2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題第一試一、選擇題：〔此題總分值42分，每題7分〕1．設(shè)，，且，那么代數(shù)式的值為〔〕A.5.B.7.C.9.D.11.2．如圖，設(shè)，，為三角形的三條高，假設(shè)，，，那么線段的長(zhǎng)為〔〕A..B.4.C..D..3．從分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，那么所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是〔〕A..B..C..D..4．在△中，，，和分別是這兩個(gè)角的外角平分線，且點(diǎn)分別在直線和直線上，那么〔〕A..B..C..D.和的大小關(guān)系不確定.5．現(xiàn)有價(jià)格相同的5種不同商品，從今天開(kāi)始每天分別降價(jià)10％或20％，假設(shè)干天后，這5種商品的價(jià)格互不相同，設(shè)最高價(jià)格和最低價(jià)格的比值為，那么的最小值為〔〕A..B..C..D..6．實(shí)數(shù)滿足，那么的值為〔〕A..B.2023.C..D.1.二、填空題：〔此題總分值28分，每題7分〕1．設(shè)，那么.2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，為所在直線上的兩點(diǎn)，且，，那么四邊形的面積為3．二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且.設(shè)滿足上述要求的的最大值和最小值分別為，，那么4．依次將正整數(shù)1，2，3，……，排在第1個(gè)位置的數(shù)字是1，排在第5個(gè)位置的數(shù)字是6，排在第10個(gè)位置的數(shù)字是4，排在第2023個(gè)位置的數(shù)字是.第二試〔A〕一、〔此題總分值20分〕，對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立.當(dāng)乘積取最小值時(shí)，求的值.二、〔此題總分值25分〕如圖，圓與圓相交于兩點(diǎn)，為圓的切線，點(diǎn)在圓上，且.〔1〕證明：點(diǎn)在圓的圓周上.〔2〕設(shè)△的面積為，求圓的的半徑的最小值.三、〔此題總分值25分〕設(shè)為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且，求，的值.第二試〔B〕一、〔此題總分值20分〕，對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)對(duì)，不等式恒成立.當(dāng)乘積取最小值時(shí)，求的值.二、〔此題總分值25分〕題目與〔A〕卷第二題相同.三、〔此題總分值25分〕題目與〔A〕卷第三題相同.第二試〔C〕一、〔此題總分值20分〕題目與〔B〕卷第一題相同.二、〔此題總分值25分〕題目與〔A〕卷第二題相同.三、〔此題總分值25分〕設(shè)為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且滿足,求的值.2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題答案第一試一、選擇題:〔此題總分值42分，每題7分〕1．B2.D3.C4.B5.B6.D〔解析：1.由題設(shè)條件可知，，且，所以是一元二次方程的兩根，故，，因此.應(yīng)選.2．因?yàn)椋?，為三角形的三條高，易知四點(diǎn)共圓，于是△∽△，故，即，所以.在Rt△中，.應(yīng)選.3．能夠組成的兩位數(shù)有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20個(gè)，其中是3的倍數(shù)的數(shù)為12，15，21，24，42，45，51，54，共8個(gè).所以所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是.應(yīng)選.4．∵，為的外角平分線，∴.又，∴，∴.又，∴，∴.因此，.應(yīng)選.5．容易知道，4天之后就可以出現(xiàn)5種商品的價(jià)格互不相同的情況.設(shè)5種商品降價(jià)前的價(jià)格為，過(guò)了天.天后每種商品的價(jià)格一定可以表示為，其中為自然數(shù)，且.要使的值最小，五種商品的價(jià)格應(yīng)該分別為：，，，，，其中為不超過(guò)的自然數(shù).所以的最小值為.應(yīng)選.6．∵，∴，，由以上兩式可得.所以，解得，所以.應(yīng)選.〕二、填空題：〔此題總分值28分，每題7分〕1．2．3．4．1〔解析：1.∵，∴，∴.2．設(shè)正方形的中心為，連，那么，,,∴.又，，所以△∽△，故，從而.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形的面積.3．根據(jù)題意，是一元二次方程的兩根，所以，.∵，∴，.∵方程的判別式，∴.，故，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得；，故，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.所以，，于是.4．到，結(jié)果都只各占1個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占2個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占3個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占4個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占5個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；此時(shí)還差個(gè)數(shù)位.到，結(jié)果都只各占6個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位.所以，排在第2023個(gè)位置的數(shù)字恰好應(yīng)該是的個(gè)位數(shù)字，即為1.〕第二試〔A〕一、〔此題總分值20分〕解：整理不等式〔1〕并將代入，得〔2〕在不等式〔2〕中，令，得；令，得.易知，，故二次函數(shù)的圖象〔拋物線〕的開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間.由題設(shè)知，不等式〔2〕對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)恒成立，所以它的判別式，即.由方程組〔3〕消去，得，所以或.又因?yàn)?，所以或，于是方程組〔3〕的解為或所以的最小值為，此時(shí)的值有兩組，分別為和.二、〔此題總分值25分〕解：〔1〕連，因?yàn)闉閳A心，，所以△∽△，從而.因?yàn)?，所以，所以，因此點(diǎn)在圓的圓周上.〔2〕設(shè)圓的半徑為，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，易知.設(shè)，，，那么，，.因?yàn)?,，所以△∽△，所以，即，故.所以，即，其中等號(hào)當(dāng)時(shí)成立，這時(shí)是圓的直徑.所以圓的的半徑的最小值為.三、〔此題總分值25分〕解：〔1〕〔1〕式即，設(shè)，那么〔2〕故，又，所以〔3〕由〔1〕式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關(guān)于的一元二次方程〔3〕有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù).不妨設(shè)〔為自然數(shù)〕，那么.由于和的奇偶性相同，且，所以只可能有以下幾種情況：①兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.②兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.③兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.④兩式相加，得，沒(méi)有整數(shù)解.⑤兩式相加，得，解得.⑥兩式相加，得，解得，而不是質(zhì)數(shù)，故舍去.綜合可知.此時(shí)方程〔3〕的解為或〔舍去〕.把，代入〔2〕式，得.第二試〔B〕一、〔此題總分值20分〕解：〔1〕由可知.在〔1〕式中，令，得；令，得.將代入〔1〕式，得，即〔2〕易知，，故二次函數(shù)的圖象〔拋物線〕的開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間.由題設(shè)知，不等式〔2〕對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)恒成立，所以它的判別式，即.由方程組〔3〕消去，得，所以或，又因?yàn)?，所以?于是方程組〔3〕的解為或所以滿足條件的的值有兩組，分別為和.二、〔此題總分值25分〕題目與〔A〕卷第二題相同.三、〔此題總分值25分〕題目與〔A〕卷第三題相同.第二試〔C〕一、〔此題總分值20分〕題目與〔B〕卷第一題相同.二、〔此題總分值25分〕題目與〔A〕卷第二題相同.三、〔此題總分值25分〕解：〔1〕式即，設(shè)，那么〔3〕故，又，所以〔4〕由〔1〕式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關(guān)于的一元二次方程〔4〕有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù).不妨設(shè)〔為自然數(shù)〕，那么由于和的奇