上海市南中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

上海市南中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是實(shí)數(shù)集上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．參考答案：B2.已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．

B．

C．

D．參考答案：C由題意，根據(jù)給定的三視圖可知，可得該幾何體表示一個(gè)底面為腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，高為1的三棱錐，如圖所示，所以該三棱錐的體積為，故選C.

3.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(－∞，0)

B.

C．(0，1)

D．(0，＋∞)參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型．B11

【答案解析】B

解析：函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時(shí)，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．故選B．【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象．由圖可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．4.函數(shù)y=x3－3x的極大值為m,極小值為n,則m+n為A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：A5.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，則A∩B=(

)A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查列舉法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的運(yùn)算．6.設(shè)且則的最小值為（）A.

B.+1

C.+2

D.+3參考答案：D試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為考點(diǎn)：不等式性質(zhì)7.沒(méi)函數(shù)在(0，+)內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)，取函數(shù)，恒有，則

A．K的最大值為

B．K的最小值為

C．K的最大值為2

D．K的最小值為2參考答案：B8.與向量=（，1），=（1，）的夾角相等且模為的向量為

（

）A．

B。C．

D。參考答案：C略9.若函數(shù)的圖象如圖所示，則等于（

）A．B.C．D．

參考答案：B略10.某興趣小組有男生20人，女生10人，從中抽取一個(gè)容量為5的樣本，恰好抽到2名男生和3名女生，則①該抽樣可能是系統(tǒng)抽樣；②該抽樣可能是隨機(jī)抽樣：③該抽樣一定不是分層抽樣；④本次抽樣中每個(gè)人被抽到的概率都是．其中說(shuō)法正確的為（）A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④參考答案：A【考點(diǎn)】收集數(shù)據(jù)的方法．【分析】①該抽樣可以是系統(tǒng)抽樣；②因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)不多，容易對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，因此該抽樣可能是簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣；③若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，且分層抽樣的比例相同，該抽樣不可能是分層抽樣；④分別求出男生和女生的概率，故可判斷出真假【解答】解：①總體容量為30，樣本容量為5，第一步對(duì)30個(gè)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，如男生1～20，女生21～30；第二步確定分段間隔k==6；第三步在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l（l≤10）；第四步將編號(hào)為l+6k（0≤k≤4）依次抽取，即可獲得整個(gè)樣本．故該抽樣可以是系統(tǒng)抽樣．因此①正確．②因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)不多，可以對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，因此該抽樣可能是簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣，故②正確；③若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，且分層抽樣的比例相同，但興趣小組有男生20人，女生10人，抽取2男三女，抽的比例不同，故③正確；④該抽樣男生被抽到的概率=；女生被抽到的概率=，故前者小于后者．因此④不正確．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若不等式組表示的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)銳角三角形及其內(nèi)部，則實(shí)數(shù)k的范圍是

．參考答案：（0，1）考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專(zhuān)題：計(jì)算題；作圖題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題意作出其平面區(qū)域，求出k的臨界值，從而結(jié)合圖象寫(xiě)出實(shí)數(shù)k的取值范圍．解答： 解：由題意作出其平面區(qū)域，當(dāng)直線y=kx+3與AB重合時(shí)，k=0，是直角三角形，當(dāng)直線y=kx+3與AD重合時(shí)，k=1，是直角三角形；故若區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)銳角三角形及其內(nèi)部，則0＜k＜1；故答案為：（0，1）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，利用臨界值求取值范圍，屬于中檔題．12.根據(jù)如圖所示的偽代碼,當(dāng)輸入的值為3時(shí),最后輸出的S的值為_(kāi)__________.參考答案：21略13.已知函數(shù)則的值是

參考答案：

14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)榧系姆强照孀蛹O(shè)點(diǎn)，，，的外接圓圓心為M，且，則滿足條件的函數(shù)有＿＿個(gè)．參考答案：1215.函數(shù)f（x）=ln的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：（﹣∞，1）【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式，解出即可．【解答】解：由題意得：＞0，解得：x＜1，故函數(shù)的定義域是：（﹣∞，1）．16.在中，，與交于點(diǎn)，設(shè)=，=，則

