四川省內江市同福中學2022年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

四川省內江市同福中學2022年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在矩形中，，點為的中點，點在邊上，若，則的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則，由的，因此選C.考點：向量數(shù)量積2.等差數(shù)列中，，，則其前n項和取最大值時等于（

）A．503 B．504 C．503或504 D．504或505參考答案：C3.已知不等式組表示平面區(qū)域Ω，過區(qū)域Ω中的任意一個點P，作圓x2+y2=1的兩條切線且切點分別為A、B，當∠APB最大時，?的值為（）A．2 B． C． D．3參考答案：B【考點】平面向量數(shù)量積的運算；簡單線性規(guī)劃．【專題】計算題；平面向量及應用．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據(jù)數(shù)形結合求確定當α最小時，P的位置，利用向量的數(shù)量積公式，即可得到結論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，要使∠APB最大，則P到圓心的距離最小即可，由圖象可知當OP垂直直線x+y﹣2=0，此時|OP|==2，|OA|=1，設∠APB=α，則sin=，=此時cosα=，?==．故選：B【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，考查學生分析解決問題的能力，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．4.雙曲線（a，b>0）的一條漸近線的傾斜角為，離心率為e，則的最小值為

（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：A略5.若實數(shù)a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，則2a+b+c的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因為（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，與已知等式比較發(fā)現(xiàn)，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc即可求出結果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故選D．6.若x，y滿足約束條件，則z=x+2y的最大值與最小值的差為（）A．3 B．4 C．7 D．10參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求出最小值和最大值，作差得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（1，1）；聯(lián)立，解得B（1，3）．作出直線x+2y=0，由圖可知，當直線x+2y=0分別平移至A和B時，目標函數(shù)z=x+2y取得最小值和最大值．最小值為3，最大值為7．∴z=x+2y的最大值與最小值的差為7﹣3=4．故選：B．7.函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：B8.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，若函數(shù)至少有個零點，則的取值范圍是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.在等差數(shù)列中，，，則等于（

）

A.19

B.50

C.100

D.120參考答案：C略10.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B．（1，2） C．（2，e） D．（e，3）參考答案：C【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】先判斷函數(shù)y是定義域上的增函數(shù)，再利用根的存在性定理，即可得出結論．【解答】解：∵函數(shù)（x＞0），∴y′=+1+＞0，∴函數(shù)y=lnx+x﹣﹣2在定義域（0，+∞）上是單調增函數(shù)；又x=2時，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，x=e時，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，因此函數(shù)的零點在（2，e）內．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集為 .參考答案：【知識點】絕對值的意義，絕對值不等式的解法，【答案解析】解析：解：表示數(shù)軸上的x對應點到1和-2對應點的距離之和，而數(shù)軸上滿足的點的坐標為-3和2，故不等式的解集為，故答案為．【思路點撥】利用絕對值的意義，表示數(shù)軸上的x對應點到1和-2對應點的距離之和，而數(shù)軸上滿足的點的坐標為-3和2，從而得出結論．12.已知數(shù)列{an}的前n項的和Sn滿足log2（Sn+1）=n，則an=．參考答案：2n﹣1【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．

【專題】計算題．【分析】根據(jù)log2（Sn+1）=n，可得Sn的公式，進而代入an=Sn﹣Sn﹣1中即可求得an【解答】解：由log2（Sn+1）=n得Sn+1=2n，∴Sn=2n﹣1，∴a1=S1=2﹣1=1，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1；∴an=2n﹣1．2n﹣1；【點評】本題主要考查數(shù)列的求和問題．屬基礎題．13.點P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則的取值范圍是．參考答案：[﹣，0]【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】建立空間直角坐標系，設出點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1，計算?=x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質求得它的值域即可．【解答】解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；則點A（1，0，0），C1（0，1，1），設點P的坐標為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1；∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），∴?=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，由二次函數(shù)的性質可得，當x=y=時，?取得最小值為﹣；當x=0或1，且y=0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[﹣，0]．故答案為：[﹣，0]．14.設函數(shù)f（x）=，函數(shù)y=f[f（x）]﹣1的零點個數(shù)為．參考答案：2【考點】函數(shù)的零點；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】根據(jù)函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質，我們可以分類討論，化簡函數(shù)函數(shù)y=f[f（x）]﹣1的解析式，進而構造方程求出函數(shù)的零點，得到答案．【解答】解：∵函數(shù)，當x≤0時y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）當0＜x≤1時y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1當x＞1時y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1則log2x=2，x=4故函數(shù)y=f[f（x）]﹣1的零點個數(shù)為2個故答案為：215.已知函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略16.如圖，在平面四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點，若（λ，μ∈R），則λ+μ=．參考答案：考點：平面向量的基本定理及其意義．專題：平面向量及應用．分析：，，可得．由E為線段AO的中點，可得，再利用平面向量基本定理即可得出．解答：解：∵，，∴，∵E為線段AO的中點，∴，∴，2μ=，解得μ=，∴λ+μ=．故答案為：．點評：本題考查了平面向量基本定理、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17.設是定義在上的函數(shù)，給定下列三個條件：（1）是偶函數(shù)；（2）的圖象關于直線對稱；（3）為的一個周期．如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個作為條件，余下一個作為結論，那么構成的三個命題中真命題的個數(shù)有

