2022年度湖北省武漢市板橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年度湖北省武漢市板橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等差數(shù)列{an}中，若，則的值為（

）A.24 B.36 C.48 D.60參考答案：C【分析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋傻炔顢?shù)列的性質(zhì)得，所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.

2.從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中依次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，可有種方法，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的只有1，2；2，4．兩種選法．利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．【解答】解：從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，可有種方法，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的只有1，2；2，4這兩種選法．∴其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率P==．故選：B．3.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用右側(cè)的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為--------------------------------------------------(

)A、0.6小時(shí)

B、0.9小時(shí)

C、1.0小時(shí)

D、1.5小時(shí)參考答案：B略4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則該幾何體的外接球的體積為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】LR：球內(nèi)接多面體；LG：球的體積和表面積．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，由此求出該幾何體的外接球的半徑，即可求出它的表面積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是底面為等腰直角三角形，高為的三棱錐；且該幾何體的外接球球心在側(cè)視圖高上，如圖所示；設(shè)球心為O，半徑為r，則+1，可得r=．∴所以V==．故選：D5.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+++…+＞時(shí)，由k遞推到k+1時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．+C．﹣ D．+﹣參考答案：D【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】只須求出當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．【解答】解：當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式為，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式為，故用n=k+1時(shí)左邊的代數(shù)式減去n=k時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：，故選：D．6.已知函數(shù)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、積分的性質(zhì)和積分的幾何意義，探求的值，結(jié)果是（

）A.+

B.

C.1

D.0參考答案：D7.下圖是計(jì)算函數(shù)y＝的值的程序框圖，在①、②、③處應(yīng)分別填入的是()A．y＝ln(－x)，y＝0，y＝2xB．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0C．y＝0，y＝2x，y＝ln(－x)D．y＝0，y＝ln(－x)，y＝2x參考答案：B無(wú)8.已知向量的形狀為（

）A.直角三角形 B.等腰三角形

C.銳角三角形

D.鈍角三角形參考答案：D9.若，，均為單位向量，則=（，）是++=（，）的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】均為單位向量，若，=（，）不成立；若=（，）可推得，由此可得．【解答】解：均為單位向量，，若，，則=（，）不成立；若均為單位向量，=（，）可推得所以“”是“”的必要不充分條件，故選B10.如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若則此拋物線的方程為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)＝2+4的最大值為

.參考答案：1312.直線2cosα·x－y－1=0,α∈[,π]的傾斜角θ的取值范圍是

參考答案：13.若，則實(shí)數(shù)k的值為________．參考答案：－1略14.函數(shù)的極值點(diǎn)為x=__________．參考答案：1【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，并求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，研究零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)，由此可得．【詳解】，由得，函數(shù)定義域是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的極值，一般我們可先，然后求出的零點(diǎn)，再研究零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，從而可確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)．15.己知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），則平面ABC的一個(gè)單位法向量是

．參考答案：【考點(diǎn)】MD：平面的法向量．【分析】設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），可得，即可得出平面ABC的一個(gè)單位法向量=．【解答】解：=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則，即，取=（1，1，1）．則平面ABC的一個(gè)單位法向量==．故答案為：．16.在展開式中，的系數(shù)為

。參考答案：17.線段AB的兩端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，|AB|=5，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，且|AM|=2，點(diǎn)M隨線段AB的運(yùn)動(dòng)而變化，則點(diǎn)M的軌跡方程為________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足對(duì)一切恒成立，則稱為“可控?cái)?shù)列”.(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“可控?cái)?shù)列”？并說(shuō)明理由；(2)若是首項(xiàng)為5的“可控?cái)?shù)列”，且單調(diào)遞減，問(wèn)是否存在常數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若“可控?cái)?shù)列”的首項(xiàng)為2，，求不同取值的個(gè)數(shù)及最大值.(直接寫出結(jié)果)參考答案：(1)解：，.故為“可控?cái)?shù)列”.

……………………(4分)(2)解：假設(shè)存在常數(shù)滿足題意.由是單調(diào)遞減的“可控?cái)?shù)列”，得.

……(5分)累加，得.………(8分)當(dāng)時(shí)，，不合題意.……………(9分)當(dāng)時(shí)，，.…(11分)令，得.故的值為.

……………………(14分)(3)解：的不同取值個(gè)數(shù)是2018，最大值為2019.……(18分)(各2分)19.（本題滿分12分）已知函數(shù)，且.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.參考答案：（1）由題知,解得a=1

所以實(shí)數(shù)a的值為1.

……….4分（2）設(shè)，則只需求a>0時(shí)，函數(shù)的最小值.易求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)函數(shù)在[0,1]上為減函數(shù)，函數(shù)的最小值為當(dāng)函數(shù)的極小值即為其在區(qū)間[0,1]上的最小值，函數(shù)的最小值為綜上所述，

………….12分20.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．（Ⅰ）求面ASD與面BSC所成二面角的大??；（Ⅱ）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與

SB所成角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn)D到平面SBC的距離．

參考答案：（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，又在Rt△SDB中，．……1分以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

…………2分設(shè)平面SBC的法向量為，則，，∵，，∴，∴可取…4分∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．

……………5分∴，∴面ASD與面BSC所成二面角的大小為45°．……6分（Ⅱ）∵，∴，，又∵，∴DM⊥SB，

∴異面直線DM與SB所成角的大小為90°．

………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量為，∵，∴在上的射影為，∴點(diǎn)D到平面SBC的距離為．………12分略21.已知點(diǎn)，，，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）試判斷以為直徑的圓與圓=4的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．參考答案：解：（1）設(shè)，由已知得化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.--------------------3分（2）解法1：設(shè)點(diǎn)的中點(diǎn)為，則，ks*5@u，即以為直徑的圓的圓心為，半徑為，又圓的圓心為O（0，0），半徑，，故，即兩圓內(nèi)切.

------------------7分解法2：由橢圓的定義得圓心距所以以為直徑的圓與圓=4內(nèi)切.

（3）解法1：若直線的斜率不存在，則，解得，，；若直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，，，原點(diǎn)到直線的距離，所以ks*5@u設(shè)則，則有，.綜上所述，的最大值為.

------------------12分解法2：設(shè)直線的方程為.由得，設(shè)，，，設(shè)則，則有，當(dāng)，即，時(shí)