第八章7-離散時間系統(tǒng)變換域

§8-7離散時間序列的傅里葉變換

傅里葉變換：傅里葉反變換：1、離散系列傅里葉級數(shù)或離散序列傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform,DTFT）

2、離散時間序列的頻譜圖

3、離散序列傅里葉變換性質(zhì)一、離散序列傅里葉變換DTFT公式c是一個包圍z平面原點的閉合路徑假設(shè)F(z)的收斂區(qū)間包括單位圓

可以令c等于單位圓

一、離散序列傅里葉變換DTFT公式正變換反變換DTFT存在的充分必要條件是F(z)的收斂區(qū)間包含單位圓。

頻譜密度函數(shù)例1：求離散序列的傅里葉變換。

解：

|z|>10<|z|或者：二、離散時間序列的頻譜圖

|F(ej)|幅頻特性曲線

()相頻特性曲線

周期為2的函數(shù)F(ej)|是一個周期等于2的函數(shù)三、離散序列傅里葉變換性質(zhì)練習(xí)：對連續(xù)信號進(jìn)行時域離散化得到離散樣本序列，間隔試畫出該離散序列的頻譜圖。8-84(一)系統(tǒng)函數(shù)零狀態(tài)線性E(z)Y(z)H(z)的計算§8-8離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)1系統(tǒng)極零圖的描述極(零)點或為實數(shù)出現(xiàn)或為共軛的復(fù)數(shù)成對出現(xiàn)2H(z)與時域響應(yīng)3H(z)與因果系統(tǒng)穩(wěn)定性極點都在單位圓的內(nèi)部，或D(z)=0的特征根的模小于1；

（二）離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)一、定義H(jw)=FT{h(t)}離散系統(tǒng)的頻響：系統(tǒng)對復(fù)正弦信號ejwk的響應(yīng)仍然是同頻率的復(fù)正弦信號ejwk

，其相位和幅度有所變化；例1

某二階系統(tǒng)由差分方程

試求其幅頻和相頻特性。

解：

例1

某二階系統(tǒng)由差分方程

試求其幅頻和相頻特性。

例1

某二階系統(tǒng)由差分方程

試求其幅頻和相頻特性。

求激勵序列為例2：已知的響應(yīng)H(z)H(z)H(-1)=32/3穩(wěn)態(tài)響應(yīng)序列

例3

某二階系統(tǒng)的差分方程

試求響應(yīng)。

無法用z變換進(jìn)行分析

解：e(t)=1,w1=0r0=20r1=0r(t)=20二、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的幾何確定靠近單位圓周的極點附近有尖峰（1）z=0處的零極點對幅頻特性|H(ejw)|沒有影響，只對相位有影響；（2）當(dāng)z=0旋轉(zhuǎn)某個極點pi

附近時，例如在同一半徑上時，Bi較短，則|H(ejw)|在該點應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)一個峰值，Bi越短，pi附近越尖銳。若pi落在單位圓上，則Bi=0，則pi

處的峰值趨于無窮大；（3）對于零點則其作用與極點的作用正好相反。三、頻響曲線的特點4、離散時間系統(tǒng)中，同樣有低通濾波器、高通濾波器以及帶通濾波器等。只不過這時候的頻率只考慮在-<<頻率范圍內(nèi)。1、幅頻響應(yīng)是頻率的偶函數(shù)，相頻響應(yīng)是頻率的奇函數(shù)；3、幅頻響應(yīng)函數(shù)和相頻響應(yīng)函數(shù)都是頻率w的周期性函數(shù)，周期頻率為s=2；2、幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)是頻率w的連續(xù)函數(shù)；四、幾種特殊的離散時間系統(tǒng)：低通、高通、帶通、帶阻全通系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)：極零點全部在單位圓內(nèi)。全通系統(tǒng)：對任意頻率的離散正弦時間信號都有相同的幅頻響應(yīng)，除了在z=0處的極點外，其余的極點和零點關(guān)于單位圓鏡像對稱（即兩者相角相等，幅度互為倒數(shù),或）全通m=n;2)§8-9離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)變換域分析法的比較1、s平面和z平面

2、收斂域

拉普拉斯變換中的收斂區(qū)間的邊界一般是一條平行與虛軸的直線z變換中的收斂區(qū)邊界則往往是一個以原點為圓心的圓

Re[s]Im[s]Re[z]Im[z]3、反變換

s平面中是沿著收斂區(qū)間中的一條平行于虛軸的直線進(jìn)行的線積分

z平面中這時沿著收斂域中一個閉合路徑作圍線積分

部分分式分解法

4、變換域中的系統(tǒng)函數(shù)

H(s)H(z)穩(wěn)定的連續(xù)因果系統(tǒng)的極點出現(xiàn)在s平面虛軸以左的半個平面中

穩(wěn)定的離散時間因果系統(tǒng)的極點出現(xiàn)在z平面單位圓內(nèi)

