電路-第17章課件

第十七章網(wǎng)絡(luò)圖論基礎(chǔ)(電路方程的矩陣形式)第三章中,我們?cè)榻B過幾種有效的電路分析方法,如回路法和節(jié)點(diǎn)法等.當(dāng)電路規(guī)模較小,節(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單時(shí),上述電路方程不難由人工用觀察法列出。在實(shí)際中特別是工程應(yīng)用中,電路的規(guī)模日益擴(kuò)大,結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜。為了便于借助于計(jì)算機(jī)的輔助來進(jìn)行電路分析，有必要發(fā)展一種系統(tǒng)化建立電路方程的方法，而且便于用計(jì)算機(jī)來求解方程，還要求這些方程用有規(guī)則排列的矩陣形式來表示。本章主要介紹利用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支——圖論將電路的方程寫成矩陣形式及其系統(tǒng)建立法。它是電路的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和分析所需的基本知識(shí)。在此特別說明，我們建立方程的依據(jù)，仍然是KCL、KVL、VCR。在第三章中，已經(jīng)介紹了有關(guān)圖的定義及有關(guān)回路、樹等基本概念。在此，補(bǔ)充介紹割集的概念，并介紹與樹有關(guān)的基本割集組。

§17—1圖論及網(wǎng)絡(luò)的圖一、數(shù)學(xué)的一個(gè)分支——圖論(Graphtheory)(又叫做不量尺寸的幾何學(xué)、位置幾何學(xué)、橡皮膜上的幾何學(xué)等)問題的引出：1736年（18世紀(jì)）創(chuàng)始于哥尼斯堡七橋問題。在普魯士帝國(guó)首府ABCD加里寧格勒(現(xiàn)俄羅斯聯(lián)邦的加里寧)問題：是否有這樣一條路徑存在，從任一地點(diǎn)出發(fā)每橋只過一次，且都通過，然后再反回原地。即是否有單行線存在。后瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707年——1783年）用點(diǎn)代表陸地，用線代表橋，將上圖改變成一個(gè)只有點(diǎn)和線的圖，在此圖中用數(shù)學(xué)的方法加以證明得出結(jié)論：存在“單行線”的充要條件是：奇次頂點(diǎn)（連于該點(diǎn)的線數(shù)為奇數(shù)）數(shù)目為0。當(dāng)奇次頂點(diǎn)數(shù)目=2時(shí)：各橋可以過且僅過一次，但不能反回出發(fā)點(diǎn)，有時(shí)也稱有“單行線”。當(dāng)奇次頂點(diǎn)數(shù)目>2時(shí)：不存在“單行線”。此橋不存在“單行線”ABCD1845年基爾霍夫運(yùn)用圖論解決了電網(wǎng)絡(luò)中列寫求解聯(lián)立方程問題。二、電路的圖1、圖（Graph）：電路的“圖”是節(jié)點(diǎn)和支路的集合。其中節(jié)點(diǎn)用“點(diǎn)”表示，支路用“線”表示。這樣就夠成了電路的“圖”。例如：有一電路如圖所示以此來說明電路的圖＋－uS1R1R2R3R4R5R6iS22、說明：(1)、如果以一個(gè)元件做為一條支路，則有圖G。其中：b=8條，n=5個(gè)。G＋－uS1R1R2R3R4R5R6iS2(2)、為了簡(jiǎn)化圖，也可以將電路中的uS1和R1的串聯(lián)及iS1和R2

的并聯(lián)視為兩條支路，則有圖G。＋－uS1R1R2R3R4R5R6iS2其中：b=6條，n=4個(gè)。G3、連通圖與非連通圖：由圖上任一點(diǎn)經(jīng)若干支可到達(dá)其余所有節(jié)點(diǎn)的圖叫做連通圖。若有一點(diǎn)達(dá)不到的圖即為非連通圖。4、子圖：由圖的部分節(jié)點(diǎn)、支路組成的圖叫做子圖。圖G圖G的一個(gè)子圖不是全通圖5、全通圖：任意兩節(jié)點(diǎn)之間，有且僅有一支相連的圖。如圖G為一個(gè)全通圖。圖G是無向圖圖G1是有向圖6、有向圖與無向圖：標(biāo)有各支路u、i關(guān)聯(lián)參考方向的圖

