偏微分方程概論

偏微分方程概論第一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1.1常微分方程簡(jiǎn)介1.1.1常微分方程的基本概念牛頓第二定律：其中：m是質(zhì)量，r是位置向量，t是時(shí)間，

F是作用于質(zhì)點(diǎn)的力第二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日牛頓引力定律：其中：G是萬(wàn)有引力常數(shù)，M與m是一對(duì)相互吸引的質(zhì)點(diǎn)，r是從M到m的向量，r∕|r|是與r同向的單位向量第三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日這就是描述行星運(yùn)動(dòng)的微分方程——微分方程中未知函數(shù)只出現(xiàn)一個(gè)自變量。求解方程，可引入極坐標(biāo)變換，令

u=1∕r第四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日則得到下面的二階常系數(shù)線性微分方程：u0,

q0是由初始條件確定的2個(gè)常數(shù)。第五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1.1.2一些典型的常微分方程一、可分離變量的方程具有如下形式：可轉(zhuǎn)化為第六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日兩邊對(duì)x積分（如果可能的話）得

G(y)+C1=F(x)+C2即

G(y)=F(x)+C第七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日二、齊次方程具有如下形式作變量替換，令u=y∕x→y=u·x是可分離變量的方程第八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日三、線性變系數(shù)方程具有如下形式（一階）相應(yīng)的齊次方程顯然是個(gè)可分離的方程第九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日積分得通解

yh(x)=C·exp[-P(x)]其中：定義積分因子則

m(x)·yh(x)=C第十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日兩邊求導(dǎo)對(duì)于q(x)≠0

時(shí)m(x)·y(x)=C

不成立。但由上面的推導(dǎo)，可有第十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)上式積分得即有第十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日伯努利方程作變換，令u=y1-n第十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日n階常系數(shù)線性微分方程其中，a0,…,an均為常數(shù)。先考慮齊次情形令y=elx

代入得第十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日解這個(gè)方程得

l=l1,…,ln

若li≠lj

,i≠

j方程通解為若某個(gè)lj是h重根，則對(duì)應(yīng)還有如下的h個(gè)解可以證明上面兩種形式的解都是線性無(wú)關(guān)的，它們的任意線性組合都是齊次方程的通解。第十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日下面考慮非齊次情形，任取上述一個(gè)根，令令dz∕dx=u第十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日這樣，方程降了一階，但還是常系數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次降階、積分，可得非齊次方程的一個(gè)特解

y=y0(x)則，原方程通解為第十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1.2偏微分方程的導(dǎo)出與定解1.2.1偏微分方程的概念未知函數(shù)含有多個(gè)自變量，方程中出現(xiàn)多元函數(shù)對(duì)不同自變量的各階偏導(dǎo)數(shù)，這樣的微分方程稱為偏微分方程（數(shù)學(xué)物理方程）。幾乎所有的研究對(duì)象，包括天文、物理等領(lǐng)域的物體運(yùn)動(dòng)、狀態(tài)變化等都不可能只受一個(gè)因素的影響，它們往往與位置、時(shí)間、溫度等諸多因素相關(guān)，因此必須用偏微分方程才能描述和求解。第十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日但是，偏微分方程十分復(fù)雜，即使是線性的也會(huì)復(fù)雜到難以處理的程度。至于非線性方程，也只能針對(duì)具體問題，提出個(gè)別的解決方法。所以，在數(shù)學(xué)上無(wú)法建立起偏微分方程研究的一般性理論。第十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1.2.2幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程熱傳導(dǎo)方程（溫度分布）——擴(kuò)散方程（化學(xué)物質(zhì)在溶液中的濃度）其中a>0，a2=k∕Q，k是傳熱系數(shù)，Q是熱容量。第二十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日拉普拉斯方程——調(diào)和方程當(dāng)物體的溫度處于熱穩(wěn)定狀態(tài)（真空中靜止的電磁場(chǎng)。經(jīng)典的引力場(chǎng)、或流體的某種穩(wěn)定狀態(tài)）第二十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日波動(dòng)方程當(dāng)聲波在空氣中傳播時(shí)，如果u表示壓強(qiáng)的小擾動(dòng)，a>0是聲音（電磁波或其他波動(dòng)）在空氣中的傳播速度第二十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1.2.3初邊值問題對(duì)于最典型的求解問題是初始值問題——柯西問題即：求波動(dòng)方程的解u，使其滿足初始條件u0(x,y,z)和u1(x,y,z),表示在t=0時(shí)波的形狀和關(guān)于t的變化率。第二十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日一維情形——弦振動(dòng)方程初始條件作變換

x=x-at,h=x+at方程變?yōu)榈诙捻?yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日且通解為

u=f(x-at)+g(x+at)其中f與g是任意兩個(gè)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。并由初始條件，就得到下面弦振動(dòng)的達(dá)朗貝爾（d′Alembert）公式第二十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日高維情形，把(x，y，z)記

x=(x1,x2,x3),x=(x1,x2,x3

)利用傅立葉變換（Fourier）其中

xx=x1x1+x2x2+x3

x3第二十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日且當(dāng)f滿足一定條件時(shí)有Fourier逆變換另外有第二十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于下面方程，利用Fourier變換第二十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日變成解常微分方程的初值問題，解得其中做Fourier逆變換，得泊松（Poisson）公式第二十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日其中ds1（dsat）是球面|l|=1（|l|=at）的面積元素。第三十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1.3熱傳導(dǎo)方程初值問題的求解兩邊關(guān)于x做Fourier變換第三十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日解常微分方程得若記且有從而第三十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日同理第三十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日代入得其中通常稱K(x-x

