高中數(shù)學(xué) 2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 北師大必修2

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.課標(biāo)新理念一、知識與技能1、理解掌握異面直線的概念，并了解空間兩直線的位置關(guān)系。2、理解異面直線所成角及掌握其求法。3、了解何為異面垂直。二、過程與方法

通過研究空間直線的位置關(guān)系，體驗異面垂直、異面直線所成角的探究過程。三、情感、態(tài)度與價值觀

通過實例，充分開拓自己的視野，發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)我們的空間想象力。重難點解讀【重點】空間中直線與直線間的三種關(guān)系及判斷?！倦y點】異面直線的垂直與所成角的判斷、求解。.ABCD復(fù)習(xí)與準(zhǔn)備：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相交直線平行直線相交直線（有一個公共點）平行直線（無公共點）兩路相交立交橋立交橋中,兩條路線AB,CDaboab既不平行，又不相交NEXTBACK..六角螺母abcdef.NEXTBACK.練習(xí)1：在教室里找出幾對異面直線的例子。.NEXTBACK

兩直線異面的判別二

:兩條直線不同在任何一個平面內(nèi).1.異面直線的定義:不同在任何

一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。兩直線異面的判別一:

兩條直線

既不相交、又不平行.注1.a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。

分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面？abab合作探究一NEXTBACK.2.異面直線的畫法說明:畫異面直線時,為了體現(xiàn)它們不共面的特點。常借助一個或兩個平面來襯托.如圖：aabaAbb(1)(3)(2)NEXTBACK.合作探究二如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,那么AB,CD,EF,GH這四條線段所在直線是異面直線的有

對?FHCBEDGA3NEXTBACK.3.異面直線所成的角在平面內(nèi),兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫一條直線相對另一條直線的傾斜程度,如圖.在空間,如圖所示,正方體ABCD－EFGH中,異面直線AB相對于HF的傾斜程度可以怎樣來刻畫呢?ABGFHEDCO(2)問題提出(1)復(fù)習(xí)回顧NEXTBACK.(3)解決問題異面直線所成角的定義:如圖,已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b則把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).abb′a′O思想方法:平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考:

這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?NEXTBACK異面直線所成的角的范圍(0,90]oo如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b注2a

″.(4)理論支持abced㈠：我們知道,在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢?觀察:將一張紙如圖進行折疊,則各折痕及邊a,b,c,d,e,…

之間有何關(guān)系？a∥b∥c∥d∥e∥…公理４：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行．———平行線的傳遞性NEXTBACK推廣：在空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行．.如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形？答案：菱形例1：如圖：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。證明：連接BD，因為EH是△ABD的中位線，因為EH∥FG，且EH=FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形。同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=BD。所以EH∥BD，且EH=BD。.定理（等角定理）：空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．觀察:如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC與∠A1D1C1,∠ADC與∠A1B1C1兩邊分別對應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?答:從圖中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABDNEXTBACK㈡：在平面內(nèi),我們可以證明“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”．空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢？.定理（等角定理）：空間中如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。123.例2.ABGFHEDC

如圖，正方體ABCD-EFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心，求

(1)BE與CG所成的角？

(2)FO與BD所成的角？

解:

(1)如圖:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，

又

BEF中∠EBF=45，所以BE與CG所成的角是45ooNEXTBACKO連接HA、AF，依題意知O為AH中點,∴∠HFO=30o(2)連接FH，所以FO與BD所成的夾角是30o∴四邊形BFHD為平行四邊形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=則AH=HF=FA∴△AFH為等邊△例3.NEXTBACK求異面直線所成的角的步驟是:

一作(找)：作（或找）平行線二證：證明所作的角為所求的異面直線所成的角。三求：在一恰當(dāng)?shù)娜切沃星蟪鼋亲?.（1）如上圖，觀察長方體ABCD-，有沒有兩條棱所在直線是互相垂直的異面直線？（2）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直？（3）垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？有垂直不一定思考:.3相等或互補課堂練習(xí).2、右下圖長方體ABCD-EFGH中平行相交異面②

BD和FH是

直線①

EC和BH是

直線③BH和DC是

直線BACDEFHG（2）與棱AB所在直線異面的棱共有

條?4分別是：CG、HD、GF、HE課后思考:

這個長方體的棱中共有多少對異面直線?（1）說出以下各對線段的位置關(guān)系?NEXTBACK.

如圖,已知長方體ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其補角）為所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其補角）為所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60oNEXTBACKABGFHEDC2.不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。異面直線的定義:相交直線

平行直線異面直線空間兩直線