叫做有向圖。不標(biāo)者為無向圖。7、樹(tree)用“T”表示(1)、定義：連通圖中符合下列條件的子圖稱做“樹”。

1°

是連通的;2°

是含全部節(jié)點(diǎn)的;3°

不夠成閉合回路的。例如：14235678G25678G2258G314235678GG2、G3則不是G的樹。當(dāng)n=10時(shí)，108=1億種樹。(3)、樹的性質(zhì)1o、樹中任兩節(jié)點(diǎn)之間，有且僅有一條路徑。2o、對(duì)n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的連通圖，其樹支數(shù)：t=n－1連支數(shù)：l=b－(n－1)樹支：G中屬于樹的支路（treebranch）。樹支集合是連通所有節(jié)點(diǎn)的最少支路集合。連支：G中不屬于樹的支路（linkbranch）。連支集合又稱為“樹余”或樹補(bǔ)。(2)、樹的種類（數(shù)目）：對(duì)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的全通圖，有種樹。8、回路（loop）(1)、定義：途徑各節(jié)點(diǎn)均相異的閉合路徑。不是回路是回路(2)、性質(zhì)：1o、

組成回路的各支路電壓服從KVL2o、每一回路至少包含一個(gè)連支(樹支不含回路)(3)、基本回路:1°、定義：每一連支與有關(guān)樹支能夠成唯一的一個(gè)回路，叫基本回路，也叫做單連支回路。2°、對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的全通圖，有基本回路：

L=b－(n－1)個(gè)，即,基本回路數(shù)=單連支回路數(shù)=獨(dú)立回路數(shù)。例如：123456G1234569、割集(1)定義：將連通圖G分離為兩個(gè)部分時(shí)，需移去的最少支路的集合稱為G的一個(gè)割集。用Q1，Q2

…表示。例如，對(duì)于圖G來說：abcdefGabcdefabcdefabcdefabcdefQ1、Q2、

Q3、Q4分別是圖G的四個(gè)割集。abcdefGabcdefabcdefabcdefQ5、Q6、

Q7分別是圖G的另外三個(gè)割集。(3)、割集的確定一般可以用在連通圖G上作閉合面的方法來判斷確定一個(gè)割集。如在G上做一閉合面，使其包圍G的某些節(jié)點(diǎn)和支路，若把與此閉合面相切的所有支路全部移去，G將被分為兩個(gè)部分，則這組支路便構(gòu)成一個(gè)割集。如Q1、…、Q7、…

。(4)、獨(dú)立割集的概念如對(duì)割集列KCL方程，可列出與割集數(shù)相等數(shù)目的KCL方程，但是這些方程并非都是獨(dú)立的，所以，對(duì)應(yīng)于一組線性獨(dú)立的KCL方程的割集稱為獨(dú)立割集。下面介紹，借助于“樹”來確定一組獨(dú)立割集的方法。1°、基本割集

①、定義：由樹的一條樹支與相應(yīng)的一些連支所構(gòu)成的割集稱為單樹支割集或基本割集。例如：在圖G中，b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7為樹支，構(gòu)成樹T。

l1、l2、l3、l4、l5、l6、l7為連支，做一閉合面后，與其相切的支路是：GQ1②、基本割集的性質(zhì)A、對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的連通圖G，其樹支數(shù)為(n–1)，因此，將有(n–1)個(gè)單樹支割集，稱為基本割集組。由于一個(gè)連通圖G可以有許多不同的樹，所以，可選出許多基本割集組。如下圖：選樹為（2、3、4、6）則基本割集組為：構(gòu)成一個(gè)基本割集。Q1GQ2Q3Q4Q1（2、1、5、7、8）Q2（3、1、5、8）Q3（4、1、5）Q4（6、5、7、8）可見，大規(guī)模的電路圖，如果列方程求解的話，無論用節(jié)點(diǎn)電壓法或回路電流法，最終列出來的方程組中各獨(dú)立變量前的系數(shù)均將形成一個(gè)矩陣的形式。，所以，如果作一些人為的規(guī)定后，各系數(shù)矩陣中的各元素可以按一定的規(guī)律寫出，這樣我們列方程就規(guī)律性更強(qiáng)了。為了系統(tǒng)的列方程，下面先介紹幾個(gè)矩陣的寫法！§17—2圖的矩陣表示和KCL、KVL方程的矩陣形式一、關(guān)聯(lián)矩陣在有向拓?fù)鋱D中支路與節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)：設(shè)一條支路連接于某兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，則稱該支路與這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。1、關(guān)聯(lián)矩陣的定義：描述支路與節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性質(zhì)的矩陣，稱為

