基本初等函數的導數 同步訓練-高二上學期數學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

基本初等函數的導數（同步訓練）一、選擇題1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))′＝()A.eq\f(1,\r(2))B.1C.0D.eq\f(1,2\r(2))2.已知曲線y＝x3在點P處的切線斜率為k，則當k＝3時的點P坐標為()A.(－2，－8)B.(－1，－1)或(1，1)C.(2，8)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))3.已知函數f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則切線有()A.0條B.1條C.2條D.3條5.若函數y＝10x，則y′|x＝1＝()A.eq\f(1,10)B.10C.10ln10D.eq\f(1,10ln10)6.已知函數f(x)＝x5的導函數為y＝f′(x)，則f′(－1)＝()A.－1B.1C.5D.－57.已知函數feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝()A.1B.eq\f(1,2)C.0D.－18.曲線y＝x3在點(1，1)處的切線方程為()A.3x－y－2＝0B.2x－y－1＝0C.x－y＝0D.3x－y＝09.下列結論中正確的個數為()①若y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)；②若y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③若y＝2x，則y′＝2xln2；④若y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2).A.0B.1C.2D.310.(多選)下列求導正確的是()A.(x8)′＝8x7B.(4x)′＝4xln4C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))′＝sinxD.(e2)′＝2e二、填空題11.直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線f(x)＝lnx(x＞0)的一條切線，則實數b＝________12.已知f(x)＝a2(a為常數)，g(x)＝lnx．若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，則x＝________.13.設坐標平面上的拋物線C：y＝x2，過第一象限的點(a，a2)作拋物線C的切線l，則直線l與y軸的交點Q的坐標為________14.已知P為曲線y＝lnx上的一動點，Q為直線y＝x＋1上的一動點，則當P的坐標為__________時，PQ最小，此時最小值為________三、解答題15.已知曲線y＝eq\f(1,x)(1)求曲線在點P(1，1)處的切線方程；(2)求曲線過點Q(1，0)的切線方程．16.已知兩條曲線y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使在這一點處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由．17.已知點A（eq\f(1,2)，－1），B(2,1)，函數f(x)＝log2x.(1)過坐標原點O作曲線y＝f(x)的切線，求切線方程．(2)在曲線y＝f(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤2))上是否存在點P，使得過點P的切線與直線AB平行？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．參考答案及解析：一、選擇題1.C2.B3.C4.B解析：先將f(x)變形為y＝x2的形式，再求導，即f(x)＝eq\r(x\r(x))＝eq\r(\r(x3))＝5.C解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.故選C．6.C解析：∵f′(x)＝5x4，∴f′(－1)＝5.故選C．7.A解析：f′(x)＝1，故f′(0)＝1.8.A9.D解析:y′＝0，所以①不正確；y′＝(x－2)′＝－2·eq\f(1,x3)，所以y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，所以②正確；y′＝2xln2，所以③正確；y′＝eq\f(1,xln2)，所以④正確．10.AB解析：C項中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，∴(cosx)′＝－sinx；D項中，(e2)′＝0.二、填空題11.答案：ln2－1解析：由切線方程知切線斜率是eq\f(1,2)，即y′＝eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，x＝2.因為切點在y＝lnx上，所以切點為(2，ln2)．因為切點也在切線上，所以將(2，ln2)代入切線方程得b＝ln2－1.12.答案：1解析：因為f′(x)＝0，g′(x)＝eq\f(1,x)，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1.解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)，因為x＞0，所以x＝1.13.答案：(0，－a2)解析：顯然點(a，a2)為拋物線C：y＝x2上的點，∵y′＝2x，∴直線l的方程為y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直線l與y軸的交點的坐標為(0，－a2)．14.答案:(1，0)，eq\r(2)解析：如圖所示，當直線l與曲線y＝lnx相切且與直線y＝x＋1平行時，切點到直線y＝x＋1的距離即為PQ的最小值．令y′＝eq\f(1,x)＝1，解得x＝1，∴P(1，0)，∴|PQ|min＝eq\f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq\r(2).三、解答題15.解：∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(1)顯然P(1，1)是曲線上的點，所以P為切點，所求切線斜率為函數y＝eq\f(1,x)在x＝1處的導數，即k＝f′(1)＝－1，所以曲線在P(1，1)處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即為y＝－x＋2.(2)顯然Q(1，0)不在曲線y＝eq\f(1,x)上，則可設過該點的切線的切點為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，那么該切線斜率為k＝f′(a)＝－eq\f(1,a2)，則切線方程為y－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(x－a)①.將Q(1，0)代入方程，得0－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(1－a)，解得a＝eq\f(1,2)，代入方程①，整理可得切線方程為y＝－4x＋4.16.解：由于y1＝sinx，y2＝cosx，設這兩條曲線的一個公共點為P(x0，y0)，∴兩條曲線在P(x0，y0)處的斜率分別為k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使兩條切線互相垂直，則cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，但這是不可能的，∴兩條曲線不存在公共點，使在這一點處的兩條切線互相垂直．17.解：(1)設切點為(m，log2m)(m>0)．因為f(x)＝log2x，所以f′(x)＝eq\f(1,xln2).由題意可得eq\f(1,mln2)＝eq\f(log2m,m)，解得m＝e，所以切線方程為y－log2e＝eq\f(1,eln2)(x－e)，即y＝eq\f(1,eln2)x.(2)過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，B(2,1)的直線的斜率為kAB＝eq\f(4,3).假設存在點P，使得過點P的切線與直線AB平行，設P(n，log2n)，eq\f(1,2)≤n≤2，則有eq\f(1,nln2)＝eq\f(4,3)，得n＝eq\f(3,4ln2).