個．參考答案：答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，。（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若，設，（?。┣笞Cg（x）為單調遞增函數(shù)；（ⅱ）求證對任意x，x，xx，有。參考答案：略19.在中，角對的邊分別為，已知．（Ⅰ）若，求的取值范圍；（Ⅱ）若，求面積的最大值．

參考答案：（1）（2）解析：（1）………（2分）.

………（6分）（2）………（8分）………（10分）當且僅當時,的面積取到最大值為.

………（12分）.

略20.已知點P在橢圓C：+=1（a＞b＞0）上，以P為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F2，且?=2，tan∠OPF2=，其中O為坐標原點．（1）求橢圓C的方程；（2）已知點M（﹣1，0），設Q是橢圓C上的一點，過Q、M兩點的直線l交y軸于點N，若=2，求直線l的方程；（3）作直線l1與橢圓D：+=1交于不同的兩點S，T，其中S點的坐標為（﹣2，0），若點G（0，t）是線段ST垂直平分線上一點，且滿足?=4，求實數(shù)t的值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）由已知條件推導出PF2⊥OF2，設r為圓P的半徑，c為橢圓的半焦距，由，，求出，再由點P在橢圓，求出a2=4，b2=2，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+1），由N（0，k），Q（x1，y1），，能求出直線l的方程．（Ⅲ）由題意知橢圓D：，設直線l1的方程為y=k（x+2），把它代入橢圓D的方程得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，利用韋達定理能求出滿足條件的實數(shù)t的值．【解答】（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）由題意知，在△OPF2中，PF2⊥OF2，由，得：，設r為圓P的半徑，c為橢圓的半焦距，∵，∴，又，，解得：，∴點P的坐標為，…∵點P在橢圓C：上，∴，又a2﹣b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2，∴橢圓C的方程為．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的方程為，由題意知直線l的斜率存在，故設其斜率為k，則其方程為y=k（x+1），N（0，k），設Q（x1，y1），∵，∴（x1，y1﹣k）=2（﹣1﹣x1，﹣y1），∴，…又∵Q是橢圓C上的一點，∴，解得k=±4，∴直線l的方程為4x﹣y+4=0或4x+y+4=0．…（Ⅲ）由題意知橢圓D：，由S（﹣2，0），設T（x1，y1），根據(jù)題意可知直線l1的斜率存在，設直線斜率為k，則直線l1的方程為y=k（x+2），把它代入橢圓D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，由韋達定理得，則，y1=k（x1+2）=，所以線段ST的中點坐標為，，（1）當k=0時，則有T（2，0），線段ST垂直平分線為y軸，∴，由，解得：．…（2）當k≠0時，則線段ST垂直平分線的方程為y﹣=﹣（x+），∵點G（0，t）是線段ST垂直平分線的一點，令x=0，得：，∴，由，解得：，代入，解得：，綜上，滿足條件的實數(shù)t的值為或．…21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)設，其中R，求在區(qū)間[l，3]上的最小值；(3)若對于任意的a[1,2]，關于x的不等式在區(qū)間[1，3]上恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.參考答案：22.設函數(shù)f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1，記f（x）≤1的解集為M，g（x）≤4的解集為N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）當x∈M∩N時，求函數(shù)h（x）=x2f（x）+x[f（x）]2的最大值．參考答案：考點：函數(shù)的最值及其幾何意義；不等式的證明．專題：計算題；分類討論；函數(shù)的性質及應用；不等式的解法及應用．分析：（Ⅰ）由所給的不等式可得①，或②．分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求；（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．當x∈M∩N時，f（x）=1﹣x，h（x）=﹣（x﹣）2，顯然它小于或