上海市嘉定區(qū)南翔中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

上海市嘉定區(qū)南翔中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.先后兩次拋擲一枚骰子，在得到的點(diǎn)數(shù)之和不大于6的條件下，則先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有3的概率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略2.若，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由題意，則，故選A．

3.已知?jiǎng)t的值為

(

)A．

B.

C.

D.

參考答案：A略4.焦點(diǎn)坐標(biāo)為，。漸近線方程為的雙曲線方程是A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.在空間直角坐標(biāo)系中，一定點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是2，那么該定點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略6.曲線y=x3﹣2x+1在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】欲求在點(diǎn)（1，0）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．【解答】解：驗(yàn)證知，點(diǎn)（1，0）在曲線上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切線的斜率為1，所以k=1；所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故選A．7.若一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字相加和為18，則稱該數(shù)為“完美四位數(shù)”，如數(shù)字“4239”．試問(wèn)用數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于4239的“完美四位數(shù)”有（

）個(gè)A.59 B.66 C.70 D.71參考答案：D【分析】根據(jù)題意，分析和為19的四位數(shù)字的情況，據(jù)此分析求出每種情況下“完美四位數(shù)”的數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在數(shù)字中，和為19四位數(shù)字分別是，，，，共五組；其中第一組.中，排首位有種情形，排首位，或排在第二位上時(shí)，有種情形，排首位，排第二位，排第三位有種情形，此時(shí)種情況符合題設(shè)；第二組中，必須是、排在首位，有種情況，第三組中，必須是、排在首位，有種情況，第四組中，必須是、、排在首位，有種情況，第五組中，必須是、、排在首位，有種情況，則有種情況，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，做到“不重復(fù)，不遺漏”是該題的難點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．8.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，則下列不等式一定成立的是（）A．f（1）＜2ef（2） B．ef（1）＜f（2） C．f（1）＜0 D．ef（e）＜2f（2）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】構(gòu)造函數(shù)F（x）=xexf（x），則F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，得出函數(shù)F（x）=xexf（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論、【解答】解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=xexf（x），則F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，∴函數(shù)F（x）=xexf（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴F（1）＜F（2），∴f（1）＜2ef（2），故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．9.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A.R

B.(–∞，1)∪(1，∞)

C.(–∞，1)

D.(1，∞)參考答案：D略10.閱讀右邊的程序框圖，則輸出的變量的值是（

）A．400

B．589

C．610

D．379參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)點(diǎn)A(2，－3)，B(－3，－2)，點(diǎn)P(x,y)是線段AB上任一點(diǎn)，則的取值范圍是

參考答案：k≥或k≤-4如圖，取Q（1，1），則的取值范圍等價(jià)于直線PQ的斜率k的取值范圍，∵點(diǎn)A（2，-3），B（-3，-2），點(diǎn)P（x，y）是線段AB上任一點(diǎn)，所以，所以k≥或k≤-4。12.直線的傾斜角為

.參考答案：13.設(shè)x,y滿足約束條件，則P=x+y的范圍是

▲

.參考答案：14.已知直線l：mx﹣y﹣m+2=0與圓C：x2+y2+4x﹣4=0交于A，B兩點(diǎn)，若△ABC為直角三角形，則m=

．參考答案：0或

【分析】圓心C（﹣2，0），半徑r=4，由直線l：mx﹣y﹣m+2=0與圓C：x2+y2+4x﹣4=0交于A，B兩點(diǎn)，△ABC為直角三角形，得到|AB|=8，圓心C（﹣2，0）到直線l：mx﹣y﹣m+2=0的距離為4，由此能求出結(jié)果．【解答】解：圓心C（﹣2，0），半徑r==4，∵直線l：mx﹣y﹣m+2=0與圓C：x2+y2+4x﹣4=0交于A，B兩點(diǎn)，△ABC為直角三角形，∴|AB|===8，∴圓心C（﹣2，0）到直線l：mx﹣y﹣m+2=0的距離：d===4，解得m=0或m=．故答案為：0或．15.已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均為正實(shí)數(shù)），則類比以上等式，可推測(cè)a，t的值，a+t=．參考答案：41【考點(diǎn)】類比推理．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】觀察所給的等式，等號(hào)右邊是，，…第n個(gè)應(yīng)該是，左邊的式子，寫(xiě)出結(jié)果．【解答】解：觀察下列等式=2，=3，=4，…照此規(guī)律，第5個(gè)等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案為：41．【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理，考查對(duì)于所給的式子的理解，主要看清楚式子中的項(xiàng)與項(xiàng)的數(shù)目與式子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，本題是一個(gè)易錯(cuò)題．16.由曲線y=，直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為_(kāi)________參考答案：略17.“”是“”的______________條件。（填充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）參考答案：充分不必要三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（1）已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，，請(qǐng)指出4是{an}的第幾項(xiàng)；（2）證明：為無(wú)理數(shù)；（3）證明：1，，4不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)．參考答案：（1）首項(xiàng)為1、公比為，則，

-----2分則令=4，解得n=5，所以4是此數(shù)列中得第5項(xiàng)．

----------4分（2）證明：假設(shè)是有理數(shù)，則存在互質(zhì)整數(shù)h、k，使得，

----------5分則h2=2k2，所以h為偶數(shù)，

-----------7分設(shè)h=2t，t為整數(shù)，則k2=2t2，所以k也為偶數(shù)，則h、k有公約數(shù)2，與h、k互質(zhì)相矛盾，----9分所以假設(shè)不成立，所以是有理數(shù)．

-----------------10分（3）證明：假設(shè)1，，4是同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且分別為第n、m、p項(xiàng)且n、m、p互不相等，

-------------11分設(shè)公差為d，顯然d≠0，則，消去d得，，

--------13分由n、m、p都為整數(shù)，所以為有理數(shù)，由（2）得是無(wú)理數(shù)，所以等式不可能成立，

----------------------15分所以假設(shè)不成立，即1，，4不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

-----------16分19.（本小題滿分12分）給定兩個(gè)命題,：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立；：.如果∨為真命題，∧為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：命題：恒成立當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，滿足題意

-------------------------2分當(dāng)時(shí)，，解得

-------------------------4分∴

-------------------------6分命題：解得

-------------------------8分∵∨為真命題，∧為假命題∴，有且只有一個(gè)為真，

-------------------------10分

如圖可得或

-------------------------12分20.已知函數(shù)（其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）若函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．參考答案：解：（Ⅰ）函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，在上恒成立，即在時(shí)恒成立，令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即.欲證，只需證即可.構(gòu)造函數(shù)=（），則恒成立，故在單調(diào)遞增，從而.即，亦即.得證.……12分21.如圖所示，在四棱錐中，四邊形為菱形，△為等邊三角形，平面平面，且∠=60°,，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使∥平面？并說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）證明：連結(jié)EB，在△AEB中，AE=1，AB=2，∠=60°，＝1+4－2＝3.∵，∴AD⊥EB．

∵△為等邊三角形，為的中點(diǎn)，AD⊥PE．又EB∩PE=E，∴平面PEB，∴．………4分（Ⅱ）平面平面，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EB．以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．則A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)，D(-1,0,0)，．設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則，即，∴令z＝－1，則x＝，y＝1，故．平面PAD的一個(gè)法向量為，∴．又二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．

（Ⅲ）假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使∥平面，設(shè)F(0,m,n)，，則：=，∴，∴．∵∥平面，∴，即．∴，．故當(dāng)點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)時(shí)，∥平面．

略22.已知雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為x﹣y=0，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．參考答案：【考點(diǎn)】雙