數(shù)學(xué)-專題5導(dǎo)數(shù)與積分

專題 導(dǎo)數(shù)與積[基礎(chǔ)秘訣]（問中學(xué)問1f(x0的定義式,及用定義法求導(dǎo)的步驟問2導(dǎo)數(shù)的幾何意義:y=f(x),f(x)x0處可導(dǎo)f(x0)的幾何意義 曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程 問3[范例評(píng)注]（例中學(xué)例1f(xalimf(x0xf(x0x) 12例2f(x)=x(1+|x|0

1 C. D.2f(0 C D.例3f(xx22xf(1),f(0 C. D.例4設(shè)f(x)exsinx,f(x)f(x),", (x)f(x),nN,則 (0)

A. B. C.2 D.2例5(2008 Ⅰ)汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、 過程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖像可能是 例6(1998高考)H的水瓶中注水,注滿為止.Vh數(shù)關(guān)系的圖象如左圖所示,V H 例7(2009)設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)R(t).若球的體積以均勻速度c增長(zhǎng)，則球的A．成正比,比例系數(shù)為 B．成正比,比例系數(shù)為成反比,比例系數(shù)為 D．成反比,比例系數(shù)為例8(1)y x(x (2)yxxx2y (4)y|1x2|(xx2例9y (2)y(2x21)(3x2x)(3x(x1)((x1)(x3 (x3)(x例10 y=sin2x (2)ysin4xcos4x1cos 例111ylg(x ) (2)y3xex1例 已知f(x)(x1)(x2)(x"(100),求f(100)例13f(x)R上可導(dǎo)的偶函數(shù),T的周期函數(shù)求證:f(x是奇函數(shù),f(xT的周期函數(shù)f(x2)f(x2),f(15,f(15)的值例 已知曲線yx3求曲線在點(diǎn)A(1,1)處的切線方程求曲線過點(diǎn)A(1,1)的切線方程例15Cyx(x1)(x3C相切,試求這兩條導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[基礎(chǔ)秘訣]（問中學(xué)問1試寫出函數(shù)單調(diào)性的導(dǎo)數(shù)判別法.又怎樣判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)問2寫出可導(dǎo)函數(shù)的極值判別法,總結(jié)求函數(shù)極值的步驟(“傻瓜”).問3函數(shù)的最值與極值有何區(qū)別?總結(jié)求函數(shù)最值的步驟([范例評(píng)注]（例中學(xué)例 y=f'(x)的圖象如圖(*)所示，則y=f(x)的圖象最有可能的yO 2yO 2y2O1xyO1xy 2x 1 圖 例2f(x)=x3-ax在區(qū)間(1,)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),aA.a B.a< C.0<a D.a例 已知f(x)x3ax2(a6)x1有極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍A.1a B.3a C.a3或a D.a3或a例4 )若函數(shù)f(x)log(x3ax)(a0,a1)在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào) 增,aA.[1, 4

[3, 141

(9,4

(1,94例5a0(a1),mn0,

an

1am

1an B.am1an 1an

am

1,anC.am 的大小與a1,a1 例6f(x1x31ax2a1)x1在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+) 例7f(xx3－3x2－9x+5,x[26]的值域例8求下列函數(shù)的值域x1x1 y x1x1例9ysin3x3cos2x(xR的值域例10f(x)=x3+px2+qxx軸切于點(diǎn)(a0)a0)f(x)4,求常數(shù)p,q的值.例11若方程2x210x370在區(qū)間(m1,mmZ)mx值例12f(xx31x22x2x[1,2],f(x)m<0成立,m的取值范圍x[1,2],f(x)m<0成立,m的取值范圍例13af(xx3x2xx3x2xa0有唯一的實(shí)數(shù)根,a的取值范圍例14(2007.Ⅱ)已知函數(shù)f(x)x3xyf(x在點(diǎn)M(t,f(t處的切線方程a>0,如果過點(diǎn)(ab)yf(x的三條切線,證明abf(a).O O建污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，POykm．試確定污水處理廠O x30）224將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函例17S時(shí),應(yīng)怎樣制作,才能使其容積最大例18

