吉林省長(zhǎng)春市市第三十七中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

吉林省長(zhǎng)春市市第三十七中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（）A．20 B．22 C．24 D．26參考答案：C【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為3正方體去掉3個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體剩下的部分．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為3正方體去掉3個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體剩下的部分．該幾何體的體積V=33﹣3×13=24．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體的三視圖、體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且3a1，a3，2a2成等差數(shù)列，則等比數(shù)列{an}公比q等于（）A．3 B．9 C．27 D．81參考答案：A【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，由此能求出等比數(shù)列{an}公比q．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且3a1，a3，2a2成等差數(shù)列，∴，即，解得q=3．∴等比數(shù)列{an}公比q等于3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的公比的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．3.已知某函數(shù)圖象如圖所示，則圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A． B． C． D．參考答案：D4.27．i是虛數(shù)單位，=

(A)1+i

(B)1?i

(C)2+2i

(D)2?2i參考答案：B5.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為(A)

(B)(C)2

(D)4參考答案：B6.已知雙曲線的離心率為，則的值為A．1

B．－2

C．1或－2

D．－1參考答案：C7.復(fù)數(shù)=(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C，選C.8.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是（

）

A．1007

B．2015

C．2016

D．3024參考答案：D模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，得出該程序運(yùn)行后輸出的算式：所以該程序運(yùn)行后輸出的的值是故答案選

9.“”是“”的(

)，

(A)充分麗不必要條件

(B)必要兩不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：A10.已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，則參考答案：12.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于 參考答案：13.

.參考答案：14.我們把形如的函數(shù)因其圖像類(lèi)似于漢字“囧”字，故生動(dòng)地稱(chēng)為“囧函數(shù)”，并把其與軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)稱(chēng)為“囧點(diǎn)”，以“囧點(diǎn)”為圓心凡是與“囧函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱(chēng)之為“囧圓”，則當(dāng)，時(shí)，所有的“囧圓”中，面積的最小值為

．參考答案：15.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為_(kāi)_______.參考答案：5

【知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式N4解析：由柯西不等式得此時(shí)又，【思路點(diǎn)撥】直接使用柯西不等式可求結(jié)果.16.設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=y﹣2x的最小值為

．參考答案：﹣7考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專(zhuān)題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=y﹣2x對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=5且y=3時(shí)z取得最小值，可得答案．解答： 解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（3，3），B（5，3），C（2，0，）設(shè)z=F（x，y）=y﹣2x，將直線l：z=y﹣2x進(jìn)行平移，觀察y軸上的截距變化，可得當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值∴z最小值=F（5，3）=﹣7故答案為：﹣7點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=y﹣2x的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．17.已知隨機(jī)變量的分布列為:123則

，

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，然后在定義域內(nèi)分別解不等式和，可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，利用參變量分離法得出在恒成立，令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?令，得；令，得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）不等式恒成立，等價(jià)于在恒成立，令，，則，令，，.所以在單調(diào)遞增，而，所以時(shí)，，即，單調(diào)遞減；時(shí)，，即，單調(diào)遞增.所以在處取得最小值，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于利用參變量分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)求解，避免了分類(lèi)討論，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.19.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分別為AP，AC的中點(diǎn)，AP=4，BE=．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEH；（Ⅱ）求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．專(zhuān)題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）證明：BH⊥AC，EH⊥AC，即可證明AC⊥平面BEH；（Ⅱ）取BH得中點(diǎn)G，連接AG，證明∠EAG為PA與平面ABC所成的角，即可求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以BH⊥AC．…又因?yàn)镋，H分別為AP，AC的中點(diǎn)，得EH∥PC，因?yàn)椤螾CA=90°，所以EH⊥AC．…故AC⊥平面BEH．…（Ⅱ）解：取BH得中點(diǎn)G，連接AG．…因?yàn)镋H=BH=BE=，所以EG⊥BH．又因?yàn)锳C⊥平面BEH，所以EG⊥AC，所以EG⊥平面ABC．所以∠EAG為PA與平面ABC所成的角．…在直角三角形EAG中，AE=2，EG=，所以\sin∠EAG==．…所以PA與平面ABC所成的角的正弦值為．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確利用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．20.五一節(jié)期間，某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿(mǎn)100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)一次，并獲得相應(yīng)金額的返券．（假定指針等可能地停在任一位置,指針落在區(qū)域的邊界時(shí)，重新轉(zhuǎn)一次）指針?biāo)诘膮^(qū)域及對(duì)應(yīng)的返劵金額見(jiàn)右下表．例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．（1）已知顧客甲消費(fèi)后獲得次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤(pán)指針落在區(qū)域邊界的概率為，每次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)為顧客甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)指針落在區(qū)域邊界的次數(shù)，的數(shù)學(xué)期望，方差.求、的值；（2）顧客乙消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為（元)．求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.

（1）依題意知，服從二項(xiàng)分布∴--------------------------1分又------------------2分聯(lián)立解得：---------------------------------------4分（2）設(shè)指針落在A,B,C區(qū)域分別記為事件A,B,C.則.由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次.隨機(jī)變量的可能值為0，30，60，90，120.----------------------------------5分

-----------------10分所以，隨機(jī)變量的分布列為：

0306090120其數(shù)學(xué)期望-----------------12分考點(diǎn)：二項(xiàng)分布、分布列、期望．21.已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)且為直角，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）求的最大值.參考答案：（1）由題意，，所以.橢圓方程為（2）設(shè)，，把代人，得.因?yàn)闉橹苯牵?，得，，所以，?的長(zhǎng)度為試題立意：本小題主要考查橢圓方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；意在考查邏輯思維與推證能力、分析與解決問(wèn)題的能力、運(yùn)算求解能力.22.證明下列恒等式；（1）；（2）.參考答案：（1）見(jiàn)證明；（2）見(jiàn)證明【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用化簡(jiǎn)和式通項(xiàng)后再利用二項(xiàng)式系數(shù)