概率分布確定方法:1.找出隨機變量X和Y的所有取值結(jié)果,得到(X,Y)的所有取值數(shù)對;2.計算每個數(shù)值對的概率;3.列出聯(lián)合概率分布表.例2.將一枚均勻的硬幣拋擲4次,X表示正面向上的次數(shù),Y表示

反面朝上次數(shù),求(X,Y)的聯(lián)合概率分布.解：X的所有可能取值為0,1,2,3,4,Y的所有可能取值為0,1,2,3,4,因為X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的數(shù)值對為:P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)==1/4=6/16P(X=3,Y=1)==1/4P(X=4,Y=0)=0.54=1/16X01234Y01234聯(lián)合概率分布表為:00001/160001/40006/160001/40001/160000P(X=1,Y=3)=0.54=1/16例3.設(shè)隨機變量Y~N(0，1)，令解:(X1,X2)的取值數(shù)對為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=1-P(|Y|<2)=2-2Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=P(1≤|Y|<2)=P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2)=2P(1≤Y<2)=2[Φ(2)-Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=2Φ(1)-1=0.6826聯(lián)合概率分布表為:X101X2010.04550.271900.6826，求(X1，X2)的聯(lián)合概率分布。4、邊緣概率分布

(1)定義:隨機向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一個Xi的分布，稱為X關(guān)于Xi的邊緣分布。(2)邊緣分布列對于離散型隨機向量(X,Y),分量X,Y的分布列稱為邊緣分布列。若(X,Y)的聯(lián)合概率分布為pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,則

P(X=xi)=(i=1,2,...)同理:一般地,記:P(X=xi)Pi.P(Y=yj)P.j(j=1,2,...)分布表如下:XY.例4.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布表為:Pi.0.250.40.35X-101Y0120.050.10.10.10.20.10.10.20.05p.j0.250.50.25求:(1)X,Y的邊緣分布;(2)X+Y的概率分布.解:(1)由分析得:X-101P0.250.40.35Y012P0.250.50.25(2)X+Y的取值為-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)同理，P(X+Y=2)=0.3,+P(X=-1,Y=2)=0.4X+Y-10123P0.050.20.40.30.05P(X+Y=3)=0.05三、連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)、邊緣密度函數(shù)⒈定義:設(shè)二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y).如果存在一個非負函數(shù)f(x,y),使得對任意實數(shù)x,y,總有則稱(X,Y）為二維連續(xù)型隨機向量,f(x,y)為聯(lián)合概率密度函數(shù)，記為（X，Y)～f(x,y)。⒉性質(zhì):(1)f(x,y)≥0，(x,y)∈R2或例5.驗證是否構(gòu)成二維隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)?其中：D為可度量的平面區(qū)域,SD為區(qū)域D的面積。解:=1(1)f(x,y)≥0;(2)稱(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布。例6.若(X,Y)～

試求:(1)常數(shù)A；(2)P{X<2,Y<1}；(3)

P(X≤x,Y≤y)；解:(1)所以,A=6=A/6=1(4)P{(X,Y)∈D},其中D為2x+3y≤6.XY0P{X<2,Y<1}21{X<2,Y<1}(3)xXY0y所以,當x≥0,y≥0時,即:(4)P{(X,Y)∈D},其中D為2x+3y≤6.322x+3y=6XY0(5)P{(X,Y)∈D},其中D為y=-x+1,y=x+1,y=0所圍區(qū)域.XY0y=-x+1y=x+111P{(X,Y)∈D}3.邊緣密度函數(shù)對于連續(xù)型隨機向量(X,Y)～f(x,y)，分量X,Y的密度函數(shù)稱為邊緣密度函數(shù)。已知聯(lián)合密度函數(shù)，容易求出邊緣密度函數(shù)。事實上,(1)f1(x)≥0,(2)若a<b,則P{a<X<b}=P{a<X<b,-∞<Y<+∞}=所以,f1(x)是X的概率密度,同理可證f2(y).例7.設(shè)隨機向量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布，其中

D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的邊緣密度函數(shù)f1(x)和f2(y)。解:(1)由題意得:XY-11當|x|>1時,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0當|x|≤1時,所以,同理,注意:均勻分布的邊緣密度不是一維均勻分布例8.（924）設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為求:⑴求X的邊緣密度函數(shù)；⑵求概率P{X+Y≤1}.解:(1)x≤0時,f1(x)=0;x>0時,f1(x)=所以,⑵P{X+Y≤1}y=xx+y=11/2

二維正態(tài)分布定義:如果(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為其中σ1,σ2為正數(shù).則稱(X,Y)服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布,簡記為：

性質(zhì):邊緣分布分別為X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22);

2.（895）已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為

(x,y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,