2023年全國初中數(shù)學競賽試題及答案2

中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會2023年全國初中數(shù)學競賽試題題號一二三總分1～56～1011121314得分評卷人復查人答題時注意：1．用圓珠筆或鋼筆作答；2．解答書寫時不要超過裝訂線；3．草稿紙不上交.一、選擇題〔共5小題，每題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分〕1〔甲〕．如果實數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如下圖，那么代數(shù)式可以化簡為〔〕．A．B．C．D．1〔乙〕．如果，那么的值為〔〕．A．B．C．2D．2〔甲〕．如果正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標為，那么另一個交點的坐標為〔〕．A．B．C．D．2〔乙〕．在平面直角坐標系中，滿足不等式的整數(shù)點坐標的個數(shù)為〔〕．A．10B．9C．7D．53〔甲〕．如果為給定的實數(shù)，且，那么這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是〔〕．A．1B．C．D．3〔乙〕．如圖，四邊形中，、是對角線，是等邊三角形．，，，那么的長為〔〕．A．B．4C．D．4.54〔甲〕．小倩和小玲每人都有假設干面值為整數(shù)元的人民幣．小倩對小玲說：“你假設給我2元，我的錢數(shù)將是你的倍〞；小玲對小倩說：“你假設給我元，我的錢數(shù)將是你的2倍〞，其中為正整數(shù)，那么的可能值的個數(shù)是〔〕．A．1B．2C．3D．44〔乙〕．如果關于的方程是正整數(shù)〕的正根小于3，那么這樣的方程的個數(shù)是〔〕．A．5B．6C．7D．85〔甲〕．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6．擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，那么中最大的是〔〕．A．B．C．D．5〔乙〕．黑板上寫有共100個數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，那么經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是〔〕．A．2023B．101C．100D．99二、填空題〔共5小題，每題7分，共35分〕6〔甲〕．按如圖的程序進行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個值x〞到“結果是否〞為一次操作.如果操作進行四次才停止，那么的取值范圍是.6〔乙〕.如果，，是正數(shù)，且滿足，，那么的值為．7〔甲〕．如圖，正方形的邊長為2，、分別是、的中點，與、分別交于點、，那么的面積是.7〔乙〕．如圖，的半徑為20，是上一點。以為對角線作矩形，且.延長，與分別交于兩點，那么的值等于．8〔甲〕．如果關于的方程的兩個實數(shù)根分別為，，那么的值為．8〔乙〕．設為整數(shù)，且.假設能被5整除，那么所有的個數(shù)為.9〔甲〕．2位八年級同學和位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規(guī)那么是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分.比賽結束后，所有同學的得分總和為130分，而且平局數(shù)不超過比賽局數(shù)的一半，那么的值為.9〔乙〕．如果正數(shù)，，可以是一個三角形的三邊長，那么稱是三角形數(shù)．假設和均為三角形數(shù)，且，那么的取值范圍是.10〔甲〕．如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，.分別延長，，交點為.作，并與的延長線交于點.假設，，那么的長為.10〔乙〕．是偶數(shù)，且．假設有唯一的正整數(shù)對使得成立，那么這樣的的個數(shù)為．三、解答題〔共4題，每題20分，共80分〕11〔甲〕．二次函數(shù)，當時，恒有；關于的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于．求的取值范圍．11〔乙〕．如圖，在平面直角坐標系中，，，．與軸交于點，且.經(jīng)過，，三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應的二次函數(shù)的解析式.12〔甲〕．如圖，的直徑為，過點，且與內(nèi)切于點．為上的點，與交于點，且．點在上，且，BE的延長線與交于點，求證：．12〔乙〕．如圖，的內(nèi)接四邊形中，，是它的對角線，的中點是的內(nèi)心.求證：〔1〕是的外接圓的切線；〔2〕.13〔甲〕．整數(shù)，滿足：是素數(shù)，且是完全平方數(shù).當時，求的最小值.13〔乙〕．凸邊形中最多有多少個內(nèi)角等于？并說明理由．14〔甲〕．求所有正整數(shù)，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14〔乙〕．將任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)〔可以相同〕使得，求的最小值．中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會2023年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題1〔甲〕．C解：由實數(shù)，，在數(shù)軸上的位置可知，且，所以．1〔乙〕．B解：．2〔甲〕．D解：由題設知，，，所以.解方程組得所以另一個交點的坐標為.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關于原點對稱，因此另一個交點的坐標為.2〔乙〕．B解：由題設，得.因為均為整數(shù)，所以有解得以上共計9對.3〔甲〕．