D不定積分的換元積分法

會計學(xué)1D不定積分的換元積分法2023/1/18一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共42頁例1.

求解:

令則故原式

=注:

當(dāng)時機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共42頁例2.

求解:令則想到公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共42頁例3.

求想到解:(直接配元)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共42頁例4.

求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似第5頁/共42頁例5.

求解:∴原式

=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共42頁常用的幾種配元形式:萬能湊冪法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共42頁例6.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共42頁例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共42頁例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共42頁例10.

求解法1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共42頁解法2同樣可證或(P196例16)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共42頁例11.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共42頁例12.

求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共42頁例13.

求解:∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共42頁例14.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:

第16頁/共42頁例15.

求解:原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共42頁小結(jié)常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬能湊冪法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如第18頁/共42頁思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共42頁2.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共42頁二、第二類換元法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，第21頁/共42頁定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有換元公式第22頁/共42頁例16.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共42頁例17.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁/共42頁例18.

求解:令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁/共42頁令于是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁/共42頁說明:被積函數(shù)含有時,除采用采用雙曲代換消去根式,所得結(jié)果一致.(參考書上P201-P202)或或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三角代換外,還可利用公式第27頁/共42頁原式例19.

求解:

令則原式當(dāng)

x<0時,類似可得同樣結(jié)果.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第28頁/共42頁小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)講第29頁/共42頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.常用基本積分公式的補充(P203)(7)

分母中因子次數(shù)較高時,可試用倒代換

令第30頁/共42頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁/共42頁解:

原式(P203公式(20))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例20.

求例21.

求解:(P203公式(23))第32頁/共42頁例22.

求解:

原式=(P203公式(22))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例23.

求解:

原式(P203公式(22))第33頁/共42頁例24.

求解:

令得原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第34頁/共42頁例25.

求解:

原式令例16例16目錄上頁下頁返回結(jié)束第35頁/共42頁思考與練習(xí)1.下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便?令令令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁/共42頁2.已知求解:

兩邊求導(dǎo),得則(代回原變量)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第37頁/共42頁作業(yè)P2042(4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40)第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第38頁/共42頁備用題1.求下列積分:機動目錄上頁下頁