2023年全國(guó)考研數(shù)學(xué)三真題

2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試真題試卷?數(shù)學(xué)三?試題一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，那么()(A)k=1,c=4(B)k=1,c=4(C)k=3,c=4(D)k=3,c=4(2)函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，且=0，那么=()(A)2(B)(C)(D)0.(3)設(shè)是數(shù)列，那么以下命題正確的是()(A)假設(shè)收斂，那么收斂(B)假設(shè)收斂，那么收斂(C)假設(shè)收斂，那么收斂(D)假設(shè)收斂，那么收斂(4)設(shè)，，，那么的大小關(guān)系是()(A)(B)(C)(D)(5)設(shè)為3階矩陣，將的第二列加到第一列得矩陣，再交換的第二行與第三行得單位矩陣，記，，那么=()(A)(B)(C)(D)(6)設(shè)為矩陣，是非齊次線(xiàn)性方程組的個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，為任意常數(shù)，那么的通解為()(A)(B)(C)(D)(7)設(shè),為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度與是連續(xù)函數(shù)，那么必為概率密度的是()(A)(B)(C)(D)+(8)設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布，為來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，那么對(duì)于統(tǒng)計(jì)量和，有()(A)>,>(B)>,<(C)<,>(D)<,<二、填空題：9~14小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(9)設(shè)，那么.(10)設(shè)函數(shù)，那么.(11)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.x2y10(12)曲線(xiàn)，直線(xiàn)及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為.x2y10(13)設(shè)二次型的秩為1，中各行元素之和為3，那么在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為.(14)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，那么=.三、解答題：15~23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(此題總分值10分)求極限(16)(此題總分值10分)函數(shù)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，是的極值，.求(17)(此題總分值10分)求不定積分(18)(此題總分值10分)證明方程恰有兩個(gè)實(shí)根.(19)(此題總分值10分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，且滿(mǎn)足,，求的表達(dá)式.(20)(此題總分值11分)設(shè)向量組，，不能由向量組,,線(xiàn)性表出.(I)求的值；(II)將，，用，，線(xiàn)性表出.(21)(此題總分值11分)為3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，的秩為2，且(I)求的所有特征值與特征向量;(II)求矩陣.(22)(此題總分值11分)設(shè)隨機(jī)變量與的概率分布分別為XPY1P且.(I)求二維隨機(jī)變量的概率分布；(II)求的概率分布；(III)求與的相關(guān)系數(shù).(23)(此題總分值11分)設(shè)二維隨機(jī)變量服從區(qū)域上的均勻分布，其中是由與所圍成的三角形區(qū)域.(I)求的概率密度；(II)求條件概率密度.2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試真題試卷?數(shù)學(xué)三?試題一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)答案：(C)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，在此題中，，應(yīng)選擇(C).(2)答案：(B)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義在此題中，故應(yīng)選(B)(3)答案：(A)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)假設(shè)級(jí)數(shù)收斂，那么不改變其項(xiàng)的次序任意加括號(hào)，并把每個(gè)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的和數(shù)作為一項(xiàng)，這樣所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，而且其和不變.在此題中，由于級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)經(jīng)過(guò)加括號(hào)所構(gòu)成的，由收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)收斂時(shí)，也收斂，故〔A〕正確.(4)答案：(B)π/4解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：π/4如果在區(qū)間上，，那么在此題中，如下圖：因?yàn)?，所以又因在是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以即.選〔B〕.(5)答案：(D)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.在此題中，由于將的第2列加到第1列得矩陣，故即由于交換的第2行和第3行得單位矩陣，故即故因此，應(yīng)選(D)(6)答案：(C)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：〔1〕如果，是的兩個(gè)解，那么是的解；〔2〕如元線(xiàn)性方程組有解，設(shè)是相應(yīng)齊次方程組的根底解系，是的某個(gè)解，那么是的通解〔或全部解〕，其中為任意常數(shù).在此題中，因?yàn)槭堑?個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，那么，是的2個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解.從而，即顯然，因此由，知〔A〕〔B〕均不正確.又，故是方程組的解.所以應(yīng)選〔C〕.