2022年重慶榮昌第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年重慶榮昌第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）+2x﹣a有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，﹣3） D．（0，﹣3）參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】由題意可得需使指數(shù)函數(shù)部分與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，拋物線部分與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，判斷x≤0，與x＞0交點(diǎn)的情況，列出關(guān)于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：g（x）=f（x）+2x﹣a=，函數(shù)g（x）=f（x）+2x﹣a有三個(gè)零點(diǎn)，可知：函數(shù)圖象的左半部分為單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)的部分，函數(shù)圖象的右半部分為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=﹣a﹣1，最多兩個(gè)零點(diǎn)，如上圖，要滿足題意，函數(shù)y=2x+2x是增函數(shù)，x≤0一定與x相交，過（0，1），g（x）=2x+2x﹣a，與x軸相交，1﹣a≥0，可得a≤1．還需保證x＞0時(shí)，拋物線與x軸由兩個(gè)交點(diǎn)，可得：﹣a﹣1＞0，△=4（a+1）2﹣4（1﹣a）＞0，解得a＜﹣3，綜合可得a＜﹣3，故選：C．2.設(shè)方程，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D3.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)的次數(shù)為ξ，則Eξ=（）A．3 B． C． D．4參考答案：C【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】由題意知ξ的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：由題意知ξ的可能取值為2，3，4，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=（）×=，P（ξ=4）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，∴Eξ==．故選：C．4.設(shè)函數(shù)，．若在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的概率為，則的值為

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知集合M={1,2,3},N={2,3,4,5},則（

）A

B

C

D

參考答案：C6.已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕，將折成直二面角，則過，，，四點(diǎn)的球的表面積為（

）A．3π B．4π C．5π D．6π參考答案：C7.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)成本y（萬元）有如下幾組樣本數(shù)據(jù)：x3456y2.53.13.94.5據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，通過線性回歸分析，求得到其回歸直線的斜率為0.8，則當(dāng)該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是6.7萬元時(shí)，其相應(yīng)的產(chǎn)量約是（）A．8 B．8.5 C．9 D．9.5參考答案：B【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】計(jì)算、，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程，據(jù)此模型預(yù)測(cè)生產(chǎn)成本是6.7萬元時(shí)相應(yīng)的產(chǎn)量約是多少．【解答】解：計(jì)算=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3.1+3.9+4.5）=3.5；代入回歸方程=0.8x+得3.5=0.8×4.5+，解得=﹣0.1；∴回歸方程為=0.8x﹣0.1，令=0.8x﹣0.1=6.7，解得x=8.5，據(jù)此模型預(yù)測(cè)生產(chǎn)成本是6.7萬元時(shí)，其相應(yīng)的產(chǎn)量約是8.5噸．故選：B．8.已知，則的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.若復(fù)數(shù)z滿足（2﹣i）z=|1+2i|，則z的虛部為(

) A．﹣ B． C． D．﹣參考答案：B考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），由于復(fù)數(shù)z滿足（2﹣i）z=|1+2i|，可得2a+b+（2b﹣a）i=，利用復(fù)數(shù)相等即可得出．解答： 解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），∵復(fù)數(shù)z滿足（2﹣i）z=|1+2i|，∴（2﹣i）（a+bi）=，∴2a+b+（2b﹣a）i=，∴，解得．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和相等，屬于基礎(chǔ)題．10.將6名留學(xué)歸國(guó)人員分配到濟(jì)南、青島兩地工作．若濟(jì)南至少安排2人，青島至少安排3人，則不同的安排方法數(shù)為（）A．120 B．150 C．35 D．55參考答案：C【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】6名留學(xué)歸國(guó)人員分配到濟(jì)南、青島兩地工作．若濟(jì)南至少安排2人，青島至少安排3人，分兩類，青島安排3人，濟(jì)南安排3人或青島安排4人，濟(jì)南安排2人，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得答案．【解答】解：6名留學(xué)歸國(guó)人員分配到濟(jì)南、青島兩地工作．若濟(jì)南至少安排2人，青島至少安排3人，分兩類，第一類，青島安排3人，濟(jì)南安排3人，有C63=20種，第二類，青島安排4人，濟(jì)南安排2人，有C64=15種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得20+5=35種．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________．參考答案：－112.設(shè)滿足約束條件組，則的最大值為________參考答案：5略13.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若對(duì)恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是