羅斯霍維斯準(zhǔn)則

5、因果性6、傅里葉變換

離散：傅里葉變換則是z變換在單位圓上的特例。

連續(xù)：傅里葉變換可以看成是拉普拉斯變換在虛軸上的特例；s=jw連：h(t)是右邊（有始）信號——>維納.佩利準(zhǔn)則離：h(k)是右邊（有始）序列——>m<=n7、頻率響應(yīng)

連續(xù)：H(jw)=|H(jw)|ej()離散：H(z)1、非周期的連續(xù)時間信號的頻譜是連續(xù)頻率的非周期函數(shù)；

F(jω)=F{f(t)}即f(t)的付立葉變換4、周期的離散時間信號的頻譜是離散頻率的周期函數(shù)；3、非周期的離散時間信號的頻譜是連續(xù)頻率的周期函數(shù)；8、信號與頻譜2、周期連續(xù)時間信號的頻譜是離散頻率的非周期函數(shù)；

一個域的非周期性對應(yīng)于另一個域的連續(xù)性；8、信號與頻譜結(jié)論：信號的兩個域：時域與頻域一個域的周期性對應(yīng)于另一個域的離散性；已知某離散系統(tǒng)的差分方程為

例1：其初始狀態(tài)為

求：1）零輸入響應(yīng)yzi(k)、零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)及全響應(yīng)y(k)；2）指出其中的自由響應(yīng)分量和受迫響應(yīng)分量；3）判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。激勵：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

3）系統(tǒng)的特征根為1=0.5（單位圓內(nèi)），2=1（單位圓上）解：特征根為1=0.5，2=1解：特征根為1=0.5，2=11）

yzi(k)=C10.5k+C2；C1=2，C2=2零輸入響應(yīng)：yzi(k)=(220.5k)(k)Yzs(z)=H(z)E(z)=零狀態(tài)響應(yīng)：yzs(k)=(0.5k+k1)(k)

全響應(yīng)：y(k)=(1+k0.5k)(k)

全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)已知某離散系統(tǒng)的差分方程為

例1：其初始狀態(tài)為

激勵：2）零輸入響應(yīng)：yzi(k)=(220.5k)(k)零狀態(tài)響應(yīng)：yzs(k)=(0.5k+k1)(k)

全響應(yīng)：y(k)=(1+k0.5k)(k)

已知某離散系統(tǒng)的差分方程為

例1：其初始狀態(tài)為

激勵：1）自由響應(yīng)：(10.5k)(k)受迫響應(yīng)：k(k)，嚴(yán)格地說是混合響應(yīng)。例2已知某離散時間系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)

2）畫出該系統(tǒng)的框圖。1）求其系統(tǒng)函數(shù)H(z)；解一：1）系統(tǒng)函數(shù)為：

h(k)={1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,…}k=0=1z-2+z-4

z-6+z-8

z-10+……已知某離散時間系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)

2）

畫出該系統(tǒng)的框圖。1）求其系統(tǒng)函數(shù)H(z)；=(1z-2)(1+z-4+z-8+……)=例2解二：2）y(k+2)+y(k)=x(k+2)已知某離散時間系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)

2）

畫出該系統(tǒng)的框圖。1）求其系統(tǒng)函數(shù)H(z)；例2解：X

(z)Y(z)z-1∑z-1-x(k)y(k)D∑D-1）3)求其幅頻響解答：例3、已知某離散時間因果系統(tǒng)的極點為p1=0.7和p2=0.9零點的位置不詳。其單位函數(shù)響應(yīng)為

（1）求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，（2）并作出其模擬框圖。

h(k)=(k)+(C10.7k-1+C20.9k-1)(k-1)h(1)=2,h(2)=1.6h(k)=(k)+(0.7k-1+0.9k-1)(k-1)（1）求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)C1=C2=1解答：例3、已知某離散時間因果系統(tǒng)的極點為p1=0.7和p2=0.9零點的位置不詳。其單位函數(shù)響應(yīng)為

（1）求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，（2）并作出其模擬框圖。

（2）并作出其模擬框圖∑1.6-0.63∑0.4-0.97Y(z)E(z)例4、已知離散系統(tǒng)差分方程為：

求：y(k+2)+0.4y(k+1)-0.32y(k)=e(k+2)+e(k+1)2）分析系統(tǒng)是否穩(wěn)定？3）求h(k)1）系統(tǒng)函數(shù)H(z);解答：1）系統(tǒng)函數(shù)H(z)2）穩(wěn)定3）練習(xí)一:

已知離散因果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

y(k)-0.25y(k-2)=2e(k)-4e(k-1)+2e(k-2)1、作出該系統(tǒng)的模擬框圖；2、若y(-1)=3，y(-2)=2時，全響應(yīng)y(k