代數(shù)方程與差方方程模型

代數(shù)方程與差方方程模型2023/1/17第一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日第六章代數(shù)方程與差分方程模型6.6按年齡分組的人口模型6.1投入產(chǎn)出模型6.2CT技術(shù)的圖像重建6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)代數(shù)方程與差分方程模型簡(jiǎn)介2023/1/17第二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日代數(shù)方程與差分方程模型簡(jiǎn)介◆代數(shù)方程：通常指“整式方程”，即由多項(xiàng)式組成的方程。有時(shí)也泛指由未知數(shù)的代數(shù)式所組成的方程，包括整式方程、分式方程和無(wú)理方程。百科名片◆差分方程：含有未知函數(shù)差分的方程稱(chēng)為差分方程。

定義1:

含有未知函數(shù)不同時(shí)期值的函數(shù)方程,稱(chēng)為差分方程.一般形式:F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0.yt+1+3yt+yt-1=2t

定義2：含有未知函數(shù)差分的方程，稱(chēng)為差分方程。一般形式：F(t,yt,△yt,△2yt,…,△nyt)=0（不用）△3yt-2△yt=3t2023/1/17第三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日◆國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)之間存在著相互依存和制約關(guān)系，每個(gè)部門(mén)將其他部門(mén)的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過(guò)加工（投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）.◆根據(jù)各部門(mén)間投入和產(chǎn)出的平衡關(guān)系，確定各部門(mén)的產(chǎn)出水平以滿足社會(huì)的需求.◆20世紀(jì)30年代由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂節(jié)夫提出和研究.◆從靜態(tài)擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)，與數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析方法日益融合，應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大.6.1.1背景建立靜態(tài)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，討論具體應(yīng)用.6.1投入產(chǎn)出模型1973年Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)2023/1/17第四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)間生產(chǎn)和消耗、投入和產(chǎn)出的數(shù)量關(guān)系產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)工業(yè)建筑業(yè)運(yùn)輸郵電批零餐飲其他服務(wù)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)業(yè)464788229131271312842918工業(yè)499860514444035571223408316814建筑業(yè)593202312426912875運(yùn)輸郵電62527128163671464771570批零餐飲79749140431302739272341其他服務(wù)146128527222521954227255414初始投入1663485165970312183093總投入2918168142875157023415414中國(guó)2002年投入產(chǎn)出表（產(chǎn)值單位：億元）6.1投入產(chǎn)出模型6.1.2投入產(chǎn)出表2023/1/17第五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)工業(yè)建筑業(yè)運(yùn)輸郵電批零餐飲其他服務(wù)農(nóng)業(yè)0.1590.0470.0800.0080.0540.002工業(yè)0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑業(yè)0.0020.0010.0010.0130.0100.023運(yùn)輸郵電0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐飲0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服務(wù)0.0500.0760.0950.1430.0940.100一個(gè)部門(mén)的單位產(chǎn)出對(duì)各個(gè)部門(mén)的直接消耗中國(guó)2002年直接消耗系數(shù)表

由投入產(chǎn)出表直接得到農(nóng)業(yè)每1億元產(chǎn)出直接消耗0.159億元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品

直接消耗0.171億元工業(yè)產(chǎn)品反映國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)之間的投入產(chǎn)出關(guān)系6.1投入產(chǎn)出模型6.1.3直接消耗系數(shù)表2023/1/17第六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日xi~第i部門(mén)的總產(chǎn)出di~對(duì)第i部門(mén)的外部需求xij~第i部門(mén)對(duì)第j部門(mén)的投入aij~直接消耗系數(shù)——第j部門(mén)單位產(chǎn)出對(duì)第i部門(mén)的直接消耗，于是xij~第j部門(mén)總產(chǎn)出對(duì)第i部門(mén)的直接消耗；每個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出等于總投入，xj~第j部門(mén)的總投入設(shè)共有n個(gè)部門(mén)6.1投入產(chǎn)出模型6.1.4投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型2023/1/17第七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日技術(shù)水平?jīng)]有明顯提高假設(shè)直接消耗系數(shù)不變

問(wèn)題1

如果某年對(duì)農(nóng)業(yè)、工業(yè)、建筑業(yè)、運(yùn)輸郵電、批零餐飲和其他服務(wù)的外部需求分別為1500,4200,3000,500,950,3000億元,問(wèn)這6個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？d=(1500,4200,3000,500,950,3000)T

A由直接消耗系數(shù)表給出6個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出x=(3277,17872,3210,1672,2478,5888)（億元）.求解6.1投入產(chǎn)出模型6.1.5模型應(yīng)用2023/1/17第八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日總產(chǎn)出對(duì)外部需求線性Δd~d增加1個(gè)單位x的增量若農(nóng)業(yè)的外部需求增加1單位Δx為

的第1列

6個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出分別增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325單位.