x2y4y

1x0,y0C(x0,y0)引曲線的切線,分別與x軸正AB的方程為x0xyy 求線段AB最短時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)例19(2004.Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=求函數(shù)f(x)的最大0<a<b0g(a)+g(b)-2gabb-2例20試比較2019與1920的大小幻燈片幻燈片板塊2板塊2專題5 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 定積分及簡(jiǎn)單應(yīng)用幻燈片5.15.1[基礎(chǔ)秘訣](問中學(xué))問1?寫出f(x0)的定義式,及定義法求導(dǎo)步驟.解導(dǎo)數(shù)定義式:f(x)limylimf(x0x)f(x00x0 x主要變式f(x)limf(x)f(x0)limf(x0h)f(x00xx0h定義法求導(dǎo)步驟:1.求函數(shù)增量 y 2.求平均變化率y3.取極限f(x0) 幻燈片幻燈片問問解y=f(x0)的幾何意義是k切fx0曲線y=f(x在點(diǎn)P(x0f(x0)))(問 ?試問 ?試建構(gòu)“導(dǎo)數(shù)表”與“求導(dǎo)法則表解導(dǎo)導(dǎo)數(shù)C(xm)(sinx)cos(cosx)sin(ex)(ax)axln(lnx)x1(logx)axln求導(dǎo)法則表(uv)uv(uv)uv(uv)uvuvuvuvuvvyxyuu隱函數(shù)求導(dǎo)法取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法幻燈片幻燈片[[范例評(píng)注](例中學(xué)例已知(xa,則f(xx)f(x000C)A.12B.12C.D.解limf(x0x)f(x0xlim[f(x0x)f(x0)][f(x0)f(x0xlimf(x0x)f(x0)limf(x0x)f(x02f(x0)故選幻燈片例例2設(shè)f(x)=x(1+|x|),則f(0) (BA. B. C D解f(0)limf(x)fxlimx(1|x|)lim(1|x|)xx故選幻燈片幻燈片例例 已知f(x)x22xf(1),則f(0)等于(DA. B.C.D.解f(x)2x2ff(1)22ff(1)f(0)2f(1)故選幻燈片例例f(xesinf(x)f(x),"x010(x)f(x),nf2009(0 解(歸納法C.2D.2(Af1(x)ex(sinxcosx)2exsin(x f(x)2ex(sin(x )cos(x ))(2)2exsin(x 42f(x)(2)2ex(sin(x2)cos(x2))(2)3exsin(x34443444所以猜想f(x) 2)nexsin(x n (0)(2)2009e0sin(2009)442)200912幻燈片幻燈片例例 行駛之后停車 若把這過程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù) (sA)OtOtOtOt 只需檢驗(yàn)初始階段幻燈片例例v)向高為H的水瓶中注水,注滿為止如果注水量v與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如所示,那么水瓶的形狀是(B)OH解法1(導(dǎo)數(shù)法——V解法2(特殊化猜想——檢驗(yàn)中點(diǎn)vHV,故選22例例)設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)R(t若球的體積以均勻速度c增長(zhǎng),則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑A.成正比,C.成反比,B.成正比,比例系數(shù)為D.成反比,(D解cV(R)432t3tRtS(4R2)8RR2ctttR幻燈片例例8(1)y x(x解yxxxx(xx1x xx,(x)limy(2)yx 1xx 21解y(xx )(x1)x(1 ),xxxx(x1xx0 x(x)11幻燈片幻燈片例例8(3)y解yx21(xx)212x(xx)21x21[(xx)21][x2x((xx)21x21x2,(x21)limy 2x(xx)21x2xx2.幻燈片例例8(4)y|1x2|(x(本題改為求導(dǎo)數(shù),不要求定義法解yx21x2y22x1,orx1xx1,orx1x幻燈片幻燈片例例9?y(1)y==∴y=y(2x21)(3x2x)(3x解(2)y(2x3x)(3x1)(3x1(2x3x)(9x218x511x3∴y幻燈片例例9?