固體電子物理6課件

固體電子理論§2.6緊束縛近似

近自由電子近似方法認(rèn)為原子實對電子的作用很弱，因而電子的運動基本上是自由的。其結(jié)果主要適用于金屬的價電子，對其他晶體中的電子，即使是金屬的內(nèi)層電子也并不適用。在大多數(shù)晶體中，電子并不是那么自由的，即使是金屬和半導(dǎo)體中，其內(nèi)層電子也要受到原子實較強的束縛作用。下面將討論另一種極端情況：當(dāng)晶體中原子的間距較大，因而原子實對電子有相當(dāng)強的束縛作用。因此，當(dāng)電子距某個原子實比較近時，電子的運動主要受該原子勢場的影響，這時電子的行為同孤立原子中電子的行為相似，可將孤立原子看成零級近似，而將其它原子勢場的影響看成小的微擾。這種方法稱為緊束縛近似(TightBindingApproximation)。固體電子理論

緊束縛近似方法的一個突出優(yōu)點是它可以把晶體中電子的能帶結(jié)構(gòu)與構(gòu)成這種晶體的原子在孤立狀態(tài)下的電子能級聯(lián)系起來。旺尼爾（Wannier）函數(shù)式中α是能帶序號，稱為旺尼爾（Wannier）函數(shù)?？汕蟮貌悸搴蘸瘮?shù)依賴于波矢，而k和的狀態(tài)是等價的，這就是說在波矢空間布洛赫波也是周期函數(shù)，其周期性與倒格子的周期性相同。因此，可以在k空間展開成傅立葉級數(shù)，即固體電子理論①由于，因此可寫成。這說明此函數(shù)是以格點Rn為中心的波包，因而具有定域的特性。②不同能帶和不同格點的Wannier函數(shù)是正交的，因為Wannier函數(shù)式中對k求和遍及布里淵區(qū)內(nèi)的一切波矢。Wannier函數(shù)具有兩個重要的特性：固體電子理論用左乘上式，然后積分，并利用滿足方程：是位于格矢Rn那個原子的勢場，是原子中電子的能級。討論無簡并的s態(tài)，即,于是可得固體電子理論前面方程右邊只計n＝0項和n≠0中最近鄰的項。當(dāng)n＝0時，記下圖畫出V（x）和Vat（x）以及兩者之差。顯然，，而，庫侖能量項,JS中被積函數(shù)在空間中最后的節(jié)點外區(qū)域是取正值，這部分對交迭積分JS的貢獻是主要的，因而JS也將是負(fù)數(shù)，，所以在原子間距較大的情形下，可認(rèn)為當(dāng)Rn僅取最近鄰原子時，記固體電子理論固體電子理論能帶的最小值在處（帶底），即能量的最大值在；；處（帶頂），即這個能帶的寬度為固體電子理論根據(jù)前面的討論可知，能帶寬度由兩個因素決定：J積分大小取決于近鄰原子波函數(shù)之間交迭程度，交迭程度越大，J積分的值也越大，能帶越寬。對于內(nèi)層電子，波函數(shù)交迭程度小，J的值也小，能帶較窄。

配位數(shù)———最近鄰原子數(shù)

交疊積分———波函數(shù)的交疊程度

內(nèi)層電子能帶窄外層電子能帶寬固體電子理論在能帶底部附近，余弦函數(shù)展開至二次式：可以寫成將兩式比較得到

稱為能帶底部電子的有效質(zhì)量?？芍ê瘮?shù)交迭大時,J有較大的值，有效質(zhì)量則較?。环粗?，如果波函數(shù)交迭小，則J的值較小，有效質(zhì)量則較大。固體電子理論

原子能級與能帶的對應(yīng)

一個原子能級E對應(yīng)一個能帶，不同的原子能級對應(yīng)不同的能帶。當(dāng)原子形成固體后，形成了一系列能帶能量較低的能級對應(yīng)的能帶較窄能量較高的能級對應(yīng)的能帶較寬簡單情況下，原子能級和能帶之間有簡單的對應(yīng)關(guān)系，如ns帶、np帶、nd帶等等由于p態(tài)是三重簡并的，對應(yīng)的能帶發(fā)生相互交疊，d態(tài)等一些態(tài)也有類似能帶交疊固體電子理論以上討論只適用于原子的s態(tài)電子，一個能級只有一個波函數(shù)情況，而且假定波函數(shù)之間交迭很少，所以只宜用于討論內(nèi)層的s態(tài)電子。當(dāng)N個原子組成晶體，s電子不再有相同的能量，而是變成由N個不同波矢k標(biāo)志的不同能量狀態(tài)，這些狀態(tài)的電子能量組成一個能帶。實際晶體中除了s態(tài)電子，還有p電子、d電子等，這些狀態(tài)是簡并的。因此布洛赫波應(yīng)是孤立原子的有關(guān)狀態(tài)的波函數(shù)的線性疊加，并不限于s態(tài)。這時N個原子組成的晶體形成的能帶比較復(fù)雜。一個能帶不一定同孤立原子的某個能級相對應(yīng)，即不一定能區(qū)分s能級或p能級所形成的能帶。就是說晶體的一個能帶很可能是由原子的不同量子態(tài)組成的。固體電子理論由孤立原子能級到晶體能帶這一轉(zhuǎn)化過程，實際上是量子力學(xué)測不準(zhǔn)關(guān)系所制約的結(jié)果。在孤立原子中，電子可在其本征能級上停留非常久的時間，而當(dāng)原子相互靠近形成晶體時，電子有一定的幾率通過隧道效應(yīng)從一個原子轉(zhuǎn)移到另一個相鄰的原子中去。電子停留在給定原子能級上的時間減少了，它在給定原子附近停留的時間t與能級的展寬之間有測不準(zhǔn)關(guān)系：。所以電子在給定原子附近停留時間的減少導(dǎo)致能級的展寬，也就是能帶的形成。原則上講，孤立原子中電子的每一個能級在形成晶體后都要拓展為一個能帶，稱為子能帶。如果兩個以上的子能帶互相交疊，則形成一個混合能帶。如果能帶之間沒有發(fā)生交疊，那么就有禁帶存在。固體電子理論§2.7平面波方法勢能為晶格周期性函數(shù)，將其在對應(yīng)的倒格子空間中展開為傅立葉級數(shù)，即以項作為能量的零點由勢能的周期性式中是正格矢,得到（1）所以Km必須是倒格矢。即固體電子理論同理，布洛赫函數(shù)中的周期性因子也是晶格周期性的函數(shù)，其的傅立葉級數(shù)為⑵將式⑴、⑵帶入薛定諤方程得到⑶固體電子理論將上式乘以，再對晶體體積積分，并利用關(guān)系式得到滿足的方程——中心方程由上看出，如果Kn取不同的倒格矢，就可以得到無限多個類似上式的方程組。這個方程組、有非零解的條件是其系數(shù)行列式等于零，即固體電子理論由式（4）得到顯然當(dāng)時，變得很大了，此時接近發(fā)生布拉格反射的情形。當(dāng)時，振幅和都較大，在無限多個方程中，必須考慮以及的兩個方程，方程中又只含和