(用,表示)參考答案：17.已知△ABC中，，P為平面上任意一點(diǎn)，M、N分別使，，給出下列相關(guān)命題：①；②直線MN的方程為；③直線MN必過(guò)△ABC的外心；④向量所在射線必過(guò)N點(diǎn)，上述四個(gè)命題中正確的是

_________.（將正確的選項(xiàng)全填上）．參考答案：②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù).(Ⅰ)求的最小值,并求使取得最小值的的集合;(Ⅱ)不畫(huà)圖,說(shuō)明函數(shù)的圖像可由的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到。參考答案：略19.如圖，多面體中，四邊形是正方形，四邊形是直角梯形，且．、都是等腰直角三角形，、分別為直角頂點(diǎn)，是上的點(diǎn)，．（1）證明平面；（2）求二面角的余弦值；（3）當(dāng)時(shí)，求多面體的體積．參考答案：（2）如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，而，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由（1），平面，而，可取為平面的一個(gè)法向量，．

………………8分（3）多面體體積為．

………………12分

略20.已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．參考答案：（1）依題意，解得（負(fù)根舍去）拋物線的方程為；（2）設(shè)點(diǎn),，，由,即得.

ks5u∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.∵，∴.∵點(diǎn)在切線上,

∴.

①同理，.

②綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.∵經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線是唯一的，∴直線的方程為，即；（3）由拋物線的定義可知，所以聯(lián)立，消去得，當(dāng)時(shí)，取得最小值為

2013廣州模直接命中了這一題，廣一模20題解法2正是本科第（2）問(wèn)的解法，并且廣一模大題結(jié)構(gòu)和高考完全一致.紫霞仙子：我的意中人是個(gè)蓋世英雄，有一天他會(huì)踩著七色云彩來(lái)娶我，我只猜中了前頭，可是我卻猜不中這結(jié)局……形容這次高考，妙極！

21.已知函數(shù)f（x）=．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最大值，并求此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先求2x﹣的范圍，可得sin（2x﹣）的取值范圍，即可求f（x）的最大值，并求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．【解答】解：（1）f（x）=﹣=sin2x+sinxcosx﹣=+sin2x﹣=sin（2x﹣）…3分周期T=π，因?yàn)閏osx≠0，所以{x|x≠+kπ，k∈Z}…5分當(dāng)2x﹣∈，即+kπ≤x≤+kπ，x≠+kπ，k∈Z時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，，k∈Z…7分（2）當(dāng)，2x﹣∈，…9分sin（2x﹣）∈（﹣，1），當(dāng)x=時(shí)取最大值，故當(dāng)x=時(shí)函數(shù)f（x）取最大值為1…12分【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)最值的解法，屬于基礎(chǔ)題．22.一只藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲(chóng)的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表：溫度x/?C212324272932產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)61120275777經(jīng)計(jì)算得：，，，，，線性回歸模型的殘差平方和，e8.0605≈3167，其中xi,yi分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，i=1,2,3,4,5,6.(Ⅰ)若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程=x+（精確到0.1）；(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為=0.06e0.2303x，且相關(guān)指數(shù)R2=0.9522.(i)試與(Ⅰ)中的回歸模型相比，用R2說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好.(ii)用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35?C時(shí)該種藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.附：一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn),其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為=?；相關(guān)指數(shù)R2=．參考答案：(Ⅰ)依題意，n=6，

....……….……2分≈33?6.6?26=?138.6，

....…...................…………3分∴y關(guān)于x的線性回歸方程為=6.6x?138.6．

....……………4分(Ⅱ)(i)利用所給數(shù)據(jù),,得,線性回歸方程=6.6x?138.6的相關(guān)指數(shù)R2=

.................….......6分∵0.9398＜0.9522，

.............................................….......…………7分因此，回歸方程=0.06e0.2303x比線性回歸方程=6.6x?138.6擬合效果更好.....……..……8分(ii)由(i)得溫度x=35?C時(shí)，=0.06e0.2303?35=0.06?e8.0605.

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