關(guān)聯(lián)矩陣。用

a來表示。

a中的各元素為aij

,i為節(jié)點(diǎn),j為支路。2、關(guān)聯(lián)矩陣

a的構(gòu)成：表示支路j與節(jié)點(diǎn)i關(guān)聯(lián)，并且它的方向背離節(jié)點(diǎn)。表示支路j與節(jié)點(diǎn)i關(guān)聯(lián)，并且它的方向指向節(jié)點(diǎn)。表示支路j與節(jié)點(diǎn)i無關(guān)聯(lián)。例如：有向圖G的關(guān)聯(lián)陣為：345261G支路123456節(jié)點(diǎn)-1-1100000-1-1011001100100-1-1=a3、關(guān)聯(lián)矩陣的性質(zhì)（1）、如有向圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n,支路數(shù)為b,則關(guān)聯(lián)陣

a必為(n行b列)階的矩陣。電路中的b條支路電流可以用一個(gè)b階列相量來表示,即:i=

i1i2…

ibT若用矩陣左乘電流列向量i,則乘積是一個(gè)(n–1)階列向量,且按矩陣相乘規(guī)則可知,它的每一個(gè)元素即為關(guān)聯(lián)到對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)上各支路電流的代數(shù)和,即(加“T”表示是轉(zhuǎn)置矩陣)Ai=節(jié)點(diǎn)1上的i節(jié)點(diǎn)2上的i節(jié)點(diǎn)(n–1)上的i(n-1b)(b1)(n-11)因此Ai=

0(n-11)例如,對(duì)圖G:345261G=-1-1100000-1-101100110i=

i1i2i3i4i5i6TAi=-1-1100000-1-101100110i1i2i3

i4i5

i6=-

i1-i2+i3-i3-

i4+i6

i1+

i4+

i5=0006、用矩陣表示的KVL形式電路中,b個(gè)支路電壓可以用一個(gè)b階列向量來表示,即:u=T

u1u2

…

ub(n–1)個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓可以用一個(gè)(n–1)階列向量來表示,即:un=T

un1un2

…

unn-1因?yàn)?表示節(jié)點(diǎn)對(duì)支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì),而的轉(zhuǎn)置矩陣T則表示支路對(duì)節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。即,的一列對(duì)應(yīng)T的一行。所以,u=Tun(b1)(bn-1)(n-11)例如,對(duì)圖G:345261G

un1

un2

un3u1u2u3u4u5u6=-101-100-100-11001010=-un1+un3-un1

un1-un2

-un2+un3un3

un2(b1)表示支路j與回路i關(guān)聯(lián)，且它們的方向一致。表示支路j與回路i關(guān)聯(lián)，且它們的方向相反。表示支路j與回路i無關(guān)聯(lián)。二、回路矩陣支路與回路相關(guān)聯(lián):設(shè)一個(gè)回路由某些支路組成,則稱這些支路與該回路相關(guān)聯(lián)。1、定義:描述支路與回路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)的矩陣稱為回路矩陣。一般指獨(dú)立回路矩陣,用B表示,B中的元素為bij

,i為回路,j為支路。2、回路矩陣B的構(gòu)成例如：有向圖G中可有3個(gè)獨(dú)立回路,則對(duì)應(yīng)的回路矩陣為：345261G345261G3561145633262支路123456回路1231010-110110010001-11=B3、回路矩陣B的性質(zhì)對(duì)于具有l(wèi)個(gè)獨(dú)立回路,b條支路的有向圖而言、回路矩陣B必是一個(gè)(lb)階的矩陣。(2)、因?yàn)闃?gòu)成B時(shí)選的是獨(dú)立回路，所以B中的每一行是彼此獨(dú)立的。4、基本回路矩陣在構(gòu)成回路矩陣時(shí)，如果所選的獨(dú)立回路是對(duì)應(yīng)一個(gè)樹的單連支回路組，則這種回路矩陣稱為基本回路矩陣，用Bf來表示。構(gòu)成Bf時(shí)注意:(規(guī)定)(1)、把回路的繞行方向選的與連支的方向一致。