問(wèn)題2如果6個(gè)部門(mén)的外部需求分別增加1個(gè)單位,問(wèn)它們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？求解其余外部需求增加1單位Δx為

的其余各列

6.1投入產(chǎn)出模型6.1.5模型應(yīng)用2023/1/17第九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日CT(計(jì)算機(jī)斷層成像)技術(shù)是20世紀(jì)50至70年代由美國(guó)科學(xué)家科馬克和英國(guó)科學(xué)家豪斯費(fèi)爾德發(fā)明的.1971年第一代供臨床應(yīng)用的CT設(shè)備問(wèn)世.

螺旋式CT機(jī)等新型設(shè)備被醫(yī)療機(jī)構(gòu)普遍采用.CT技術(shù)在工業(yè)無(wú)損探測(cè)、資源勘探、生態(tài)監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用.什么是CT，它與傳統(tǒng)的X射線成像有什么區(qū)別？6.2CT技術(shù)的圖像重建6.2.1背景1979年Nobel醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)2023/1/17第十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日◆幾何實(shí)例:的圖形觀察二元函數(shù)22yxexyz+-=6.2CT技術(shù)的圖像重建6.2.1概念圖示2023/1/17第十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日光源人眼光源人眼一個(gè)半透明物體嵌入5個(gè)不同透明度的球。單方向觀察無(wú)法確定球的數(shù)目(3個(gè)5個(gè))和透明度。讓物體旋轉(zhuǎn),從多角度觀察能分辨出5個(gè)球及各自的透明度。人體內(nèi)臟膠片傳統(tǒng)的X射線成像原理CT技術(shù)原理探測(cè)器X射線X光管人體內(nèi)臟圖像重建

6.2CT技術(shù)的圖像重建◆概念圖示:2023/1/17第十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日在不同深度的斷面上，從各個(gè)角度用探測(cè)器接收旋轉(zhuǎn)的X光管發(fā)出、穿過(guò)人體而使強(qiáng)度衰減的射線;經(jīng)過(guò)測(cè)量和計(jì)算將人體器官和組織的影像重新構(gòu)建.6.2CT技術(shù)的圖像重建◆剖析原理

CT技術(shù)成像:

X射線成像:將人體器官和組織前后重疊地直接投影到膠片，呈獻(xiàn)出具有一定分辨率、但仍不夠清晰的像。2001年全國(guó)大學(xué)生建模競(jìng)賽B題——重建三維血管2023/1/17第十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日◆射線強(qiáng)度的衰減率與強(qiáng)度成正比.I~射線強(qiáng)度l~物質(zhì)在射線方向的厚度μ~物質(zhì)對(duì)射線的衰減系數(shù)I0~入射強(qiáng)度6.2CT技術(shù)的圖像重建6.2.2X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理

當(dāng)X射線的能量一定時(shí)，衰減系數(shù)m隨著射線穿過(guò)的材料不同而改變，如骨胳的m比軟組織的大。X射線的強(qiáng)度在骨胳中衰減得更快。Beer-Lambert定律2023/1/17第十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日◆射線沿直線L穿行,穿過(guò)由不同衰減系數(shù)的物質(zhì)組成的非均勻物體(人體器官).6.2CT技術(shù)的圖像重建I0LOyxμ(x,y)右端數(shù)值可從CT的X光管和探測(cè)器的測(cè)量數(shù)據(jù)得到。多條直線L的線積分被積函數(shù)μ(x,y)圖像重建反映人體器官大小、形狀、密度的圖像2023/1/17第十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日FQ(q)~與Q相距q的直線L的線積分Pf(L)對(duì)所有q的平均值拉東變換拉東逆變換數(shù)學(xué)原理實(shí)際上只能在有限條直線上得到投影(線積分).圖像重建在數(shù)學(xué)方法上的進(jìn)展，為CT技術(shù)在各個(gè)領(lǐng)域成功的和不斷拓廣的應(yīng)用提供了必要條件.6.2CT技術(shù)的圖像重建◆1917年奧地利數(shù)學(xué)家拉東Radon給出以下積分變換的逆變換的表達(dá)式，給出了圖像重建的理論基礎(chǔ)。2023/1/17第十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日Δlj◆每個(gè)像素對(duì)射線的衰減系數(shù)是常數(shù)m個(gè)像素(j=1,…,m),n束射線(i=1,…,n)~Li的強(qiáng)度測(cè)量數(shù)據(jù)μj~像素j的衰減系數(shù)Δlj~射線在像素j中的穿行長(zhǎng)度J(Li)~射線Li穿過(guò)的像素j的集合像素j

射線Li6.2CT技術(shù)的圖像重建6.2.3圖像重建的代數(shù)模型2023/1/17第十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日σjLiσlij◆常用算法設(shè)像素的邊長(zhǎng)和射線的寬度均為σ

中心線法aij~射線Li的中心線在像素j內(nèi)的長(zhǎng)度lij與σ之比.

