2023年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題-6

2004年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題:1、實(shí)數(shù)a≠b，且滿足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2。那么b+a的值為〔〕A、23;B、-23;C-2;D-132、假設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a、b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，那么有〔〕A、ab=h;B、+=;C、+=;D、a2+b2=2h23、一條拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為〔4，-11〕，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，那么a、b、c中為正數(shù)的〔〕A、只有a;B、只有b;C、只有c;D、只有a和b4、如下圖，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距離之比為1：2。假設(shè)△ABC的面積為32，△CDE的面積為2，那么△CFG的面積S=〔〕A、6;B、8;C、10;D、125、如果x和y是非零實(shí)數(shù)，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x3=0，那么x+y等于〔〕A、3;B、;C、;D、4-二、填空題:6、如下圖，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=600，那么∠EDC=_____________〔度〕。7、據(jù)有關(guān)資料統(tǒng)計(jì)，兩個(gè)城市之間每天的通話次數(shù)T與這兩個(gè)城市的人口數(shù)m、n〔單位：萬人〕以及兩個(gè)城市間的距離d〔單位：km〕有T=的關(guān)系〔k為常數(shù)〕?，F(xiàn)測得A、B、C三個(gè)城市的人口及它們之間的距離如下圖，且A、B兩個(gè)城市間每天的通話次數(shù)為t，那么B、C兩個(gè)城市間每天的次數(shù)為次〔用t表示〕。8、實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足a+b=x+y=2，ax+by=5，那么(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=。9、如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC〔BC＞AD〕，∠D=900，BC=CD=12，∠ABE=45，假設(shè)AE=10，那么CE的長度為。10、實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，那么z的最大值是.三、解答題:11、通過實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)，初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時(shí)間的變化而變化的，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一端時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開始分散，學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x〔分鐘〕變化的函數(shù)圖象如下圖〔y越大表示學(xué)生注意力越集中〕。當(dāng)0≤x≤10時(shí)，圖象是拋物線的一局部，當(dāng)10≤x≤20和20≤x≤40時(shí)，圖象是線段?！?〕當(dāng)0≤x≤10時(shí)，求注意力指標(biāo)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕一道數(shù)學(xué)競賽題，需講解24分鐘，問老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36。12、a、b是實(shí)數(shù)，關(guān)于x、y的方程組有整數(shù)解，求a、b滿足的關(guān)系式。13、D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，使得AB=3AD，P是△ABC外接圓上一點(diǎn)，使得∠ADP=∠ACB，求的值。14、a＜0,b≤0,c＞0,且=b-2ac,求b2-4ac的最小值。數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題：例1.平面上有n條直線，它們中任意兩條都不平行，且任意三條都不交于一點(diǎn)。這n條直線可以把平面分割成多少個(gè)局部？

此問題的變例〔即特殊情況〕：

變例1：十刀最多可以把一張餅分成多少塊？

變例2：一個(gè)圓形紙片，切100刀，最多可以將它分割為多少塊？

對變例2，我們首先猜想其結(jié)論：

令S1，S2，……，Sn分別表示將圓形紙片切一刀，二刀，……，n刀所得塊數(shù)，那么有

S1=2=1+1

S2=4=1+1+2

S3=7=1+1+2+3

S4=11=1+1+2+3+4

……Sn=1+1+2+3+4+……+n=1+(n+1)·n

∴當(dāng)n=100時(shí)，有S100=1+〔100+1〕·100=5051〔塊〕

解：設(shè)bn表示一條直線被n個(gè)不同的點(diǎn)分割后所得的分段數(shù)，那么有bn=n+1.

設(shè)an-1為平面被符合條件的n-1條直線分割成的局部數(shù)，那么當(dāng)平面上插入符合條件的第n條直線時(shí)，前n-1條直線與第n條直線相交于n-1個(gè)不同的點(diǎn)，這n-1個(gè)點(diǎn)分第n條直線為bn-1段，而每一分段恰分平面上一個(gè)已存在的局部為兩個(gè)局部，于是，有：

an=an-1+bn-1〔n＞1，n∈N〕

又：bn-1=n

∴an=an-1+n=an-2+(n-1)+n=……=n+(n-1)+(n-2)+……+2+a1又：a1=2=1+1

∴an=n+(n-1)+(n-2)+……+2+1+1例2.有10級臺階，小王從下向上走，假設(shè)每次只能跨一級或兩級，他走上去共有多少種不同的走法？解：考慮更一般的情況：在同樣條件下走n級臺階，情況如何？

設(shè)an為上n級臺階的所有不同的走法數(shù)目。假設(shè)第一次走一級，那么余下的n-1級有an-1種走法；假設(shè)第一次走兩級，那么余下的n-2級有an-2種走法。

∴an=an-1+an-2(n＞2，n∈N)

顯然a1=1，a2=2

∴a3=a1+a2=3

a4=a3+a2=5

a5=a4+a3=8

a6=a5+a4=13

a7=a6+a5=21

a8=a7+a6=34

a9=a8+a7=55

a10=a9+a8=89思考題：用8張1×2的方格紙覆蓋2×8的方格紙，共有多少種不同的覆蓋方式？解題新思路：

探究數(shù)學(xué)問題解決的新思路，對于學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)是十分有利的。下面一道例題，是從多維度角度出發(fā)來探究解題新思路的：例：如圖〔1〕在梯形ABCD中，AB∥CD，四邊形ACED是平行四邊形，延長DC交BE于F.

求證：EF=FB分析：這個(gè)題目本身不難，求證也容易，但通過對題設(shè)和結(jié)論的深入挖掘與探索，我們可以得出許多好的證法，總結(jié)如下：證明一：如下圖，作BQ∥AD,交DF延長線于Q點(diǎn)，那么四邊形ABQD是平行四邊形，從而BQ=AD，再由題設(shè)可證△CEF≌△QBF,得證EF=FB.證明二：如左圖所示：作FM∥DA交AB于M，那么四邊形ADFM是平行四邊形，從而FM=DA.再證△CEF≌△MFB，從而結(jié)論可得證.證明三：作CN∥EB交AB于N，那么四邊形CNBF是□，從而CN=FB.

再證：△ANC≌△DFE，可得CN=EF，即EF=FB.證明四：作DP∥FB交AB于P，證明△ADP≌△CEF，從而得出結(jié)論.證明五：延長EC交AB于G，那么四邊形ADCG是□，∴CE=AD=GC，即C是EG中點(diǎn).又CF∥GB，∴F是EB中點(diǎn)，結(jié)論得證.證明六：連結(jié)AE交CD于O點(diǎn)，那么O是AE中點(diǎn)，又OF∥AB，∴F是AB中點(diǎn)，得證.證明七：延長ED交BA延長線于H點(diǎn)，那么HACD是□,∴CA=DH=ED

∴D是EH中點(diǎn).又DF∥HB∴F是EB中點(diǎn)，得證.證明八：作ES∥CD交AD延長線于S，那么CDSE是□∴DS=CE=AD∴D是AS中點(diǎn).又SE∥CD∥AB∴F是EB中點(diǎn)，得證.證明九：在證明一作的輔助線根底