(2)、將b–l條樹支排列在Bf的前面，把l條連支依次排列在對(duì)應(yīng)于Bf的后面第b–l+1至第l列。則Bf一定具有下列形式:Bf

=Bt1l是ll階的單位子矩陣l表示與連支對(duì)應(yīng)的部分是ln-1

階的矩陣t表示與樹支對(duì)應(yīng)的部分例如前面圖G的基本回路為:選為樹支3、5、6則1、2、4,為連支有基本回路345261G支路356124回路1231-111001010100-11001=Bf3561132624563Bt1l5、用矩陣Bf表示的KVL形式回路矩陣左乘支路電壓列向量，所得乘積是一個(gè)l階的列向量。又由于矩陣Bf的每一行表示每一對(duì)應(yīng)回路的關(guān)聯(lián)情況，可見，列向量中每一個(gè)元素將對(duì)應(yīng)于每一對(duì)應(yīng)獨(dú)立回路中支路電壓的代數(shù)和，即：Bf

u=回路1中的u回路2中的u回路

l

中的u(lb)(b1)(l1)因此

Bf

u=

0例如前面圖G中基本回路的選取不變，且設(shè)支路電壓列向量為u=u3u5u6u1u2u4T(l1)345261G32624563u3

u5u6

u1u2u435611u=utul

則有：Bf

u=Bt1lutul

=0即Btut+

ul=0，

ul=–Btut則有：1-111001010100-11001Bf

u==u3–u5+u6+

u1u3+u6+

u2–u5+u6+

u4=000若將u分解為以下子塊，即ut樹支電壓列向量

ul連支電壓列向量

可見，樹支電壓是支路電壓中的一組獨(dú)立變量，所有的支路電壓(b個(gè))可通過樹支電壓(n-1個(gè))來表示。1-111001010100-11001Bf

u==u3–u5+u6+

u1u3+u6+

u2–u5+u6+

u4=000以上式為例：u3

u5u6

u1u2u4ut=u3，u5，u6

T

ul=

u1，u2，u4

T∵

ul=–Btut

utu1u2u4=–

u3

u5u61-111010-11=–

u3–u5+u6u3+u6–u5+u6

ul

Bt∴=

–u3+

u5–

u6–u3–u6+u5–u66、用矩陣Bf表示的KCL形式

l個(gè)獨(dú)立回路的電流可用一個(gè)l階列向量來表示,即:il=T

il1il2…

ill按矩陣的乘法規(guī)則有：ili=TBf(b1)(bl)(l1)i表示支路電流列向量。BfT是Bf的轉(zhuǎn)置矩陣，BfT

的每一行也就是Bf的每一列，BfT表示支路與基本回路的關(guān)聯(lián)情況。(b1)例如對(duì)應(yīng)前面圖G有:三、割集矩陣支路與割集相關(guān)聯(lián)：設(shè)一個(gè)割集由某些支路構(gòu)成，則稱這些支路與割集相關(guān)聯(lián)。il1

il2

il3i3i5i6

i1i2

i4=

il1

il2

il3il1+

il2

–

il1–il3il1+

il2+il3

il1

il2il3=1-111001010100-11001134526G表示支路j與割集i關(guān)聯(lián)，且具有同一正方向。表示支路j與割集i關(guān)聯(lián)，且它們的方向相反。表示支路j與割集i無關(guān)聯(lián)。1、割集矩陣的定義描述支路與割集的關(guān)聯(lián)性質(zhì)的矩陣，稱為割集矩陣。一般的均指獨(dú)立割集矩陣,用Q表示,Q中的元素由qij構(gòu)成。例如對(duì)應(yīng)前面圖G,獨(dú)立割集數(shù)為3,若選一組獨(dú)立割集如圖所示:Q2Q3i表示割集,j表示支路。2、割集矩陣Q的構(gòu)成345261G345261GQ1345261G③Q3割集123Q=支路123456-1-11000100110-1-10-1013、割集矩陣

Q的性質(zhì)對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn),b條支路的有向圖,因?yàn)楠?dú)立的割集數(shù)=n-1個(gè)。所以,有以下性質(zhì):345261G345261G③Q1Q2345261G(1)、割集矩陣

Q必是一個(gè)(n-1b)階的矩陣。(2)、因?yàn)闃?gòu)成Q時(shí)，選取的是獨(dú)立割集，所以Q中的每一行是彼此獨(dú)立的。4、基本割集矩陣

