D冪級數(shù)的應(yīng)用

會計學(xué)1D冪級數(shù)的應(yīng)用一、近似計算例1.

計算的近似值,精確到解:

第1頁/共25頁例2.

計算的近似值,使準確到解:

已知故令得于是有用此式求ln2計算量大第2頁/共25頁在上述展開式中取前四項,第3頁/共25頁說明:在展開式中,令得具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對數(shù).如(n為自然數(shù)),第4頁/共25頁例3.

利用求誤差.解:

先把角度化為弧度(弧度)的近似值,并估計第5頁/共25頁(取

例4.

計算積分的近似值,精確到解:第6頁/共25頁則n

應(yīng)滿足則所求積分近似值為欲使截斷誤差第7頁/共25頁例5.

計算積分的近似值,精確到解:

由于故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數(shù)在

x=0處的值為1,則它在積分區(qū)間上連續(xù),且有冪級數(shù)展開式:第8頁/共25頁二、微分方程的冪級數(shù)解法代入原方程,比較同次冪系數(shù)可定常數(shù)由此確定的級數(shù)①即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解.①設(shè)所求解為冪級數(shù)解法本質(zhì)上就是待定系數(shù)法

1.一階微分方程的情形第9頁/共25頁例6.解:根據(jù)初始條件,設(shè)所求特解為代入原方程,得比較同次冪系數(shù),得故所求解的冪級數(shù)前幾項為第10頁/共25頁2.二階齊次線性微分方程問題定理:則在－R<x<R

內(nèi)方程②必有冪級數(shù)解:②設(shè)P(x),Q(x)在(－R,R)內(nèi)可展成x

的冪級數(shù),(證明略)此定理在數(shù)學(xué)物理方程及特殊函數(shù)中非常有用,很多重要的特殊函數(shù)都是根據(jù)它從微分方程中得到的.第11頁/共25頁例7.的一個特解.解:設(shè)特解為代入原方程整理得比較系數(shù)得:可任意取值,因是求特解,故取從而得當n>4時,第12頁/共25頁因此注意到:此題的上述特解即為第13頁/共25頁三、歐拉(Euler)公式則稱③

收斂

,且其和為絕對收斂收斂.若收斂,若對復(fù)數(shù)項級數(shù)③絕對收斂則稱③

絕對收斂.由于,故知歐拉第14頁/共25頁定義:

復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)為易證它在整個復(fù)平面上絕對收斂.當y=0時,它與實指數(shù)函數(shù)當x=0時,的冪級數(shù)展式一致.第15頁/共25頁（歐拉公式）（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式則歐拉第16頁/共25頁據(jù)此可得(德莫弗公式)利用冪級數(shù)的乘法,不難驗證特別有第六節(jié)作業(yè)

P2911(1),(3);2(2)；3(1),(3);4(2)第七節(jié)第17頁/共25頁

備用題1.(1)驗證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和.(2002考研)

解:(1)第18頁/共25頁所以(2)由(1)的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足其特征方程:特征根:∴齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入原方程得故非齊次方程通解為第19頁/共25頁代入初始條件可得故所求級數(shù)的和第20頁/共25頁2.解:求解勒讓德(Legendre)方程展成冪級數(shù),故方程滿足定理條件.設(shè)方程的解為代入④:④因方程特點,不用將P,Q

進行展開定理第21頁/共25頁整理后得:比較系數(shù),得例如:第22頁/共25頁于是得勒讓德方程的通解:上式中兩個級數(shù)都在(－1,1)內(nèi)收斂,可以任意取,它們是方程的兩個線性無關(guān)特解.第23頁/共25頁歐拉(1707–1783)瑞士數(shù)學(xué)家.他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,如《無窮小分析引論》,《微還寫了大量力學(xué),幾何學(xué),變分法教材.他在工作期間幾乎每年都完成800頁創(chuàng)造性的論文.他的最大貢獻是擴展了微積分的領(lǐng)域,要分支(如無窮級數(shù),微分方程)