2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試卷及答案2

2002年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試卷一、選擇題〔此題總分值36分，每題6分〕此題共有6小題，每題均給出〔A〕、〔B〕、〔C〕、〔D〕四個結論，其中有且僅有一個是正確的．請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)．每題選對得6分；不選、選錯或選出的字母超過一個〔不管是否寫在括號內(nèi)〕，一律得0分．1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．假設實數(shù)滿足，那么的最小值為〔B〕〔A〕2〔B〕1〔C〕〔D〕3．函數(shù)〔A〕〔A〕是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)〔B〕是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)〔C〕既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)〔D〕既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)4．直線與橢圓相交于、兩點，該橢圓上點，使得△的面積等于3．這樣的點共有〔A〕1個〔B〕2個〔C〕3個〔D〕4個解：設〔〕，即點在第一象限的橢圓上，如圖，考慮四邊形面積∴〔此時〕∵∴的最大值為，∴點不可能在直線的上方，顯然在直線的下方有兩個點．5．兩個實數(shù)集合與，假設從到的映射使得中每個元素都有原象，且，那么這樣的映射共有〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解：不妨設，將中元素按順序分為非空的50組．定義映射，使第組的元素在之下的象都是〔〕．易知這樣的映射滿足題設要求，每個這樣的分組都一一對應滿足條件的映射，于是滿足題設要求的映射的個數(shù)與按足碼順序分為50組的分法數(shù)相等，而的分法數(shù)為，那么這樣的映射共有．6．由曲線，，，圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為；滿足，，的點組成的圖形軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解：如圖，兩圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間．用任意一個與軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設截面與原點距離為，那么所得截面面積，，∴，由祖暅原理知，兩幾何體體積相等，∴二、填空題〔此題總分值54分，每題9分，此題共有6個小題，要求直接將答案寫在橫線上．〕7．復數(shù)，滿足，．假設它們所對應的向量的夾角為，那么．8．將二項式的展開式按降冪排列，假設前三項系數(shù)成等差數(shù)列，那么該展開式中的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有3個．9．點分別是四面體的頂點或棱的中點，那么在同一平面上的四點組〔〕有33個．10．是定義在上的函數(shù)，且對任意都有假設，那么．解：由，得，所以即，∴∴即是周期為1的周期函數(shù)，又，故11．假設，那么的最小值是．解：由對稱性只考慮，因為，所以只須求的最小值．令公代入，有．這是一個關于的二次方程顯然有實根，故，∴當，時，．故的最小值為12．使不等式對一切恒成立的負數(shù)的取值范圍是．解：原不等式可化為∵，，∴當時，函數(shù)有最大值，從而有，整理得∴或，又，∴三、解答題〔此題總分值60分，每題20分〕13．點和拋物線上兩點使得，求點的縱坐標的取值范圍．解：設點坐標為，點坐標為．顯然，故由于，所以從而，消去，注意到得：由解得：或．當時，點的坐標為；當時，點的坐標為，均滿足是題意．故點的縱坐標的取值范圍是或．14．如圖，有一列曲線．所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，是對進行如下操作：將的每條邊三等分，以每邊中間局部的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間局部的線段去掉〔〕．記為曲線所圍成圖形的面積．〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕求．解：〔1〕對進行操作，容易看出的每條邊變成的4條邊，故的邊數(shù)為；同樣，對進行操作，的每條邊變成的4條邊，故的邊數(shù)為，從而不難得到的邊數(shù)為．的面積為，比擬與．容易看出在的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為，而有3條邊，故再比擬與，可知在的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為，而有條邊，故類似地有：于是有以下用數(shù)學歸納法證明成立．時，由上面等式成立假設時，有當時，易知第次操作后，比擬與，在的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為，而有條邊，故綜上，由數(shù)學歸納法知成立．〔2〕．15．設二次函數(shù)〔〕滿足條件：〔1〕當時，，且；〔2〕當時，；〔3〕在上的最小值為0．求最大的〔〕，使得存在，只要，就有．解：∵，∴函數(shù)的圖象關于對稱，∴，由〔3〕知，時，，即，由〔1〕得，由〔2〕得∴，即，又＝0∴，，，∴假設存在，只要，就有．取有．即，解得．對固定的，取，有，即，化簡有，，解得于是有當時，對任意的，恒有．所以的最大值為9．2002年全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試試卷一、〔此題總分值50分〕如圖，在△中，，，點是外心，兩條高、交于點．點、分別在線段、上，且滿足．求的值．解：在上取，邊接．由三角形外心的性質(zhì)知，由三角形垂心的性質(zhì)知∴∴四點共圓．，又，，∴△≌△∵，∴，觀察△，，那么；又∵，，∴∴，故．二、〔此題總分值50分〕實數(shù)和正數(shù)使得有三個實根，且滿足〔1〕；〔2〕．求的最大值．解：由于所以是方程的兩個根，由〔1〕可得，即再由〔2〕可得，且易知由可得由，得記，那么，且令，那么，且由于所以于是，由此得取，，，，那么有根，，0，顯然假設條件成立，且．綜上可知，的最大值為．三、〔此題總分值50分〕在世界杯足球賽前，國教練為了考察，這七名隊員，準備讓他們在三場訓練比賽〔每場90分鐘〕都上場．假設在比賽的任何時刻，這些隊員中有且僅有一人在場上，并且每人上場的總時間〔以分鐘為單位〕均被7整除，每人上場的總時間〔以分鐘為單位〕均被13整除．如果每場換人次數(shù)不限，那么按每名隊員上場的總時間計算，共有多少種不同的情況．解：設第名隊員上場的時間為分鐘〔〕，問題即求不定方程〔1〕在條件〔〕且〔〕下的正整數(shù)解的組數(shù)．假設是滿足條件〔1〕的一組正整數(shù)解，那么應有，，于是是不定方程〔2〕在條件且下的一組正整數(shù)解由于令，，有〔3〕所以，求〔2〕滿足條件，的正整數(shù)解等價于求〔3〕的非負整數(shù)解．易觀察到于是有即是〔3〕的整數(shù)特解，從而〔3〕的整數(shù)通解為令，解得．取，得到〔3〕滿足條件的三組非負整數(shù)解：從而得到〔2〕滿足條件的三組正整數(shù)解：①在，時，顯然僅有一種可能；又設〔〕，于是由不定方程有組正整數(shù)解．可