(7)答案：(D)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的性質(zhì)：在此題中，由于與均為連續(xù)函數(shù)，故它們的分布函數(shù)與也連續(xù).根據(jù)概率密度的性質(zhì)，應(yīng)有非負(fù)，且.在四個(gè)選項(xiàng)中，只有〔D〕選項(xiàng)滿(mǎn)足應(yīng)選〔D〕.(8)答案：(D)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：〔1〕泊松分布數(shù)學(xué)期望，方差〔2〕，，，〔與相互獨(dú)立〕在此題中，由于獨(dú)立同分布，且，，從而，故又，，應(yīng)選〔D〕.二、填空題：9~14小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(9)答案：解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：重要極限公式在此題中，所以有.(10)答案：解：用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.兩邊取對(duì)數(shù)得，故，令，，得，，從而(11)答案：解：方程變形為，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得，在點(diǎn)處，從而得到曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.x2y1x2y10解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：設(shè)有連續(xù)曲線(xiàn)，那么曲線(xiàn)與直線(xiàn)，及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積在此題中，(13)答案：解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：任給二次型，總有正交變換，使化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中是的矩陣的特征值.在此題中，的各行元素之和為3，即所以是的一個(gè)特征值.再由二次型的秩為1是的2重特征值.因此，正交變換下標(biāo)準(zhǔn)形為：.(14)答案：解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：〔1〕如果隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)，那么稱(chēng)與不相關(guān).〔2〕假設(shè)隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布，那么與獨(dú)立的充要條件是與不相關(guān).〔3〕如果隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，那么有在此題中，由于服從正態(tài)分布，說(shuō)明，獨(dú)立同分布，故與也獨(dú)立.由期望的性質(zhì)有，又，，所以三、解答題：15~23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(此題總分值10分)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，在此題中，(16)(此題總分值10分)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：極值存在的必要條件設(shè)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，那么必有，.在此題中，為的極值(17)(此題總分值10分)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：〔1〕，；〔2〕；〔3〕.在此題中，令,,，其中是任意常數(shù).(18)(此題總分值10分)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：〔1〕零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)〔即〕，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使〔2〕函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).①如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；②如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少.在此題中，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增..當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,,；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增,,是函數(shù)在上唯一的零點(diǎn).又因?yàn)榍矣闪泓c(diǎn)定理可知，，使,方程恰有兩個(gè)實(shí)根.(19)(此題總分值10分)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：一階線(xiàn)性微分方程的通解.在此題中，因?yàn)?，令，那?兩邊對(duì)求導(dǎo)，得,解齊次方程得由，得.所以函數(shù)表達(dá)式為.(20)(此題總分值11分)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：向量組能由向量組線(xiàn)性表示的充分必要條件是(I)因?yàn)?，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān).那么不能由線(xiàn)性表示線(xiàn)性相關(guān)，即，所以(II)如果方程組都有解，即可由線(xiàn)性表示.對(duì)作初等行變換，有=故，，(21)(此題總分值11分)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：〔1〕為矩陣A的特征值，為對(duì)應(yīng)的特征向量〔2〕對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，不同特征值的特征向量互相正交.〔I〕因知，所以是的特征值.又，，所以按定義是的特征值，是屬于的特征向量；是的特征值，是屬于的特征向量.設(shè)是屬于特征值的特征向量，作為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，因此解出故矩陣的特征值為；特征向量依次為，其中均是不為0的任意常數(shù).(II)由，有.(22)(此題總分值11分)解：此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：〔1〕協(xié)方差〔2〕相關(guān)系數(shù)(I)設(shè)的概率分布為YX-10101/312/31/31/31/3根據(jù)條件，即，可知，從而，，即的概率分布為XXY-10101/30101/301/3(II