如果選一組單樹支割集為一組獨(dú)立割集，則稱這種割集矩陣

為基本割集矩陣，用Qf表示。構(gòu)成Qf時(shí)注意(規(guī)定)：(1)、選割集方向與相應(yīng)樹支方向一致。(2)、把(n-1)條樹支依次排列在對(duì)應(yīng)Qf的前面的第1至第(n-1)列,把l條連支依次排列在對(duì)應(yīng)于Qf的后面第b–l+1至第l列。則Qf有如下形式:1tQlQf

=1t是(n-1n-1)階的單位子矩陣t表示對(duì)應(yīng)于樹支部分Ql是[n-1b-(n-1)]階的矩陣l表示對(duì)應(yīng)于連支部分割集123例如對(duì)應(yīng)前面圖G,選支路3、5、6為樹支，則一組單樹割集對(duì)應(yīng)于下圖:345261GQ1Q2基本割集矩陣為：Qf

=支路356124100-1-10010101001-1-1-1345261G345261GQ3345261G5、用矩陣Qf表示的KCL形式前面介紹割集概念時(shí)曾指出，屬于一個(gè)割集所有支路電流的代數(shù)和為零。根據(jù)割集矩陣的定義和矩陣的乘法規(guī)則不難得出：

Qf

i=

0(n-1b)(b1)(n-11)例如對(duì)應(yīng)前面圖G而言有：

Qf

i==000i3i5i6

i1i2

i4=+i3–i1–i2

i1+i4+i5–i1–i2–i4+i6100-1-10010101001-1-1-1若將i分解為子塊：345261G(n-11)

i=i1i2i4=–

itilit為樹支電流列向量

il為連支電流列向量

則：

Qf

i=1tQl

itil=0

∴it+Qlil=0

it=-Qlil對(duì)應(yīng)前面圖G而言有：i3i5i6

it-1-10101-1-1-1Ql

=–il-i1-

i2i1+

i4-i1-

i2-

i4可見，連支電流是支路電流中的一組獨(dú)立變量，所有的支路電流(b個(gè))可通過連支電流(b-n+1個(gè))來表示。=

i1+i2-i1-

i4i1+i2+

i46、用矩陣Qf表示的KVL形式電路中(n-1)個(gè)樹支電壓可用(n-1)階列向量來表示,即:ut=ut1ut2

…ut(n-1)T(n-11)設(shè)u為電路中的各支路電壓列向量,且按照先樹支后連支排列。QfT為Qf

的轉(zhuǎn)置,可見QfT的每一行也就是Qf的每一列。所以QfT表示每一支路與割集的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。例如對(duì)應(yīng)前面圖G而言,選支路3、5、6為樹支,則有：345261G支路電壓列相量為:u=

u3u5u6u1u2u4Tu=

QfTut(b1)(bn-1)(n-11)于是按矩陣相乘的規(guī)則可得：(b1)u=

QfTut=100-1-10010101001-1-1-1ut1ut2ut3ut1

ut2

ut3

-ut1+ut2-ut3-ut1-ut3

ut2-ut3==u3u5u6u1u2u4345261GQ1Q2Q3由圖所示可見,如將樹支電壓視為割集電壓,則各支路電壓可以用樹支電壓(割集電壓)來表示。KCL、KVL的矩陣形式(小結(jié))P400以上介紹了降階關(guān)聯(lián)矩陣A，回路矩陣B(基本回路矩陣Bf)

,割集矩陣Q(基本割集矩陣Qf)

,以及用它們表示的KCL，KVL的矩陣形式，因?yàn)锳描述的是支路與節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)情況，B(Bf)描述的是支路與回路之間的關(guān)聯(lián)情況，Q(Qf)描述的是支路與割集之間的關(guān)聯(lián)情況，可見三者之間似乎都離不開有向圖G上的支路、節(jié)點(diǎn)、回路等，下面介紹它們之間的關(guān)系。§17—3矩陣A、Bf

、

Qf

之間的關(guān)系

以下的關(guān)系是在同圖、同樹、同正方向、同支路排列順序的條件下成立！一、A與Bf的關(guān)系選A與Bf按先樹支,后連支同順序排列則:1、ABfT=0或BfAT=0證明:用關(guān)聯(lián)矩陣A表示的KVL形式為:u=ATun用基本回路矩陣Bf表示的KVL形式為:Bfu=0