▲

．參考答案：14.已知直線（其中，）與圓交于點(diǎn)M、N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則__________，__________．參考答案：

－10【分析】先求出圓心到直線的距離，再由相交弦長(zhǎng)公式，求出；設(shè)的中點(diǎn)為，則有，利用，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】由，可知，圓心到直線的距離，．

設(shè)的中點(diǎn)為，則，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟記圓的弦長(zhǎng)公式以及幾何性質(zhì)是解題關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.15.如果函數(shù)的圖象過點(diǎn)且．那么

；

．參考答案：1，0考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性由已知，所以，所以，

而，所以，

所以16.已知定義在R上的函數(shù)對(duì)任意的都滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)只有4個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍是

．參考答案：17.二項(xiàng)展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為

．參考答案：考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制,已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在內(nèi),發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表,規(guī)定：、、三級(jí)為合格等級(jí),為不合格等級(jí).百分制分及以上分到分分到分分以下等級(jí)為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況,從中抽取了名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示,樣本中分?jǐn)?shù)在分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.（1）求和頻率分布直方圖中的的值；（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學(xué)生任選人,求至少有人成績(jī)是合格等級(jí)的概率；(3)在選取的樣本中,從、兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研,記表示所抽取的名學(xué)生中為等級(jí)的學(xué)生人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：19.（12分）某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，（萬元）．每件商品售價(jià)為0.05萬元．通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（1）寫出年利潤(rùn)L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？參考答案：【考點(diǎn)】：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：（1）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，投入成本為（萬元），根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時(shí)，投入成本為，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（2）根據(jù)年利潤(rùn)的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．解：（1）∵每件商品售價(jià)為0.05萬元，∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，∴=；②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，∴=．綜合①②可得，．（2）由（1）可知，，①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，=，∴當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；②當(dāng)x≥80時(shí)，=1200﹣200=1000，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=100時(shí)，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．綜合①②，由于950＜1000，∴當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1000萬元．【點(diǎn)評(píng)】：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題建立的數(shù)學(xué)模型為分段函數(shù)，對(duì)于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解．屬于中檔題．20.(本小題滿分10分）如圖，2012年春節(jié)，攝影愛好者S在某公園A處，發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱，測(cè)得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為，已知S的身高約為米（將眼睛距地面的距離按米處理）(1)求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；(2)立柱的頂端有一長(zhǎng)2米的彩桿MN繞中點(diǎn)O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．?dāng)z影者有一視角范圍為的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由．參考答案：略21.已知，，其中正整數(shù)．（1）求證：對(duì)于一切的正整數(shù)，都有；（2）求的最小值，其中約定參考答案：（1）證明：對(duì)于一切的正整數(shù)，．5分（2）由不等式知

……10分

……15分當(dāng)時(shí)，等于成立，所以有最小值．…20分22.（本小題滿分13分） 如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C1：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)，且拋物線C1上點(diǎn)P處的切線與圓C2：x2+y2=1相切于點(diǎn)Q． （1）當(dāng)直線PQ的方程為x-y=0時(shí)，求拋物線Cl的方程； （2）當(dāng)正數(shù)p變化時(shí)，記S1，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求的最小值．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】拋物線方程直線與拋物線H7

H8（1）；（2）.（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求導(dǎo)y′=，

因?yàn)橹本€PQ的斜率為1，所以=1且x--=0，解得p=2，

所以拋物線C1

的方程為．

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為：y-=（x-x），即2xx-2py-=0，

根據(jù)切線與圓切，得d=r，即=1，化簡(jiǎn)得，

由方程組，解得Q（，），

所以|PQ|=|xP-xQ|==，

點(diǎn)F（0，）到切線PQ的距離是d==，

所以=××=，

=，

而由知，4p2=，得|x|＞2，