變化率與導(dǎo)數(shù)優(yōu)質(zhì)課比賽

會(huì)計(jì)學(xué)1變化率與導(dǎo)數(shù)優(yōu)質(zhì)課比賽問(wèn)題1氣球膨脹率

在吹氣球的過(guò)程中,可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)的角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

結(jié)論：隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小.（一）平均變化率當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?第1頁(yè)/共23頁(yè)問(wèn)題2高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系

如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài),那么:在0≤t≤0.5這段時(shí)間里,在1≤t≤2這段時(shí)間里,思考：求t1到t2時(shí)的平均速度．

第2頁(yè)/共23頁(yè)平均變化率令Δx=x2–x1

,Δf=f(x2)–f(x1),則第3頁(yè)/共23頁(yè)oxy容易看出點(diǎn)B,C之間的曲線較點(diǎn)A,B之間的曲線更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？該比值近似量化B,C之間這一段曲線的陡峭程度.稱(chēng)該比值為曲線在B,C之間這一段平均變化率.●B●A●C說(shuō)明:(1)平均變化率就是:兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))連線的斜率.（以直代曲思想）（數(shù)形結(jié)合思想）“數(shù)離形時(shí)難直觀，形離數(shù)時(shí)難入微”——華羅庚第4頁(yè)/共23頁(yè)平均變化率一般的，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為

其幾何意義是表示曲線上兩點(diǎn)連線(即曲線割線)的斜率結(jié)論：例1、已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計(jì)算在區(qū)間[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均變化率.

第5頁(yè)/共23頁(yè)例2、已知函數(shù)f(x)=x2,分別計(jì)算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001].

432.12.001（5）[0.9,1]；（6）[0.99,1]；（7）[0.999,1].變題:1.991.91.999思考:為何趨近于2呢？2的幾何意義是什么？數(shù)學(xué)應(yīng)用xyp13第6頁(yè)/共23頁(yè)（二）、導(dǎo)數(shù)的概念在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，平均速度不能反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài).我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度.

又如何求瞬時(shí)速度呢?第7頁(yè)/共23頁(yè)

平均變化率近似地刻畫(huà)了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢(shì).如何精確地刻畫(huà)曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢?求：從2s到(2+Δt)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度第8頁(yè)/共23頁(yè)Δt

<0時(shí)，在[2+Δt,2]這段時(shí)間內(nèi)Δt

>0時(shí),在[2,2+Δt

]這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)Δt=–0.01時(shí),當(dāng)Δt=

0.01時(shí),當(dāng)Δt=–0.001時(shí),當(dāng)Δt=0.001時(shí),當(dāng)Δt=–0.0001時(shí),當(dāng)Δt=0.0001時(shí),Δt=–0.00001,Δt=0.00001,Δt=–0.000001,Δt=0.000001,

平均變化率近似地刻畫(huà)了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢(shì).如何精確地刻畫(huà)曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢?…………第9頁(yè)/共23頁(yè)

當(dāng)Δt趨近于0時(shí),即無(wú)論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時(shí),平均速度都趨近于一個(gè)確定的值–13.1.

從物理的角度看,時(shí)間間隔|Δt

|無(wú)限變小時(shí),平均速度就無(wú)限趨近于t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.因此,運(yùn)動(dòng)員在t=2

時(shí)的瞬時(shí)速度是–13.1.表示“當(dāng)t=2,Δt趨近于0時(shí),平均速度趨近于確定值–13.1”.從2s到(2+△t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度第10頁(yè)/共23頁(yè)探究:1.運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度怎樣表示?2.函數(shù)f(x)在x=

x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?第11頁(yè)/共23頁(yè)定義:函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的瞬時(shí)變化率是稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù),記作或,即求導(dǎo)數(shù)一般方法：一差、二比、三極限第12頁(yè)/共23頁(yè)

題1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果第xh時(shí),原油的溫度(單位:)為f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).計(jì)算第2h和第6h,原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說(shuō)明它們的意義.解:在第2h和第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,所以,同理可得

在第2h和第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為–3和5.它說(shuō)明在第2h附近,原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h的速率上升.第13頁(yè)/共23頁(yè)例1.(1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度.典例分析第14頁(yè)/共23頁(yè)練1:求y=f(x)=x2+1在x=1處的導(dǎo)數(shù).QPy=x2+1xy-111OjMDyDx第15頁(yè)/共23頁(yè)

1.曲線的切線βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點(diǎn),Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點(diǎn),PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.第16頁(yè)/共23頁(yè)P(yáng)Qoxyy=f(x)割線切線T請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí),割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況.第17頁(yè)/共23頁(yè)

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱(chēng)為曲線在點(diǎn)P處的切線.

設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱(chēng)為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限.注意,曲線在某點(diǎn)處的切線:(1)與該點(diǎn)的位置有關(guān)；

(2)要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解切線。第18頁(yè)/共23頁(yè)例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:(1)先利用切線斜率的定義求出切線的斜率(2)利用點(diǎn)斜式求切線方程.第19頁(yè)/共23頁(yè)例2:已知曲線上一點(diǎn)P(1,2),用斜率的定義求過(guò)點(diǎn)P的切線的傾斜角和切線方程.故過(guò)點(diǎn)P的切線方程為:y-2=1?(x-1),即y=x+1.練習(xí):求曲線上一點(diǎn)P(1,-1)處的切線方程.答案:y=3x-4.第20頁(yè)/共23頁(yè)

yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.(2)點(diǎn)P處切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.練習(xí)：如圖已知曲線上一點(diǎn)求(1)點(diǎn)處的切