Bfu=BfATun=0方程兩邊取轉(zhuǎn)置:(BfATun)T=(0)T(ATun)TBfT=0unTABf

T=0方程兩邊左乘(unT)–1(unT0)(unT)–1unTABf

T=(unT)–10ABfT=0方程兩邊取轉(zhuǎn)置得:BfAT=0

#2、AtBtT+Al=0或BtT=–At–1Al

證明:先樹支,后連支同順序排列則:A=[AtAl],Bf=[Bt1l]ABf

T

=0ABf

T

=[AtAl]

1lBtT=0AtBtT+Al=0或BtT=–At–1AlAt–1一定存在#二、

Bf與Qf的關(guān)系1、QfBfT

=0或BfQfT

=0證明:Bfu=0,u=QfT

ut(分別來源于兩種不同形式的KVL表達(dá)式)Bfu=BfQfT

ut=0方程兩邊取轉(zhuǎn)置:(BfQfT

ut)T

=(0)T(QfT

ut)TBfT=0utTQfBfT=0方程兩邊左乘(utT)–1(utT0)QfBfT=0兩邊取轉(zhuǎn)置BfQfT

=02、BtT+Ql=0或Ql=–BtT=At–1Al證明:選A與Bf、Qf均按先樹支,后連支同順序排列則:

Qf

BfT

=0QfBfT

=[1tQl]BtT1l=0BtT+Ql=0或Ql=–BtT=At–1Al三、Qf與A的關(guān)系對(duì)某些圖來說,有時(shí)Qf

=A例如:選2、5、6為樹，有三個(gè)單樹支割集Q1、Q2、Q3。另外選節(jié)點(diǎn)4為參考點(diǎn)。此時(shí)Q3345261GQ1Q2

A=256134100-1100101010010-1-1基本割集矩陣為Qf

=Q1Q2Q3256134100-1100101010010-1-1可見Qf=A§17—4回路電流方程的矩陣形式在第三章中曾介紹了網(wǎng)孔電流法和回路電流法。他們的特點(diǎn)是分別以網(wǎng)孔電流和回路電流為電路的獨(dú)立變量，并用KVL列出足夠的電路方程。在此我們要直接寫出回路電流方程的矩陣形式。因?yàn)?描述支路與回路關(guān)聯(lián)性質(zhì)的是回路矩陣Bf,且用Bf表示的KVL形式:Bfu=0用Bf表示的KCL形式:i=BfTil

回路電流列向量Q3345261GQ1Q2：表示支路電壓；：表示支路電流；由以上兩個(gè)關(guān)系式可見,還必需列出支路電壓與支路電流的約束方程（簡(jiǎn)稱支路約束方程）的矩陣形式,才可推出回路電流方程的矩陣形式。一、支路電壓與支路電流的約束方程的矩陣形式我們以前曾定義過，獨(dú)立電壓源與R串或獨(dú)立電流源與R的并可視為一條支路，在此我們采用所謂“典型支路”，一條典型支路一般包含幾種元件并按規(guī)定方式相互聯(lián)接，下面分別在3種不同典型支路的情況來推導(dǎo)支路電流與支路電壓的約束方程的矩陣形式。1、典型支路中無受控源、無互感時(shí)的典型支路的支路約束方程以正弦電路為例，典型支路的形式如圖所示：：表示獨(dú)立電壓源；：表示獨(dú)立電流源；：表示支路阻抗(導(dǎo)納),且規(guī)定它只可能是單一的電阻、電感、電容,而不能是它們的組合。：表示阻抗（導(dǎo)納）上的電壓。以上各電壓、電流的正方向就按如圖所示規(guī)定。K：表示第K條支路對(duì)于第K條支路的電壓和電流的關(guān)系為：則有:為支路電壓源的電壓列向量為支路電流列向量為支路電壓列向量為支路電流源的電流列向量于是對(duì)于含有b條支路的整個(gè)電路若設(shè)即：式中Z稱為支路阻抗矩陣，它是一個(gè)對(duì)角陣,只有對(duì)角線上有元素,且為各支路阻抗。2、典型支路中無受控源、但有互感時(shí)的典型支路的支路約束方程設(shè)第1支路與第3支路之間相互有互感，則支路電壓與支路電流的關(guān)系式：∵元件電壓∴以上可見元件電壓和元件電流的關(guān)系?！?/p>

