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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是雙曲線的左右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.c>b>a C.a(chǎn)>b>c D.b>a>c3.已知函數(shù),若對任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.在中,,則=()A. B.C. D.5.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),令.有以下6個論斷:①是奇函數(shù)時,是奇函數(shù);②是偶函數(shù)時,是奇函數(shù);③是偶函數(shù)時,是偶函數(shù);④是奇函數(shù)時,是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù);⑥對任意的實(shí)數(shù),.那么正確論斷的編號是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤6.在鈍角中,角所對的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且當(dāng)時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.9.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.10.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個根,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知,,,是球的球面上四個不同的點(diǎn),若,且平面平面,則球的表面積為()A. B. C. D.12.已知數(shù)列為等比數(shù)列,若,且,則()A. B.或 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______.14.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為_______.15.設(shè),分別是橢圓C:()的左、右焦點(diǎn),直線l過交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于E點(diǎn),若滿足,且,則橢圓C的離心率為______.16.如圖,在一個倒置的高為2的圓錐形容器中,裝有深度為的水,再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實(shí)心半球后,半球的大圓面、水面均與容器口相平,則的值為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)滿足.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求動點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)點(diǎn),分別是曲線上第一象限,第二象限上兩點(diǎn),且滿足,求的值.18.(12分)P是圓上的動點(diǎn),P點(diǎn)在x軸上的射影是D,點(diǎn)M滿足.(1)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程,并說明軌跡是什么圖形;(2)過點(diǎn)的直線l與動點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù),),曲線:(為參數(shù)).若曲線和相切.(1)在以為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,求曲線的普通方程;(2)若點(diǎn),為曲線上兩動點(diǎn),且滿足,求面積的最大值.21.(12分)如圖,底面ABCD是邊長為2的菱形,,平面ABCD,,,BE與平面ABCD所成的角為.(1)求證:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.22.(10分)對于正整數(shù),如果個整數(shù)滿足,且,則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù),設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”,且,求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù),證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與,當(dāng)且僅當(dāng)且時,稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.2.A【解析】
利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷,考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.3.D【解析】
先將所求問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點(diǎn)作函數(shù)的切線,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.4.B【解析】
在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù),則,所以,所以是偶函數(shù);當(dāng)是奇函數(shù)時,則,所以,所以是偶函數(shù);當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時,例如:,則,,此時,故⑥錯誤;故③④正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義,掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因?yàn)椋砸驗(yàn)樗?,即,,時故選:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.7.B【解析】
由題可知,,再結(jié)合雙曲線第一定義,可得,對有,即,解得,再對,由勾股定理可得,化簡即可求解【詳解】如圖,因?yàn)椋?因?yàn)樗?在中,,即,得,則.在中,由得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求法,幾何性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題8.D【解析】
利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,?又,故.因?yàn)楫?dāng)時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),所以.因?yàn)闉榕己瘮?shù),故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用,比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系,本題屬于中檔題.9.A【解析】
因?yàn)?,所以排除C、D.當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時,,可得.故選A.10.C【解析】
先利用三角恒等變換將題中的方程化簡,構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,畫出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.11.A【解析】
