高考數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（含解析）

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合高考預(yù)測(cè)一：等差等比的證明1．已知數(shù)列和滿足，，對(duì)都有，成立．（Ⅰ）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（Ⅱ）求和的通項(xiàng)公式；（3），，求證：．2．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中．（1）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若，求．4．已知等比數(shù)列的公比．（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）證明，對(duì)任意，，，成等差數(shù)列．高考預(yù)測(cè)二：等差等比的交匯問題5．在等差數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間，內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．6．已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．（1）若，是否存在、，有？說明理由；（2）找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切，，并說明理由；（3）若，，，試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明．7．已知數(shù)列中，，且且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)的值．8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并分別寫出和關(guān)于的表達(dá)式；（2）是否存在自然數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）設(shè)，，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．參考答案：高考預(yù)測(cè)一：等差等比的證明1．已知數(shù)列和滿足，，對(duì)都有，成立．（Ⅰ）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（Ⅱ）求和的通項(xiàng)公式；（3），，求證：．【解析】證明：對(duì)都有，成立．，．．．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，公比為；是等差數(shù)列，公差為2．解：由可得：．．．．解：．，，．2．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）證明：，，即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，，即，（2）由（1）知，，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，的公差為1，，，，，，，．3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中．（1）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若，求．【解析】解：（1）根據(jù)題意，若，，．當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，，．．即，即，，是等比數(shù)列，公比，當(dāng)時(shí)，，即，；（2）若，則，即，則，得．4．已知等比數(shù)列的公比．（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）證明，對(duì)任意，，，成等差數(shù)列．【解析】（1）解：由，以及可得．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和．（2）證明：對(duì)任意，．把代入可得，故，故，，成等差數(shù)列．高考預(yù)測(cè)二：等差等比的交匯問題5．在等差數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間，內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，．，解得，．（2）由，得，數(shù)列中落入?yún)^(qū)間，內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，．6．已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．（1）若，是否存在、，有？說明理由；（2）找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切，，并說明理由；（3）若，，，試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明．【解析】解：（1）由，得，整理后，可得，、，為整數(shù)，不存在、，使等式成立．（2）設(shè)，若，對(duì)都成立，且為等比數(shù)列，則，對(duì)都成立，即，，對(duì)都成立，若，則，，．若，則，（常數(shù)），即，則，矛盾．綜上所述，有，，使對(duì)一切，．（3），，，設(shè)，、，．，，、，，取，，由二項(xiàng)展開式可得整數(shù)、，使得，，存在整數(shù)滿足要求．故當(dāng)且僅當(dāng)，，命題成立．7．已知數(shù)列中，，且且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)的值．【解析】解：（1）因?yàn)榍?所以,則,上式對(duì)也成立，故；（2）等價(jià)為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,令,其前項(xiàng)和為,則有,,,故,,,當(dāng)時(shí)，,則有,綜上可得,不等式成立的或2．8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并分別寫出和關(guān)于的表達(dá)式；（2）是否存在自然數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）設(shè)，，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：由，得．當(dāng)時(shí)，，