b條支路的元件電壓和元件電流關(guān)系的矩陣形式為：或?qū)懗桑毫硗猓谢ジ袝r(shí)，支路電壓和支路電流關(guān)系的矩陣形式仍成立：在Z和Y中考慮了互感。3、典型支路中無受控源、但有互感時(shí)的典型支路的支路約束方程設(shè)第1支路至第g支路之間相互均有互感（共b條支路），則支路電壓與支路電流的關(guān)系式：上式中：“±”號(hào)取決于各電感的同名端和電流電壓的參考方向。M12=M21，M13=M31……這樣，支路電壓與支路電流之間的關(guān)系可用下列矩陣形式表示：或?qū)懗桑菏街衂為支路阻抗矩陣：主對(duì)角線元素為各支路阻抗，而非對(duì)角線元素將是相應(yīng)的支路之間的互感阻抗，因此Z不再是對(duì)角陣了！4、典型支路中含有受控電壓源(不考慮互感)時(shí)的典型支路的支路約束方程對(duì)于典型支路有:將此兩項(xiàng)合并,寫成矩陣形式當(dāng)受控源為VCVS時(shí)或CCVS時(shí)：rkj式中Z為支路阻抗矩陣：主對(duì)角線元素為各支路阻抗，而非對(duì)角線元素將是與控制系數(shù)有關(guān)的量。因此Z也不再是對(duì)角陣了！此時(shí)Z的形式為：j列K列為VCVS時(shí))(當(dāng)(當(dāng)為CCVS時(shí))j行K行可見，在以上3種情況下支路電壓與支路電流的矩陣形式是完全一樣的，而每種情況下只是支路阻抗陣Z不同而已。二、回路電流方程的矩陣形式KVL的矩陣形式:KCL的矩陣形式:支路約束的矩陣形式:(1)(2)(3)將(3)代入(1)得：將(2)代入(4)得:(4)如設(shè)電路有b條支路l個(gè)獨(dú)立回路(lb)(bl)(bb)(ll)(l1)(l1)(l1)(l1)設(shè):的主對(duì)角線上的元素為自阻,非主對(duì)角線上的元素為互阻。則回路電流方程的矩陣形式為:回路阻抗陣回路等效電源電壓向量例17—1電路如圖所示。用矩陣形式寫出回路電流的矩陣方程。解：作出有向圖，并選1、2、5為樹支，兩個(gè)單連支回路為1、2?；净芈肪仃嚍椋骸邿o互感、無受控電壓源∴+–1142352∴回路電流方程的矩陣形式為：§17—5節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式在此我們要直接寫出節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。因?yàn)?描述支路與節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)性質(zhì)的是關(guān)聯(lián)矩陣A,且

用A表示的KVL形式:u=ATun

用A表示的KCL形式:Ai=0

由以上兩個(gè)關(guān)系式可見,還必需列出支路電流與支路電壓的約束方程（簡(jiǎn)稱支路約束方程）的矩陣形式,才可推出節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。一、支路電流與支路電壓的約束方程的矩陣形式同前面一樣,分別在3種不同典型支路的情況來推導(dǎo)支路電流與支路電壓的約束方程的矩陣形式。1、典型支路中無受控源、無互感時(shí)的典型支路的支路約束方程以正弦電路為例，典型支路的形式如圖所示：對(duì)于第K條支路的電流和電壓的關(guān)系為：對(duì)于含有b條支路的整個(gè)電路若設(shè)為支路電流列向量為支路電壓列向量為支路電流源的電流列向量為支路電壓源的電壓列向量則有：式中Y稱為支路導(dǎo)納矩陣，它是一個(gè)對(duì)角陣,只有對(duì)角線上有元素,且為各支路導(dǎo)納。且Y=Z–1。即支路約束方程的矩陣形式:2、典型支路中無受控源、但有互感時(shí)的典型支路的支路約束方程此時(shí),根據(jù)前面的討論,如令Y=Z–1,支路約束方程的矩陣形式仍為:此時(shí),Y式中為支路導(dǎo)納矩陣。因?yàn)閆不是對(duì)角陣,所以Y也不是對(duì)角陣。３、典型支路中含有受控電流源(不考慮互感)時(shí)的典型支路的支路約束方程設(shè)第ｋ支路中有受控電流源并受第ｊ支路中無源元件上的電壓或電流控制即：當(dāng)受控源為VCCS時(shí)或CCCS時(shí)：對(duì)于第k條典型支路有:將此兩項(xiàng)合并,寫成矩陣形式對(duì)于含有b條支路的整個(gè)電路有：式中：為VCCS時(shí))(當(dāng)(當(dāng)為CCCS時(shí))式中Y為支路導(dǎo)納矩陣：主對(duì)角線元素為各支路導(dǎo)納，而非對(duì)角線元素將是與控制系數(shù)有關(guān)的量。因此Y也不再是對(duì)角陣了！即支路約束方程的矩陣形式:可見，在以上3種情況下支路電流與支路電壓的矩陣形式是完全一樣的，而每種情況下只是支路導(dǎo)納陣Y不同而已。4、寫支路導(dǎo)納陣Y時(shí)應(yīng)注意的問題：(1)、在典型支路不同的情況下，注意Y的構(gòu)成：、典型支路中無受控源、無互感時(shí)，Y為對(duì)角陣,主對(duì)角上元素為各支路導(dǎo)納；、典型支路中無受控源但有互感時(shí)，先寫支路阻抗陣Z再求Y，且Y=Z–1，Y為不對(duì)稱矩陣。支路阻抗陣Z主對(duì)角線上元素為各支路阻抗，而非對(duì)角線上元素是相應(yīng)的支路之間的互感阻抗。在求Z–1時(shí)采用分塊求逆矩陣的方法，把Z中具有耦合電感支路連續(xù)編號(hào)的部分畫在某一子矩陣中，于是可以通過這一子矩陣的求逆運(yùn)算來求得導(dǎo)納矩陣Y。從而減輕了計(jì)算工作量；如設(shè)第j、k兩支路間有互感。（設(shè)兩電流的流進(jìn)端為同名端），則支路阻抗陣Z的形式一定有：Z=jkjk令子矩陣Z11、

