D冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用

會(huì)計(jì)學(xué)1D冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用一、近似計(jì)算例1.

計(jì)算的近似值,精確到解:

第1頁(yè)/共25頁(yè)例2.

計(jì)算的近似值,使準(zhǔn)確到解:

已知故令得于是有用此式求ln2計(jì)算量大第2頁(yè)/共25頁(yè)在上述展開式中取前四項(xiàng),第3頁(yè)/共25頁(yè)說明:在展開式中,令得具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對(duì)數(shù).如(n為自然數(shù)),第4頁(yè)/共25頁(yè)例3.

利用求誤差.解:

先把角度化為弧度(弧度)的近似值,并估計(jì)第5頁(yè)/共25頁(yè)(取

例4.

計(jì)算積分的近似值,精確到解:第6頁(yè)/共25頁(yè)則n

應(yīng)滿足則所求積分近似值為欲使截?cái)嗾`差第7頁(yè)/共25頁(yè)例5.

計(jì)算積分的近似值,精確到解:

由于故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數(shù)在

x=0處的值為1,則它在積分區(qū)間上連續(xù),且有冪級(jí)數(shù)展開式:第8頁(yè)/共25頁(yè)二、微分方程的冪級(jí)數(shù)解法代入原方程,比較同次冪系數(shù)可定常數(shù)由此確定的級(jí)數(shù)①即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解.①設(shè)所求解為冪級(jí)數(shù)解法本質(zhì)上就是待定系數(shù)法

1.一階微分方程的情形第9頁(yè)/共25頁(yè)例6.解:根據(jù)初始條件,設(shè)所求特解為代入原方程,得比較同次冪系數(shù),得故所求解的冪級(jí)數(shù)前幾項(xiàng)為第10頁(yè)/共25頁(yè)2.二階齊次線性微分方程問題定理:則在－R<x<R

內(nèi)方程②必有冪級(jí)數(shù)解:②設(shè)P(x),Q(x)在(－R,R)內(nèi)可展成x

的冪級(jí)數(shù),(證明略)此定理在數(shù)學(xué)物理方程及特殊函數(shù)中非常有用,很多重要的特殊函數(shù)都是根據(jù)它從微分方程中得到的.第11頁(yè)/共25頁(yè)例7.的一個(gè)特解.解:設(shè)特解為代入原方程整理得比較系數(shù)得:可任意取值,因是求特解,故取從而得當(dāng)n>4時(shí),第12頁(yè)/共25頁(yè)因此注意到:此題的上述特解即為第13頁(yè)/共25頁(yè)三、歐拉(Euler)公式則稱③

收斂

,且其和為絕對(duì)收斂收斂.若收斂,若對(duì)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)③絕對(duì)收斂則稱③

絕對(duì)收斂.由于,故知?dú)W拉第14頁(yè)/共25頁(yè)定義:

復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)為易證它在整個(gè)復(fù)平面上絕對(duì)收斂.當(dāng)y=0時(shí),它與實(shí)指數(shù)函數(shù)當(dāng)x=0時(shí),的冪級(jí)數(shù)展式一致.第15頁(yè)/共25頁(yè)（歐拉公式）（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式則歐拉第16頁(yè)/共25頁(yè)據(jù)此可得(德莫弗公式)利用冪級(jí)數(shù)的乘法,不難驗(yàn)證特別有第六節(jié)作業(yè)

P2911(1),(3);2(2)；3(1),(3);4(2)第七節(jié)第17頁(yè)/共25頁(yè)

備用題1.(1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和.(2002考研)

解:(1)第18頁(yè)/共25頁(yè)所以(2)由(1)的結(jié)果可知所給級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿足其特征方程:特征根:∴齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入原方程得故非齊次方程通解為第19頁(yè)/共25頁(yè)代入初始條件可得故所求級(jí)數(shù)的和第20頁(yè)/共25頁(yè)2.解:求解勒讓德(Legendre)方程展成冪級(jí)數(shù),故方程滿足定理?xiàng)l件.設(shè)方程的解為代入④:④因方程特點(diǎn),不用將P,Q

進(jìn)行展開定理第21頁(yè)/共25頁(yè)整理后得:比較系數(shù),得例如:第22頁(yè)/共25頁(yè)于是得勒讓德方程的通解:上式中兩個(gè)級(jí)數(shù)都在(－1,1)內(nèi)收斂,可以任意取,它們是方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解.第23頁(yè)/共25頁(yè)歐拉(1707–1783)瑞士數(shù)學(xué)家.他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,如《無窮小分析引論》,《微還寫了大量力學(xué),幾何學(xué),變分法教材.他在工作期間幾乎每年都完成800頁(yè)創(chuàng)造性的論文.他的最大貢獻(xiàn)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域,要分支(如無窮級(jí)數(shù),微分方程)