吉林省長(zhǎng)春市萬(wàn)金塔鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

吉林省長(zhǎng)春市萬(wàn)金塔鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．參考答案：B對(duì)于A:函數(shù)在遞減，不合題意；對(duì)于B:是偶函數(shù)且在遞增，符合題意；對(duì)于C：是周期函數(shù)，在不單調(diào)，不合題意；對(duì)于D：此函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；2.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式成立的是（

)A．

B．C．D．參考答案：D易知函數(shù)f（x）=ex+x﹣2在R上是增函數(shù)，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函數(shù)；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；3.已知集合A={x∈Z|-1≤x≤2},集合B={y|y=},則A∩B=(

)A.{-1,0,1}

B.{0,1,2}

C.{-1,0,1,2}

D.參考答案：A4.直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為(

) A． B． C．y=3x﹣3 D．參考答案：A考點(diǎn)：兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系．分析：先利用兩直線垂直寫出第一次方程，再由平移寫出第二次方程．解答： 解：∵直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°∴兩直線互相垂直則該直線為，那么將向右平移1個(gè)單位得，即故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互相垂直的直線關(guān)系，同時(shí)考查直線平移問(wèn)題．5.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）參考答案：C6.設(shè)等差數(shù)列滿足：，公差．若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和D2由=1得：由積化和差公式得：整理得：=∴sin（3d）=-1．

∵d∈（-1，0），∴3d∈（-3，0），則3d=-，d=-．

由Sn=na1+=na1+=-+對(duì)稱軸方程為n=(a1+)，由題意當(dāng)且僅當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值，

∴＜(a1+)＜，解得＜a1＜．

∴首項(xiàng)a1的取值范圍是(,)．【思路點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的倍角公式、積化和差與和差化積公式化簡(jiǎn)已知的等式，根據(jù)公差d的范圍求出公差的值，代入前n項(xiàng)和公式后利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸的范圍求解首項(xiàng)a1取值范圍．7.有下列四個(gè)命題：

p1：；

p2：已知a>0，b>0，若a+b=1，則的最大值是9；

p3：直線過(guò)定點(diǎn)(0，-l)；

p4：區(qū)間是的一個(gè)單調(diào)區(qū)間．

其中真命題是

(A)p1,p4

(B)p2,p3

(c)p2,p4

(D)p3,p4參考答案：8.為了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲－１８歲的男生體重(kg),得到頻率分布直方圖如下：

根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在〔56.5,64.5〕的學(xué)生人數(shù)是（

）

A．20

B．30

C．40

D．50

參考答案：答案：C9.函數(shù)的圖象是（

）參考答案：A10.已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且a與c的夾角為60°，|b|＝|a|，則a與b的夾角為

（A）30° （B）150° （C）60° （D）120°參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______________.參考答案：【分析】求出原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程點(diǎn)斜式得答案．【詳解】解：由，得，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12.在ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BD，AD=，∠ADB=1350，若AC=AB，則BD=

.參考答案：作AH⊥BC于H,則則.又,所以，即,，，所以，即，整理得，即，解得或（舍去）.13.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，當(dāng)tan（A﹣B）取最大值時(shí)，角C的值為．參考答案：考點(diǎn)： 兩角和與差的正切函數(shù)；正弦定理的應(yīng)用．

專題： 壓軸題；三角函數(shù)的求值．分析： 利用正弦定理及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知的等式，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后得到tanA=3tanB，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan（A﹣B），將tanA=3tanB代入，利用基本不等式變形，求出tan（A﹣B）取得最大值時(shí)tanA與tanB的值，進(jìn)而確定出A與B的度數(shù)，即可此時(shí)得到C的度數(shù)．解答： 解：利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），整理得：sinAcosB=3cosAsinB，兩邊除以cosAcosB得：tanA=3tanB，則tan（A﹣B）===，∵A、B是三角形內(nèi)角，且tanA與tanB同號(hào)，∴A、B都是銳角，即tanA＞0，tanB＞0，∴3tanB+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)3tanB=，即tanB=時(shí)取等號(hào)，∴tanA=3tanB=，∴A=，B=，則C=．故答案為：點(diǎn)評(píng)： 此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．14.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)滿足條件：①都在函數(shù)的圖象上；②關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱是函數(shù)的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”（點(diǎn)組與看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”）．已知函數(shù)有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__

_．參考答案：.15.如圖是某算法的程序框圖，若任意輸入中的實(shí)數(shù)，則輸出的大于的概率為

;

參考答案：略16.設(shè)函數(shù)f（x）=3x+9x，則f（log32）=．參考答案：6【分析】利用對(duì)數(shù)換底公式直接求解．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=3x+9x，∴f（log32）==2+=2+4=6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)換底公式的合理運(yùn)用．17.如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與極軸的夾角，若將的極坐標(biāo)方程寫成的形式，則

。

參考答案：設(shè)直線上的任一點(diǎn)為P,因?yàn)?所以,根據(jù)正弦定理得,即，即。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，存在常數(shù)a，b（），使得

恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）對(duì)稱，

已知函數(shù)（I）求證：存在定點(diǎn)M，使得函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（II）定義，求的表達(dá)式，并求除以31的余數(shù)；（III）對(duì)于（II）中的求證：對(duì)于任意都有

.參考答案：解：（I）設(shè)，則由（常數(shù)）對(duì)任意x恒成立，則，解得，所以，存在定點(diǎn)，使得函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱?！?分（II）由（I）得，…………5分又①得②①+②得

，所以

，…7分∵，∴……從而可知除以31的余數(shù)為1.……9分（III）當(dāng)時(shí)，由（II）知：，故要證：對(duì)于任意都有則只需證：對(duì)于任意都有…………10分構(gòu)造函數(shù),則顯然：在上恒成立，所以在為增函數(shù)，且所以：，即在上恒成立，取，則有：所以原不等式得證?！?4分略19.（本小題滿分10分）己知曲線的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為．(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線，的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線，與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.參考答案：20.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元.設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為千元.（Ⅰ）將表示成的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性，并確定和為何值時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最小，并求出最小建造費(fèi)用.（參考公式：球的表面積公式，球的體積公式，圓柱體的側(cè)面積公式，圓柱體的體積公式）參考答案：（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米，所以,解得所以圓柱的側(cè)面積為，兩端兩個(gè)半球的表面積之和為所以又，所以定義域?yàn)椋á颍┮驗(yàn)樗粤畹茫涣畹盟援?dāng)時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最小為千元，此時(shí)：略21.已知直線l的極坐標(biāo)方程為，圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)）．（1）請(qǐng)分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求直線l被圓截得的弦長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（1）展開兩角差的正弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得到直線l的直角坐標(biāo)方程，兩式平方作和消去θ得到圓的普通方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用弦心距、圓的半徑及弦長(zhǎng)的關(guān)系求得答案．【解答】解：（1）由，得，∴y﹣，即．圓的方程為x2+y2=100．（2）圓心（0，0）到直線的距離d=，y=10，∴弦長(zhǎng)l=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查了弦心距、圓的半徑及弦長(zhǎng)的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．22.已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足（1）數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，問(wèn)的最小