D解：由題設知，，所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，于是.3〔乙〕．B解：如圖，以為邊作等邊，連接.由于，，，所以，.又因為，所以.在中，于是，所以.4〔甲〕．D解：設小倩所有的錢數(shù)為元、小玲所有的錢數(shù)為元，均為非負整數(shù).由題設可得消去得，.因為為正整數(shù)，所以的值分別為1，3，5，15，所以的值只能為4，5，6，11．從而的值分別為8，3，2，1；的值分別為14，7，6，7．4〔乙〕．C解：由一元二次方程根與系數(shù)關系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負．由二次函數(shù)的圖象知，當時，，所以，即.由于都是正整數(shù)，所以，；或，，此時都有.于是共有7組符合題意．5〔甲〕．D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構成的有序數(shù)對共有36個，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對有9個，8個，9個，10個，所以，因此最大．5〔乙〕．C解：因為，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加1后的乘積不變．設經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，那么，解得，．二、填空題6〔甲〕．解：前四次操作的結果分別為，，，由得解得.容易驗證，當時，，故的取值范圍是．6〔乙〕．7解：由可得．7〔甲〕．8解：連接，記正方形的邊長為2.由題設易知，所以，由此得，所以.在中，因為，所以，于是.由題設可知，所以，.于是，，.又，所以.因為，所以.7〔乙〕．解：如圖，設的中點為，連接，那么．因為，所以，．所以.8〔甲〕．解：根據(jù)題意，關于的方程有，由此得．又，所以，從而.此時方程為，解得.故．8〔乙〕．1610解：因為==.當被5除余數(shù)是1或4時，或能被5整除，那么能被5整除；當被5除余數(shù)是2或3時，能被5整除，那么能被5整除；當被5除余數(shù)是0時，不能被5整除.所以符合題設要求的所有的個數(shù)為．9〔甲〕．8解：設平局數(shù)為，勝〔負〕局數(shù)為，由題設知，由此得.又，所以.于是，，由此得，或.當時，；當時，，，不合題設.故．9〔乙〕．解：由題設得所以，即.整理得，由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，得.又因為，所以.10〔甲〕．解：如圖，連接，，.由是的直徑知.依題設，四邊形是的內(nèi)接四邊形，所以，所以，因此.因為是的半徑，，所以垂直平分，，于是.因此.由，知．因為，所以，，故.10〔乙〕.12解：由有，且為偶數(shù)，所以同為偶數(shù)，于是是4的倍數(shù)．設，那么．〔Ⅰ〕假設，可得，與是正整數(shù)矛盾．〔Ⅱ〕假設至少有兩個不同的素因數(shù)，那么至少有兩個正整數(shù)對滿足；假設恰是一個素數(shù)的冪，且這個冪指數(shù)不小于3，那么至少有兩個正整數(shù)對滿足．〔Ⅲ〕假設是素數(shù)，或恰是一個素數(shù)的冪，且這個冪指數(shù)為2，那么有唯一的正整數(shù)對滿足．因為有唯一正整數(shù)對，所以m的可能值為2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12個．三、解答題11〔甲〕．解：因為當時，恒有，所以，即，所以．…………〔5分〕當時，；當時，，即，且，解得．…………〔10分〕設方程的兩個實數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得．因為，所以，解得，或．因此．…………〔20分〕11〔乙〕．解：因為，，所以由勾股定理，得.易知，因此.于是，，.設點的坐標為，由，得.所以，，解得.因此為的中點，點的坐標為.…………〔10分〕因此，分別為，的兩條中線，點為的重心，所以點的坐標為.設經(jīng)過，，三點的拋物線對應的二次函數(shù)的解析式為.將點的坐標代入，解得.故經(jīng)過，，三點的拋物線對應的二次函數(shù)的解析式為.…………〔20分〕12〔甲〕．證明：連接，因為為的直徑，所以．又因為，所以是等腰三角形．…………〔5分〕設與交于點，連接，那么．又因為，所以．…………〔15分〕又因為分別是等腰△，等腰△的頂角，所以．…………〔20分〕12〔乙〕．證明：〔1〕如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知所以．同理，.故點是的外心.連接，，因為是的中點，且，所以，即.故是外接圓的切線.…………〔10分〕〔2〕如圖，過點作于點，設與交于點.由，知.因為，，所以，所以.又因為是的內(nèi)心，所以.故．…………〔20分〕13〔甲〕．解：設〔是素數(shù)〕，〔是正整數(shù)〕.因為，所以，…………〔5分〕因為與都是正整數(shù)，且(為素數(shù))，所以，.解得，.于是.…………〔10分〕又，即.又因為是素數(shù)，解得.此時，.當時，，，.因此，的最小值為2025.…………〔20分〕13〔乙〕．解：假設凸邊形中有個內(nèi)角等于，那么不等于的內(nèi)角有個．〔1〕假設，由，得，正十二邊形的12個內(nèi)角都等于；…………〔5分〕〔2〕假設，且，由，可得，即．當時，存在凸邊形，其中的11個內(nèi)角等于，其余個內(nèi)角都等于，．…………〔10分〕〔3〕假設，且．當時，設另一個角等于．存在凸邊形，其中的個內(nèi)角等于，另一個內(nèi)角．由可得；由可得，且．…………〔15分〕〔4〕假設，且，由〔3〕可知．當時，存在凸邊形，其中個內(nèi)角等于，另兩個內(nèi)角都等于．綜上，當時，的最大值為12；當時，的最大值為11；當時，的最大值為；當時，的最大值為．…………〔20分〕14〔甲〕．解：由于都是正整數(shù)，且，所以，，…，．于是．…………〔10分〕當時，令，那么.…………〔15分〕當時，其中，令，那么．綜上，滿足條