面積法aij~射線Li的中心線在像素j內(nèi)的面積sij與σ之比.sij

中心法aij=1~射線Li經(jīng)過(guò)像素j的中心點(diǎn).6.2CT技術(shù)的圖像重建2023/1/17第十八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日

中心法的簡(jiǎn)化形式假定射線的寬度為零,間距σaij=1~Li經(jīng)過(guò)像素j內(nèi)任一點(diǎn)987654321L4L8L7L6L5L3L2L1σ根據(jù)A和b,由確定像素的衰減系數(shù)向量x

m和n很大且m>n,方程有無(wú)窮多解+測(cè)量誤差和噪聲在x和e滿足的最優(yōu)準(zhǔn)則下估計(jì)x

代數(shù)重建技術(shù)(ART)6.2CT技術(shù)的圖像重建2023/1/17第十九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日◆原子彈（nuclearweapon）是核武器之一，是利用核反應(yīng)的光熱輻射、沖擊波和感生放射性造成殺傷和破壞作用，以及造成大面積放射性污染，阻止對(duì)方軍事行動(dòng)以達(dá)到戰(zhàn)略目的的大殺傷力武器。主要包括裂變武器（第一代核武，通常稱(chēng)為原子彈）和聚變武器（亦稱(chēng)為氫彈，分為兩級(jí)及三級(jí)式）。亦有些還在武器內(nèi)部放入具有感生放射的輕元素，以增大輻射強(qiáng)度擴(kuò)大污染，或加強(qiáng)中子放射以殺傷人員（如中子彈）。6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.3.1背景2023/1/17第二十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1945年7月16日美國(guó)科學(xué)家在新墨西哥州的阿拉莫戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈,震驚世界!當(dāng)時(shí)資料是保密的,無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)爆炸的威力.英國(guó)物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國(guó)公開(kāi)的錄像帶,利用數(shù)學(xué)模型估計(jì)這次爆炸釋放的能量為19.2×103t.后來(lái)公布爆炸實(shí)際釋放的能量為21×103t6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第二十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒測(cè)量：時(shí)刻t

所對(duì)應(yīng)的“蘑菇云”的半徑r爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點(diǎn)為中心呈球面向四周傳播,爆炸的能量越大，在一定時(shí)刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn).沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出來(lái).泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型,輔以小型試驗(yàn),又利用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)爆炸的能量進(jìn)行估計(jì).6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.3.2原子彈爆炸的能量估計(jì)2023/1/17第二十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日物理量的量綱長(zhǎng)度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時(shí)間t

的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對(duì)無(wú)量綱量，[]=1(=L0M0T0)=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關(guān)系.6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.3.3量綱齊次原則2023/1/17第二十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式1,2,3

為待定系數(shù)，為無(wú)量綱量(1)的量綱表達(dá)式與對(duì)比6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第二十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)x,y,z的兩組測(cè)量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式?設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為量綱齊次原則單擺運(yùn)動(dòng)6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第二十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無(wú)量綱量基本解6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第二十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價(jià),F未定.是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2,,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,,qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個(gè)基本解，記作為m-r

個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量,且則6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.3.4p定理(Buckingham)2023/1/17第二十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日記爆炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個(gè)球形.時(shí)刻

t

球的半徑為

rt,E空氣密度ρ,大氣壓強(qiáng)P基本量綱：L,M,T

r與哪些因素有關(guān)？

rt

E

ρ

P

LMT量綱矩陣

6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.3.5原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模2023/1/17第二十八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T有2個(gè)基本解兩個(gè)無(wú)量綱量6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第二十九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)間t非常短能量E

非常大泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)建議用r,t

的實(shí)際數(shù)據(jù)做平均空氣密度=1.25(kg/m3)1×103t(TNT能量)=4.184×1012J

E=19.7957(×103t)E=8.2825×1013(J)實(shí)際值21×103t6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.3.6原子彈爆炸能量估計(jì)的數(shù)值計(jì)算2023/1/17第三十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日泰勒的計(jì)算tr最小二乘法擬合r=atbE=8.0276×1013

(J),即19.2×103t取y平均值得c=6.9038模型檢驗(yàn)b=0.4058~2/56.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第三十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解.

方法的普適性函數(shù)F和無(wú)量綱量未定.不需要特定的專(zhuān)業(yè)知識(shí).6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.3.7量綱分析法的評(píng)注2023/1/17第三十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日物理模擬示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒(méi)面積s,海水密度,重力加速度g.物理模擬:按照一定的比例尺寸構(gòu)造它的物理模型,通過(guò)對(duì)模型的研究得出原型的結(jié)果.量綱分析可以指導(dǎo)物理模擬中比例尺寸的確定.6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.3.7量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用2023/1/17第三十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日物理模擬示例：波浪對(duì)航船的阻力π定理原型船模型船

模型船的均已知當(dāng)原型船的給定后計(jì)算f物理模擬6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第三十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日物理模擬示例：波浪對(duì)航船的阻力原型船模型船模擬條件量測(cè)模型船阻力f'，可計(jì)算f.