求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(x1)(x(3)y3(x3)(x解lny1[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x3y11111 x x x x yy1111 x x x xy13(x1)(x2)(111 x x x x幻燈片幻燈片例例10?sin(1)y1cos解ysin2 2sinxcosxcosx1cos22sin2sinysin2xcos2x (2)ysin4xcos4sin2sin2解y(sin2xcos2x)22sin2xcos2x31cos y1sin4444 幻燈片例例11?求下列函數(shù)的導(dǎo)(1)ylg(x 1x2解y ln(xy11x212111x2解ln10x 1y3xex(3x)3xln(2x)2xlny(3xln3)ex3xex2xln23xexln(3e)2x幻燈片幻燈片例例12f(x(x1)(x2)(x(x100求f解法1(構(gòu)造輔助函數(shù)令gx)x1x2x3"x99),f(x)(x100)g(f(x)(x100)g(x)(x100)g(x)g(x)(x解法2(定義法f(100)f(x)f(100) f(xx100xlim[(x1)(x"x99)]x幻燈片例例已知f(x)是在R上可導(dǎo)的偶函數(shù),且是周期為T的周期函數(shù)求證:f(x)是奇函數(shù),f(x)也是周期為T的周期函數(shù)又若fx2)fx2),f(1)5,f(15)的值(1)證明f(x)f( f(x)f(x)(x)f(f(x)是奇函數(shù)又fxTff(xT)(xT)f(x),即fxTf故也是周期為 的周期函數(shù)(2)解 f(x2)f(x2)f(x4)f( f(15)f(1)f(1) fx4fx),f(xf幻燈片幻燈片例例解已知曲線y求曲線在點(diǎn)求曲線過點(diǎn)y3x21)處的切線方程1)的切線方程(1)點(diǎn)A(1,1)是切點(diǎn) 切312y13x1),y3x3設(shè)切點(diǎn)為P(x, k切3x02切線方程為yx33x2(xx 000由①過點(diǎn)A(111x33x2(1x)2x33x2100000001,x 10故所求切線方程為y3x2,或y3x1 2幻燈片例例曲線C:yxx1x若過原點(diǎn)存在兩條直線與曲線C相切,解yx34x23y3x28x設(shè)過原點(diǎn)的直線ykx,與曲線C切于點(diǎn)x0,y0),y0k3x8x2xx00解得00 x(x1)(xkk0所求二直線為y3x,yx幻燈片幻燈片5.25.2[基礎(chǔ)秘訣](問中學(xué))問1試寫出函數(shù)單調(diào)性的導(dǎo)數(shù)判別法.又怎樣判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)?解導(dǎo)數(shù)正(負(fù))單調(diào)增(減),(一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零 不影響單調(diào)性在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為零 則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)為常數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判別法有三:特殊值法,一值定號(hào)幻燈片問問2寫出可導(dǎo)函數(shù)的極總結(jié)求函數(shù)極值的步驟(“傻瓜解求導(dǎo),求駐列變化表求極值,作幻燈片幻燈片問問3函數(shù)的最值與極值有何區(qū)別?總結(jié)求函數(shù)最值的步驟(“傻瓜”)若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,bf(x)在[ab]上的最值的步驟是幻燈片[[范例評(píng)注](例中學(xué)例yf(x的圖象如圖(*)所示yyyy2O)xO1xO12 12O 1圖幻燈片幻燈片例例 (x)=x3－ax在區(qū)間(1,+∞)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A) (B) (C)(D)(D)解法 (x)=3x2a≥0在[1，+∞)3a≥0 答解法a0時(shí)成立,a3時(shí)成立故排除A、B、答幻燈片例例f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極值則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 C.a3或 D.a3或(D解f(x)f(x)有極a23a18a3或a幻燈片幻燈片例若函例若函數(shù)f(x)=log(x3ax)(a>0,a1)在區(qū)間(1a內(nèi)單調(diào)遞增 則a的取值范圍A.