,t-

t)為熱傳導(dǎo)方程基本解，且當(dāng)f(x,t)≡0、j(x)適合一定條件時(shí)，可證明泊松公式是給出的初值問題解。第三十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1.4二階偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)1.4.1二階偏微分方程的分類三個(gè)典型的二階偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：（波動(dòng)方程）（熱傳導(dǎo)方程）（位勢(shì)方程）第三十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日其中：f是(x1,…,xm)或(x1,…,xm,t)的函數(shù)，a為常數(shù)，是Laplace算子。二階偏微分方程的一般形式：其中aij=aji、b、c、f

都是(x1,…,xm)的函數(shù)。第三十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日用A表示矩陣（aij)i,j=1,2,..,m對(duì)于波動(dòng)方程，取m=n+1,t=xn+1第三十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，取m=n+1,t=xn+1第三十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于位勢(shì)方程，取m=n第三十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日如果A是個(gè)常系數(shù)矩陣，由于它是對(duì)稱的，所以，一定存在一個(gè)正交矩陣T

，使得TTAT是對(duì)角陣，且對(duì)角線上的元素就是A的特征值。位勢(shì)方程：A的特征是都是正（或負(fù)）的，即A是正定的或負(fù)定的；熱傳導(dǎo)方程：A的特征值有一個(gè)為0，其它的都為正（或負(fù)）的，即A是非負(fù)（或非正）的；波動(dòng)方程：A的特征值除了一個(gè)為正（負(fù)）外，其它的都是負(fù)（正）的，即A是不定的。第四十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)x0(x01,...,x0m)是空間中一點(diǎn)，A(x0)表示矩陣A在x0點(diǎn)的值定義：若A(x0)的m個(gè)特征是全是正（或負(fù)），稱方程在x0點(diǎn)是橢圓型的；若A(x0)的特征是除了一個(gè)為0外全是正（或負(fù)）的，稱方程在x0點(diǎn)是拋物型的；若A(x0)的特征值除了一個(gè)為負(fù)（或正）外，其它m-1個(gè)全是正（或負(fù)）的，稱方程在x0點(diǎn)是雙曲型的。如果對(duì)于區(qū)域W上每一個(gè)點(diǎn)，方程是橢圓型的，則稱方程在區(qū)域W上是橢圓型的。類似有拋物型的和雙曲型的。第四十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日定理：如果方程的二階項(xiàng)系數(shù)aij

是常數(shù)，即A是常數(shù)矩陣，且它屬于橢圓型（拋物型、雙曲型）方程，那么一定可以通過(guò)一個(gè)非奇異的自變量代換，把方程的二階項(xiàng)化為三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式。第四十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1.4.2二階偏微分方程的化簡(jiǎn)定義：稱m維空間中的一張曲面S={j

(x1,…,xm)=0}為二階偏微分方程一般形式的特征曲面，如果曲面S的每一個(gè)點(diǎn)，有定義：對(duì)于固定點(diǎn)x0=(x10,…,xm0)

，如果過(guò)該點(diǎn)的方向l=(a1,…,am)

滿足特征方程則稱l為該點(diǎn)的特征方向。第四十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日由于表示曲面j(x1,…,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每點(diǎn)的法向?yàn)樵擖c(diǎn)特征方向的曲面。怎樣求特征方向和特征曲面，總假設(shè)∑ai2

=1即取ai為特征方向的方向余弦。第四十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例：熱傳導(dǎo)方程的特征方程為a12

+

a22

+a32

=0由假設(shè)有a02

+

a12

+

a22

+a32

=1從而a02

=1因此特征曲面為超平面t=

常數(shù)第四十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例：對(duì)于兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程其特征方程為

a11a12

+2a12a1a2+a22a22=0滿足上述關(guān)系的方向(a1,a2)為特征方向，其特征線

j(x,y)=0第四十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日滿足

a11jx2+2a12jx

jy+a22jy2=0*求解這個(gè)方程。對(duì)j(x,y)=0微分并代入上式

jxdx+jydy=0→jx=-jydy∕dx

a11dy2-2a12dxdy

+a22dx2=0**偏微化為常微，求出**的一族積分曲線j1(x,y)=C則，z=j1(x,y)是*方程的解。第四十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日求**的積分曲線，將它分解為兩個(gè)方程此時(shí)在(x0,y0)的近旁有三種情況，記△﹥0△=a122-a11a22△=0△﹤0第四十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日即，在(x0,y0)近旁△﹥0

此時(shí)**有兩族不同的實(shí)積分曲線j(x,y)=C和y(x,y)=C引入自變量

x=j(x,y),h=y(x,y)***由*可看出-jx

∕jy、-yx

∕yy是二次方程

a11l2

+2a12l+a22=0兩個(gè)不同實(shí)根，從而即，上述自變量變換是可逆的。第四十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日由于ux=uxxx+uhhxuy=uxxy+uhhyuxx=uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxxuxy=uxxxxxy+uxh(xxhy+xyhx)+uhhhxhy

+uxxxy+uhhxyuyy=uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy原方程化為

b11uxx+2b12uxh+b22uhh+c1ux