按一定尺寸比例建造模型船,并調(diào)節(jié)船速.6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第三十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日無(wú)量綱化示例：火箭發(fā)射m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射火箭.初速v,星球半徑r,星球表面重力加速度g.研究火箭高度x隨時(shí)間t

的變化規(guī)律.t=0時(shí)x=0,火箭質(zhì)量m1,星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律——3個(gè)獨(dú)立參數(shù)6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第三十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變量x,t和獨(dú)立參數(shù)r,v,g的量綱用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特征尺度）—無(wú)量綱變量如利用新變量將被簡(jiǎn)化令6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第三十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日

xc,tc的不同構(gòu)造1）令為無(wú)量綱量用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)的不同簡(jiǎn)化結(jié)果6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第三十八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3）令為無(wú)量綱量2）令為無(wú)量綱量用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第三十九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1)2)3)的共同點(diǎn)只含1個(gè)參數(shù)——無(wú)量綱量解1)2)3)的重要差別考察無(wú)量綱量在1)2)3)中能否忽略以為因子的項(xiàng)？1)忽略項(xiàng)無(wú)解不能忽略項(xiàng)無(wú)量綱化方法6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第四十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日2)3)忽略項(xiàng)不能忽略項(xiàng)忽略項(xiàng)1)2)3)的重要差別無(wú)量綱化方法6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第四十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日火箭發(fā)射過(guò)程中引力m1g不變即x+rr原問(wèn)題可以忽略項(xiàng)是原問(wèn)題的近似解1)2)3)的重要差別無(wú)量綱化方法6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第四十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日為什么3)能忽略項(xiàng)，得到原問(wèn)題近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為v/g,高度為v2/2g,大體上具有單位尺度項(xiàng)可以忽略項(xiàng)不能忽略無(wú)量綱化方法6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第四十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日

選擇特征尺度的一般討論見(jiàn)：林家翹著《自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)》無(wú)量綱化

無(wú)量綱化是研究物理問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法.

選擇特征尺度主要依賴(lài)于物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn).

恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素.6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析2023/1/17第四十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日蛛網(wǎng)模型（Cobwebmodel)運(yùn)用彈性原理解釋某些生產(chǎn)周期較長(zhǎng)的商品在失去均衡時(shí)發(fā)生的不同波動(dòng)情況的一種動(dòng)態(tài)分析理論。6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型6.4.1背景2023/1/17第四十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題供大于求現(xiàn)象

商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定?

當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?價(jià)格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲供不應(yīng)求

描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律.商品數(shù)量與價(jià)格在振蕩6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2023/1/17第四十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxyOxk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格.消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,且xk+1=xk+2=…=x0,yk+1=yk+2=…=y0

供應(yīng)函數(shù)6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2023/1/17第四十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日xyOfgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xyOy0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2023/1/17第四十八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2023/1/17第四十九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量考察,的含義~消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度~生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格.經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2023/1/17第五十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價(jià)格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xyOy0gfxyOx0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2023/1/17第五十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日模型的推廣

生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量.生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2023/1/17第五十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來(lái)的條件放寬了!模型的推廣6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2023/1/17第五十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日背景

多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持.

通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo).分析

體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起.

飲食（吸收熱量）引起體重增加.

代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少.

體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~

正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)2023/1/17第五十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000kcal增加體重1kg；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每千克體重消耗200

~320kcal

(因人而異),相當(dāng)于70kg的人每天消耗2000

~3200kcal；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò)1.5kg,

每周吸收熱量不要小于10000kcal.6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)2023/1/17第五十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日某甲體重100kg，目前每周吸收20000kcal熱量，體重維持不變.現(xiàn)欲減肥至75kg.第一階段：每周減肥1kg，每周吸收熱量逐漸減少,直至達(dá)到下限（10000kcal）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo).2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃.1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃.減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案.6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)2023/1/17第五十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日

確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200kcal基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收20000kcal,w=100kg不變=1/8000(kg/kcal)6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)2023/1/17第五十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日

第一階段:w(k)每周減1kg,c(k)減至下限10000kcal第一階段10周,每周減1kg，第10周末體重90kg吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)2023/1/17第五十八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃基本模型6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)2023/1/17第五十九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg第二階段19周,每周吸收熱量保持10000kcal,體重按減少至75kg.6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)2023/1/17第六十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)t=24(每周跳舞8h或自行車(chē)10h),14周即可.2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的