[1,4B.[3,4C.(9,4D.(1,9(B24解令uxx3axxx由u(x)>0得f(x)的定義域:a)(xa，0)∪y=u(x)的圖象如圖f(x)在(10)內(nèi)單調(diào)遞增ay20<a<1故排除C和12ax檢驗(yàn)a4不成立,故選1例例若函數(shù)f(x)=logx3ax)(a>0,a1)在區(qū)間(1a內(nèi)單調(diào)遞增 則a的取值范圍2A.[1,4B.[3,4C.(9,4D.(1,9(B)4解法 f(x)1(32ln (x3a)0(3xa)2ln(3x2a)ln0在[10)上恒成2①aa0aa4334a1.故選幻燈片幻燈片例例A.am1anB.am1anC.am1an(BD.am1,an1的大小與a1a1解把a(bǔ)或1看成e,f(xexex,x(0f(xexex0f(xexex在(0,+上遞增今mn0總有f(mf(nam1an1a幻燈片例例fx1x31ax2(a1)x132解法f(x)x2ax(aa取值 f(4)f(1) 64aa105a1aa11f(6)366aa1a[5幻燈片幻燈片例例fx1x31ax2(a1)x132解法fxx2ax(a10x1 x2aa取值4x極小64a165aa[5,幻燈片例例解求函數(shù)f(xx33x29x+5,x[2,6]的值域f(x)=3x26x9=f(x0x11，x23計(jì)算 f(1) f(3)=f(2) f(6)22,59幻燈片幻燈片例例(1)yx 1x的值域解法1(三角換元法 x)2(1x)21x1x, 2ycossin 2sin(),[0,42 值域?yàn)閇 2]幻燈片例例(1)yx 1x的值域解法2(導(dǎo)數(shù)法yf(x)1x1x x[0,y2y0 1111, 1x12計(jì)算:f(12 f(0)f(1) 值域?yàn)閇 2]幻燈片幻燈片例例(2)求函數(shù)yx 12x的值域解(導(dǎo)數(shù)法yf(x) x 12xx 12y 12,y01 11x16計(jì)算:f 6,f(0)1,f62222 值域?yàn)?622幻燈片例例求函數(shù)ysin3x3cos2xxR)的值域解(換元,求導(dǎo))tsinxy=f(t)=t3+3(1t2),t[1,f(t)=3t2f(t0t0,t2(舍去∵f(0)f(1)f(1)1,3幻燈片幻燈片例例切于點(diǎn)(a0)a0)f(x)的極大值為4p,q解由f(x)的零點(diǎn)分析,yf(x)x(xa)2x32ax2a2x,f(x)3x24axa20,a 3ax得駐點(diǎn)∵f(a)04,f(a)4a(aa)24ax13,x2a3 p2a qa2幻燈片例例11若方程2x210x370在區(qū)間(m1,m)x內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的值2x210x3702x310x237x令f(xf(x)=f(x)=0得駐點(diǎn)x=0極大1①f(1)>0,fx10(極小2f(x)在[2,1]上單調(diào)遞增3f(x)=0在(2,1)內(nèi)有唯一實(shí)根,m②f(10)13f(3)>0,ff(x)=0在(3,4)內(nèi)有相異二實(shí)根,m由①②可知有m1幻燈片幻燈片例例設(shè)f(x)x31x22xx[1,2],f(x)m<0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍x[1,2],f(x)m<0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍2解f(x)m0mf(f(x)3x2x由fx0得駐點(diǎn)x21x∵f(1)51,f(2)522322f(1)31,f(2) f(x)12(1)不等式①在[1,2]上有解mfxmin112所以實(shí)數(shù)mm3(2)不等式①在[12]上恒成立mfx)max所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是 例設(shè)a例設(shè)af(xx3x2x求f(x)的極值若方程x3x2xa0有唯一的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.(1)fx3x22x1,fx0x1x3f f(1)5a，f3x(,133(1,31(1,f+00+f極大極小值幻燈片幻燈片例例設(shè)af(xx3x2x求f(x)的極值x3x2xa0有唯一的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.