D不定積分的換元積分法

會(huì)計(jì)學(xué)1D不定積分的換元積分法2023/1/18一、第一類(lèi)換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1頁(yè)/共42頁(yè)例1.

求解:

令則故原式

=注:

當(dāng)時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)/共42頁(yè)例2.

求解:令則想到公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共42頁(yè)例3.

求想到解:(直接配元)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共42頁(yè)例4.

求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類(lèi)似第5頁(yè)/共42頁(yè)例5.

求解:∴原式

=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)/共42頁(yè)常用的幾種配元形式:萬(wàn)能湊冪法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)/共42頁(yè)例6.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共42頁(yè)例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共42頁(yè)例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)/共42頁(yè)例10.

求解法1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共42頁(yè)解法2同樣可證或(P196例16)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)/共42頁(yè)例11.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共42頁(yè)例12.

求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共42頁(yè)例13.

求解:∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共42頁(yè)例14.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束分析:

第16頁(yè)/共42頁(yè)例15.

求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè)/共42頁(yè)小結(jié)常用簡(jiǎn)化技巧:(1)分項(xiàng)積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬(wàn)能湊冪法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用積化和差;分式分項(xiàng);利用倍角公式,如第18頁(yè)/共42頁(yè)思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)/共42頁(yè)2.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第20頁(yè)/共42頁(yè)二、第二類(lèi)換元法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則得第二類(lèi)換元積分法.難求，第21頁(yè)/共42頁(yè)定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則有換元公式第22頁(yè)/共42頁(yè)例16.

求解:

令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第23頁(yè)/共42頁(yè)例17.

求解:

令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè)/共42頁(yè)例18.

求解:令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第25頁(yè)/共42頁(yè)令于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第26頁(yè)/共42頁(yè)說(shuō)明:被積函數(shù)含有時(shí),除采用采用雙曲代換消去根式,所得結(jié)果一致.(參考書(shū)上P201-P202)或或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三角代換外,還可利用公式第27頁(yè)/共42頁(yè)原式例19.

求解:

令則原式當(dāng)

x<0時(shí),類(lèi)似可得同樣結(jié)果.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第28頁(yè)/共42頁(yè)小結(jié):1.第二類(lèi)換元法常見(jiàn)類(lèi)型:令令令或令或令或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四節(jié)講第29頁(yè)/共42頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.常用基本積分公式的補(bǔ)充(P203)(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令第30頁(yè)/共42頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第31頁(yè)/共42頁(yè)解:

原式(P203公式(20))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例20.

求例21.

求解:(P203公式(23))第32頁(yè)/共42頁(yè)例22.

求解:

原式=(P203公式(22))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例23.

求解:

原式(P203公式(22))第33頁(yè)/共42頁(yè)例24.

求解:

令得原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第34頁(yè)/共42頁(yè)例25.

求解:

原式令例16例16目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第35頁(yè)/共42頁(yè)思考與練習(xí)1.下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便?令令令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第36頁(yè)/共42頁(yè)2.已知求解:

兩邊求導(dǎo),得則(代回原變量)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第37頁(yè)/共42頁(yè)作業(yè)P2042(4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40)第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第38頁(yè)/共42頁(yè)備用題1.求下列積分:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)