Zjk、Zbb抽出分別求逆矩陣，便可求得Z的逆矩陣，在三個(gè)子矩陣中，Zjk的求逆是關(guān)鍵。Z11ZbbZjk、典型支路中含受控源(VCCS、CCCS)時(shí)(無互感),Y為不對(duì)稱矩陣,主對(duì)角線上元素為各支路導(dǎo)納，而非對(duì)角線上元素將是與控制系數(shù)有關(guān)的量。(2)、對(duì)于節(jié)點(diǎn)法而言，典型支路不允許存在“純電壓源支路”。(對(duì)于回路法而言,典型支路不允許存在“純電流源支路”)如果存在可用移源法解決！(3)、可以允許典型支路上缺少其中某些元件。(4)、以上典型支路是在采用相量法條件下列的方程。如采用運(yùn)算法，則所有的電壓、電流相量應(yīng)該用象函數(shù)的形式，導(dǎo)納（或阻抗）則改用運(yùn)算導(dǎo)納（或運(yùn)算阻抗），獨(dú)立電源中，還可能包含初始條件所引起的附加電源。二、節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式KVL的矩陣形式:KCL的矩陣形式:支路約束的矩陣形式:（1）（2）（3）將（3）代入（2）得：(4)將（1）代入（4）得節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式:如設(shè)電路有n個(gè)節(jié)點(diǎn),b條支路(n-1b)(bn-1)(bb)(n-1n-1)(n-11)(n-11)設(shè),節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣節(jié)點(diǎn)等效電流源電流列向量則節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式為:(n-11）(n-11)例17—2已知：電路如圖所示，在以下兩種情況，列寫電路的矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程。解：(1)、M12=0時(shí)L1與L2之間無互感做電路的有向圖G，注意確定支路的方向時(shí),必滿足“典型支路”的各種條件。支路4與M12支路3與是相反的方向４３５６12選節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)，則關(guān)聯(lián)矩陣為：123456A=M12４３５６12電壓源列向量：電流源列向量：Y=Yn=AYAT=節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Yn為：Yn=AYAT=∵節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式為：0∴（2）M12≠0要想得到電路的支路導(dǎo)納陣必先寫出支路阻抗矩陣。電路的支路阻抗矩陣為：令將Z分為4個(gè)子矩陣求其逆矩陣Z11Z22∴支路導(dǎo)納陣：節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Yn為：節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式為：例17—3電路及有向圖如圖所示。設(shè)寫出支路方程的矩陣形式。+–+–+–解：∵支路電流源向量與支路電壓源向量為：式中“–”表示與的正方向與標(biāo)準(zhǔn)典型支路的正方向相反!４３５６12式中“–”是由于的正方向與標(biāo)準(zhǔn)典型支路的正方向相反!于是，支路方程的矩陣形式為：例17—4電路及有向圖如圖所示。分別用相量形式及運(yùn)算形式寫出該電路的節(jié)