由題意畫出圖形,求出多面體外接球的半徑,代入表面積公式得答案.【詳解】如圖,取BC中點(diǎn)G,連接AG,DG,則,,分別取與的外心E,F(xiàn),分別過E,F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于O,則O為四面體的球心,由,得正方形OEGF的邊長為,則,四面體的外接球的半徑,球O的表面積為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.12.A【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,通分化簡即可.【詳解】由題意,數(shù)列為等比數(shù)列,則,又,即,所以,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了推理能力與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
變換得到,計算焦點(diǎn)得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),屬于簡單題.14.【解析】
根據(jù)題意,由雙曲線的漸近線方程可得,即a=2b,進(jìn)而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb,由雙曲線的離心率公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線的離心率e;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,計算以及,然后根據(jù)橢圓的定義可得,并使用余弦定理以及,可得結(jié)果.【詳解】如圖由,所以由,所以又,則所以所以化簡可得:則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用,關(guān)鍵在于根據(jù)角度求出線段的長度,考查分析能力以及計算能力,屬中檔題.16.【解析】
由已知可得到圓錐的底面半徑,再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,體積為,半球的體積為,水(小圓錐)的體積為,如圖則,所以,,解得,所以,,,由,得,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算,考查學(xué)生空間想象能力與計算能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)();(2)【解析】
(1)由已知,曲線的參數(shù)方程消去t后,要注意x的范圍,再利用普通方程與極坐標(biāo)方程的互化公式運(yùn)算即可;(2)設(shè),,由(1)可得,,相加即可得到證明.【詳解】(1),∵,∴,∴,由題可知:,:().(2)因?yàn)?,設(shè),,則,,.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,考查學(xué)生的計算能力,是一道容易題.18.(1)點(diǎn)M的軌跡C的方程為,軌跡C是以,為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓(2)【解析】
(1)設(shè),根據(jù)可求得,代入圓的方程可得所求軌跡方程;根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以,為焦點(diǎn),長軸長為的橢圓;(2)設(shè),與橢圓方程聯(lián)立,利用求得;利用韋達(dá)定理表示出與,根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得,消去后得到軌跡方程;根據(jù)求得的取值范圍,進(jìn)而得到最終結(jié)果.【詳解】(1)設(shè),則由知:點(diǎn)在圓上點(diǎn)的軌跡的方程為:軌跡是以,為焦點(diǎn),長軸長為的橢圓(2)設(shè),由題意知的斜率存在設(shè),代入得:則,解得:設(shè),,則四邊形為平行四邊形又∴,消去得:頂點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題,關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動點(diǎn)橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式,進(jìn)而通過化簡整理得到結(jié)果;易錯點(diǎn)是求得軌跡方程后,忽略的取值范圍.19.(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
證明:(1)在矩形中,,又平面,平面,所以平面.(2)連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié),在矩形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),又,故,,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.20.(1);(2)【解析】
(1)消去參數(shù),將圓的參數(shù)方程,轉(zhuǎn)化為普通方程,再由圓心到直線的距離等于半徑,可求得圓的普通方程,最后利用求得圓的極坐標(biāo)方程.(2)利用圓的參數(shù)方程以及輔助角公式,由此求得的面積的表達(dá)式,再由三角函數(shù)最值的求法,求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意得:,:因?yàn)榍€和相切,所以,即:;(2)設(shè),所以所以當(dāng)時,面積最大值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,考查直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,考查利用參數(shù)的方法求三角形面積的最值,屬于中檔題.21.(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)要證明平面平面BDE,只需在平面內(nèi)找一條直線垂直平面BDE即可;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面BEF的法向量,平面的法向量,算出即可.【詳解】(1)∵平面ABCD,平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形,∴.∵,∴平面BDE,設(shè)AC,BD交于O,取BE的中點(diǎn)G,連FG,OG,,,四邊形OCFG是平行四邊形,平面BDE∴平面BDE,又因平面BEF,∴平面平面BDE.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系∵BE與平面ABCD所成的角為,,,,,,.,設(shè)平面BEF的法向量為,,,設(shè)平面的法向量設(shè)二面角的大小為..【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直證面面垂直、面面所成角的計算,考查學(xué)生的計算能力,解決此類問題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo),是一道中檔題.22.(Ⅰ),,,,;(Ⅱ)為偶數(shù)時,,為奇數(shù)時,;(Ⅲ)證明見解析,,【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時,最大為,當(dāng)為奇數(shù)時,最大為,得到答案.(Ⅲ)討論當(dāng)為奇數(shù)時,,至少存在一個全為1的拆分,故,當(dāng)為偶數(shù)時,根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到,再計算,,得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”
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