D單調(diào)性與極值最值

會(huì)計(jì)學(xué)1D單調(diào)性與極值最值反之,能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢?可見函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān).第1頁/共45頁一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),證畢第2頁/共45頁例如1、定理1的結(jié)論對(duì)無窮區(qū)間也成立.說明：第3頁/共45頁oxy2、如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅在個(gè)別點(diǎn)處（甚至無數(shù)個(gè)點(diǎn)，只要它們不構(gòu)成一個(gè)區(qū)間）為0,而在其余的點(diǎn)處均滿足定理1,則定理1仍成立。如：第4頁/共45頁3、有些函數(shù)在它的定義區(qū)間上不是單調(diào)的。如：但它在部分區(qū)間上單調(diào),那么怎么來求它的單調(diào)區(qū)間呢?oxy4、函數(shù)y=|x|,x=0為其連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)。但它在部分區(qū)間上單調(diào)。那么，又怎么來求它的單調(diào)區(qū)間呢?oxyy=|x|第5頁/共45頁的點(diǎn)(單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn))來劃分函數(shù)的定義區(qū)間,就能保證函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào),從而可得單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的單調(diào)性。結(jié)論:

如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（甚至無數(shù)個(gè)點(diǎn)，只要它們不構(gòu)成一個(gè)區(qū)間）外，導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù),那么只要用方程：第6頁/共45頁(1)確定函數(shù)定義域;(2)求出的點(diǎn),以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)劃分定義域?yàn)槎鄠€(gè)子區(qū)間;(3)確定

在各子區(qū)間內(nèi)的符號(hào),從而定出?(x)在各子區(qū)間的單調(diào)性。一般步驟第7頁/共45頁例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為第8頁/共45頁例2討論函數(shù)的單調(diào)性。解定義域?yàn)榱斜碛懻撊缦?的不可導(dǎo)點(diǎn)第9頁/共45頁例3證明不等式

下面利用函數(shù)的單調(diào)性,來證明不等式和判斷方程的根的存在性及其個(gè)數(shù)。1.證明不等式:關(guān)鍵是根據(jù)所證不等式及所給區(qū)間構(gòu)造輔助函數(shù),并討論它在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。證明：二、簡單應(yīng)用第10頁/共45頁（2）.

證明時(shí),成立不等式證:

令從而因此且證證明第11頁/共45頁例4證明方程有且僅有一個(gè)正根。證有且僅有一個(gè)正根。2.討論方程根的問題由零值定理得：第12頁/共45頁*證明令則從而即第13頁/共45頁二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第四節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值

第三章第14頁/共45頁定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.一、函數(shù)的極值及其求法第15頁/共45頁問題:請(qǐng)指出右圖中的極值及極值點(diǎn)。oxyy=?(x)Mmab

（1）由極值定義知:極值是函數(shù)的局部性態(tài)。即只是函數(shù)在一個(gè)鄰域內(nèi)最大的值和最小的值,故它只可能在(a,b)的內(nèi)點(diǎn)處取得。

而函數(shù)的最大值與最小值則是指整個(gè)定義域內(nèi)區(qū)間[a,b]的整體性態(tài),可在[a,b]的內(nèi)點(diǎn)取得,也可在[a,b]的端點(diǎn)取得。

（2）一個(gè)函數(shù)可能有若干個(gè)極小值或極大值；但在定義區(qū)間內(nèi)卻最多只有一個(gè)最大最小值。（個(gè)數(shù)）（3）極小值可能比極大值還大；函數(shù)的最大值大于等于最小值。（大?。┳⒁?第16頁/共45頁定理1(極值的必要條件)設(shè)函數(shù)

y=?(x)

在點(diǎn)處可導(dǎo)。若為函數(shù)的極值點(diǎn)(即為極值)，則注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)對(duì)常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn).第17頁/共45頁定理2

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,第18頁/共45頁求極值的一般步驟為:(1)給出定義域;(3)考察這些點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定極值點(diǎn);(4)求出極值點(diǎn)的函數(shù)值,即為極值。(2)并找出定義域內(nèi)所有駐點(diǎn)及連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn);第19頁/共45頁例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為第20頁/共45頁定理3(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.第21頁/共45頁例2.求函數(shù)的極值.2)求導(dǎo)數(shù)3)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)4)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.解：1）定義域?yàn)椋旱?2頁/共45頁二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值第23頁/共45頁特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)第24頁/共45頁例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.第25頁/共45頁1.平均成本最小例4

某工廠生產(chǎn)產(chǎn)量為

x(件)時(shí),生產(chǎn)成本函數(shù)(元)為求該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí),平均成本達(dá)到最小?并求出其最小平均成本和相應(yīng)的邊際成本.三、函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

使平均成本最低時(shí)的產(chǎn)量故此時(shí)，邊際成本等于平均成本！第26頁/共45頁即，平均成本達(dá)到最小的必要條件是：邊際成本等于平均成本！一般地，第27頁/共45頁2.最大利潤

設(shè)總成本函數(shù)為C(x),

總收益函數(shù)為R(x),

其中x為產(chǎn)量,則在假設(shè)產(chǎn)量和銷量一致的情況下,總利潤函數(shù)為

假設(shè)產(chǎn)量為時(shí),利潤達(dá)到最大,則由極值的必要條件和極值的第二充分條件,L(x)必定滿足:

可見,當(dāng)產(chǎn)量水平使得邊際收益等于邊際成本時(shí),可能獲得最大利潤.L(x)=R(x)–C(x)第28頁/共45頁存在一個(gè)取得最大利潤的生產(chǎn)水平?如果存在,找出它來.售出該產(chǎn)品x千件的收入是例5.

設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品

x千件的成本是解:售出x千件產(chǎn)品的利潤為問是否故在x2=3.414千件處達(dá)到最大利潤,而在x1=0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.第29頁/共45頁內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值定理3第30頁/共45頁最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性第31頁/共45頁2.

設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號(hào)性.第32頁/共45頁3.

設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A第33頁/共45頁第五節(jié)曲線的凹凸性、拐點(diǎn)

第三章第34頁/共45頁但從A到B的曲線是向下彎(或凸)的;從B到C的曲線是向上彎(或凹)的。顯然,曲線的彎曲方向和彎曲方向的轉(zhuǎn)變點(diǎn)對(duì)我們研究函數(shù)的性態(tài)是十分重要的.這就是下面討論的凹性與拐點(diǎn).BA?C如圖:曲線弧AB是單增的曲線.第35頁/共45頁定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間

I

上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.拐點(diǎn)第36頁/共45頁定理1.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則f(x)在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則f(x)在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)注意：如果不存在的點(diǎn)不構(gòu)成一個(gè)區(qū)間，在其余的點(diǎn)同號(hào)，也不影響曲線的凹凸性。第37頁/共45頁例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),第38頁/共45頁例2.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸第39頁/共45頁對(duì)應(yīng)例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸第40頁/共45頁內(nèi)容小結(jié)曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上(有切線)的凹凸分界點(diǎn)第41頁/共45頁思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加

,及B設(shè)在第42頁/共45頁的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例7.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為

.提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.