解(2)由三次函數(shù)f(x)單調(diào)性和極值性方程f(x)=0有唯一實(shí)數(shù)根fx)5a0fx)的極小值a1a(,5)∪(1,a的取值范圍為(,5)(1,幻燈片例例Ⅱ已知函數(shù)fxx3x求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t,f(t))處的切線方程設(shè)a>0,如果過點(diǎn)(ab可作曲線yf(x)的三條切線,證明abf(a).解 f(x)3x21 yf(t)f(t)(xt即y(3t21x2t3幻燈片幻燈片例例Ⅱfxx3x解(2)設(shè)a>0,如果過點(diǎn)(abyf(x)條切線,證明abf(ay(3t21)x2t3(2)一條切線過點(diǎn)(a,b),t,b(3t21)a2t3過點(diǎn)(a,b)y=f(x)2t33at2ab0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根0g(t)極小值其中g(shù)(t2t33at2ab幻燈片例例14(2)設(shè)a>0,如果過點(diǎn)(abyf(x)三條切線,證明abf(a解g(t)2t33at2ag(t)6t26at6t(ta),(ag(t)極大值g(0)abg(tg(a)a3abbf(a) abf(a)幻燈片幻燈片例例15如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B及CD的中點(diǎn)P處.AB＝20km,BC＝10km.為了處理這三家工廠的污水計(jì)劃在矩形區(qū)域內(nèi)(含邊界)且與ABO點(diǎn)建污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設(shè)管道ykm.試確定污水處理廠O的位置使三條污水管道的總長(zhǎng)度最短．P解法DC設(shè)OQx(km),Oy10x2x2102(0xxAQByx2,y0(0x10)x103污水處理廠O位于AB的中垂線上距AB103km處3幻燈片例例如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂A,B及CD的中點(diǎn)P處.AB＝20km,BC＝10km.為了處理這三家工廠的污水計(jì)劃在矩形區(qū)域內(nèi)(含邊界)且與ABO點(diǎn)建污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設(shè)的總ykm.試確定污水處理廠O的位置使三條污水管道的總長(zhǎng)度最短．P解法2設(shè)BAO(radDCO以下可選用(1)導(dǎo)數(shù)AB4Q(2)三角判別法幻燈片幻燈片例例)某商品每件成本9元,售價(jià)為30元,每星期賣出432件,如果降低價(jià)格,銷售量可以增加,且每星期多賣出的x(單位:元0x30的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2元時(shí),一星期多賣出24件．將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？解 設(shè)商品降價(jià)x元,則多賣的商品數(shù)為若記商品在一個(gè)星期的獲利為f(x)元,f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432242kf(x)6x3126x2432x例(1)例(1)一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)函數(shù)為f(x)6x3126x2432x9072,x[0, 如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？(2)f(x18x2252x432∵f(12) f(0)y最大y極大f(12定價(jià)應(yīng)為301218(元x0,22(2,12(12,30]f00f極極幻燈片幻燈片例例解當(dāng)圓柱形罐頭的表面積為定值S時(shí)應(yīng)怎樣制作才能使其容積最大設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，容積為V約束:目標(biāo):Vr2hrSr2Srr3V 3r2由V0S6r22SS22r,此時(shí)容積最大h2rS答 按等邊圓柱,即h2r 制作罐頭,容積最大幻燈片例例過曲線x2 1(x0,42,分別與x軸正半軸、 軸正半