D定積分的概念與性質(zhì)

會計學(xué)1D定積分的概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積第1頁/共25頁解決步驟:1)

大化小.用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

常代變.作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得在區(qū)間[a,b]中

插入

n–1個分點任意在第i

個窄曲邊梯形上任取第2頁/共25頁3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積第3頁/共25頁2.變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,且求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n

個小段過的路程為第4頁/共25頁3)近似和.4)取極限.上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限第5頁/共25頁二、定積分定義任取一點總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間即記作任意一種分法上的,定積分此時稱

f(x)在[a,b]上.可積(P194)第6頁/共25頁積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即第7頁/共25頁定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和第8頁/共25頁可積的充分條件:取定理1定理2且只有有限個間斷點(證明略)例1解將[0,1]n

等分,分點為利用定義計算定積分第9頁/共25頁注

當(dāng)n較大時,此值可作為的近似值注：第10頁/共25頁[注]

利用得兩端分別相加,得即第11頁/共25頁例2解

用定積分表示下列極限:第12頁/共25頁三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證=右端規(guī)定定積分的線性性質(zhì)第13頁/共25頁證時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠(yuǎn)取

c

為分點,于是當(dāng)積分對積分區(qū)間具有可加性第14頁/共25頁當(dāng)a,b,c

的相對位置任意時,例如則有綜上可得,對任意位置的c，都有第15頁/共25頁5.則證推論1則若在[a,b]上若在[a,b]上證推論2即第16頁/共25頁例3證則在上,有即故即試證:

設(shè)6.則設(shè)第17頁/共25頁7.

積分中值定理則至少存在一點使證

則由性質(zhì)6

可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.第18頁/共25頁說明:

可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.

積分中值定理對因第19頁/共25頁例4計算從0秒到T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度.解故所求平均速度已知自由落體速度為第20頁/共25頁內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式線性性質(zhì)不等式性質(zhì)積分對區(qū)間的可加性測度性質(zhì)第21頁/共25頁思考與練習(xí)1.用定積分表示下述極限:解或第22頁/共25頁思考