D平面及其方程

會計學(xué)1D平面及其方程例1.求過三點即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點法式得平面的方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共26頁當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.時,平面方程為分析:利用三點式按第一行展開得即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共26頁2、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點法式方程等價,

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共26頁特殊情形?當

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點的平面;?當

A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共26頁例2.

求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解:因平面通過

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程(P18例3

,自己練習(xí))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共26頁3、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共26頁特別有下列結(jié)論：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共26頁因此有例3.

一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共26頁外一點,求

設(shè)設(shè)平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點到平面的距離公式)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.點到平面的距離第9頁/共26頁1、空間直線一般、點向式、參數(shù)式方程2、線面間的位置關(guān)系機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、空間直線的方程

第八章第10頁/共26頁因此其一般式方程1.1一般式方程

直線可視為兩平面交線，(不唯一)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1、空間直線一般、點向式、參數(shù)式方程

第11頁/共26頁1.2對稱式方程故有說明:某些分母為零時,其分子也理解為零.設(shè)直線上的動點為則此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點向式方程)直線方程為已知直線上一點例如,當和它的方向向量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共26頁1.3.參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共26頁例4.用對稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點.再求直線的方向向量令x=1,解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共26頁故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點;再找直線的方向向量.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共26頁2.兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設(shè)直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共26頁特別有:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共26頁例5.

求以下兩直線的夾角解:直線直線二直線夾角的余弦為(參考P35例8)從而的方向向量為的方向向量為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共26頁當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;3.

直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上的投影直︿機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共26頁特別有:解:

取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例6.

求過點(1,－2,4)

且與平面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共26頁1.空間直線方程一般式對稱式參數(shù)式

內(nèi)容小結(jié)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共26頁直線2.線與線的關(guān)系直線夾角公式:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁/共26頁平面:L⊥

L//夾角公式：3.面與線間的關(guān)系直線L:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共26頁內(nèi)容小結(jié)