D對(duì)面積曲面積分新

會(huì)計(jì)學(xué)1D對(duì)面積曲面積分新定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積函數(shù),

叫做積分曲面.第1頁(yè)/共28頁(yè)則對(duì)面積的曲面積分存在.?對(duì)積分域的可加性.則有?線性性質(zhì).在光滑曲面

上連續(xù),對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似.?積分的存在性.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面第2頁(yè)/共28頁(yè)定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法

則曲面積分證明:由定義知第3頁(yè)/共28頁(yè)而(光滑)第4頁(yè)/共28頁(yè)1)這就是把對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算公式簡(jiǎn)述為：一代、二換、三投影代：將曲面的方程代入被積函數(shù)換：換面積元投影：將曲面投影到坐標(biāo)面得投影區(qū)域說(shuō)明:2)如果曲面方程為公式如何寫？選學(xué)不要求3)若曲面為參數(shù)方程,公式又當(dāng)如何寫？第5頁(yè)/共28頁(yè)只要求出在參數(shù)意義下dS的表達(dá)式,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的第6頁(yè)/共28頁(yè)例1.

計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:第7頁(yè)/共28頁(yè)思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則第8頁(yè)/共28頁(yè)例2.

計(jì)算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:

設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示

在平面第9頁(yè)/共28頁(yè)例3.

設(shè)計(jì)算解:

錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xOy面上的投影域?yàn)閯t第10頁(yè)/共28頁(yè)思考:

若例3中被積函數(shù)改為計(jì)算結(jié)果如何?第11頁(yè)/共28頁(yè)例4.

求半徑為R

的均勻半球殼

的重心.解:

設(shè)的方程為利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo)而用球面坐標(biāo)思考題:

例3是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算

?第12頁(yè)/共28頁(yè)例5.計(jì)算解:取球面坐標(biāo)系,則第13頁(yè)/共28頁(yè)例6.計(jì)算其中

是球面利用對(duì)稱性可知解:

顯然球心為半徑為利用重心公式第14頁(yè)/共28頁(yè)例7.計(jì)算其中

是介于平面之間的圓柱面分析:

若將曲面分為前后(或左右)則解:

取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁.第15頁(yè)/共28頁(yè)例8.

求橢圓柱面位于xOy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的側(cè)面積S.解:取第16頁(yè)/共28頁(yè)例9.

設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度

h=36000

km,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑R=6400km)解:建立坐標(biāo)系如圖,記覆蓋曲面的半頂角為

,利用球面坐標(biāo)系,則衛(wèi)星覆蓋面積為第17頁(yè)/共28頁(yè)故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球以上的面積,故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說(shuō)明:

此題也可用二重積分求A

.第18頁(yè)/共28頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、質(zhì)心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.第19頁(yè)/共28頁(yè)思考與練習(xí)P158題1；3；4(1);7解答提示:P158題1.P158題3.

設(shè)則P184題2第20頁(yè)/共28頁(yè)P(yáng)158題4(1).

在

xOy

面上的投影域?yàn)檫@是

的面積!第21頁(yè)/共28頁(yè)P(yáng)158題7.

如圖所示,有第22頁(yè)/共28頁(yè)P(yáng)184題2.

限中的部分,則有().(2000考研)第23頁(yè)/共28頁(yè)作業(yè)

P1584(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五節(jié)第24頁(yè)/共28頁(yè)備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z=1以上部分的的面密度質(zhì)量M.解: