九年級數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí) 【 備課精研+高效課堂 】 二輪復(fù)習(xí)專題-面積的存在性問題課件

面積的存在性問題1.動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線段、動(dòng)圖——面積變化題型中考總復(fù)習(xí)二輪復(fù)習(xí)2.由面積變化形成的函數(shù)題型面積的存在性問題1.動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線段、動(dòng)圖——面積變化題型面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根．第二類，先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確．

例1.如下圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)C在y軸右側(cè)沿拋物線y=x2-6x+10滑動(dòng)，在滑動(dòng)過程中CD//x軸，CD=1，AB在CD的下方。當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，AB落在x軸上。當(dāng)矩形ABCD在滑動(dòng)過程中被x軸分成兩部分的面積比為1：4時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。解：由題可知當(dāng)D點(diǎn)在y軸上時(shí)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1帶入拋物線解析式可得C(1,5)∵此時(shí)AB在X軸上∴CB長為5∴當(dāng)C點(diǎn)的縱坐標(biāo)取1和4時(shí)，

矩形ABCD面積被分成1：4兩部分帶入解析式可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)或(3+√3，4)或(3－√3,4)C(1,5)D(0,5)A(0,0)B(1,0)BC=5例2.在左圖平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=5，AC⊥AB，△ACD沿AC方向勻速平移得到△PNM，速度為每秒1個(gè)單位長度；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度；當(dāng)△PNM停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，見右圖，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜t＜4)。

是否存在某一時(shí)刻t，使S△QMC:S四邊形ABQP=1:4？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。例2.在左圖平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=5，AC⊥AB，△ACD沿AC方向勻速平移得到△PNM，速度為每秒1個(gè)單位長度；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度；當(dāng)△PNM停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，見右圖，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜t＜4)。

是否存在某一時(shí)刻t，使S△QMC:S四邊形ABQP=1:4？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

解：由S△QMC=S△PQC可知△PQC與△MQC等底等高∴S△QMC=S△PQC∵S△PQC+S四邊形ABQP=S△ABC∴S△PQC：S△ABC=1：5所以S△PQC=6/5S△QMC=S△PQCS△PQC=6/5例2.在左圖平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=5，AC⊥AB，△ACD沿AC方向勻速平移得到△PNM，速度為每秒1個(gè)單位長度；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度；當(dāng)△PNM停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，見右圖，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜t＜4)。

是否存在某一時(shí)刻t，使S△QMC:S四邊形ABQP=1:4？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H∵QC=t，PC=AC-AP=4-t，sin∠ACB=3/5∴PH=sin∠ACB×PC=∴S△QMC=S△PQC=解得t=2S△QMC=S△PQCS△PQC=6/5QC=tPC=4-tPH=sin∠ACB×PC=例3.已經(jīng)扇形AOB的半徑為2,圓心角∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求四邊形ODCE的面積的最大值.例3.已經(jīng)扇形AOB的半徑為2,圓心角∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求四邊形ODCE的面積的最大值.解由題可知四邊形ECDO為矩形連接ED，OC交于點(diǎn)F，則ED=OC=2過點(diǎn)O作OH⊥ED于點(diǎn)H則OH≤OF，因?yàn)镋D為定值2∴當(dāng)OH=OF時(shí)，△DOE的面積最大，最大值為1．所以矩形ODCE的面積的最大值為2．例4在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,設(shè)直線l與斜邊AB交于點(diǎn)E，與直角邊交于點(diǎn)F，設(shè)AE=x，是否存在直線l同時(shí)平分△ABC的周長和面積？若存在直線l，求出x的值；若不存在直線l，請說明理由。所以?。ㄈ鐖D二）例4在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,設(shè)直線l與斜邊AB交于點(diǎn)E，與直角邊交于點(diǎn)F，設(shè)AE=x，是否存在直線l同時(shí)平分△ABC的周長和面積？若存在直線l，求出x的值；若不存在直線l，請說明理由。由題可得△ABC的周長為24，面積為24．①點(diǎn)F在AC上，過點(diǎn)E作EG垂直AC于點(diǎn)G那么AE＝x，AF＝12－x，．解方程得．當(dāng)

時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)F不在AC上．圖一圖二AF=12-x②點(diǎn)F在BC上，假設(shè)直線EF同時(shí)平分△ABC的周長和面積，那么AE＝x，BE＝10－x，BF＝12－(10－x)＝2＋x，．方程整理，得．此方程無實(shí)數(shù)根．綜上所述例4在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,設(shè)直線l與斜邊AB交于點(diǎn)E，與直角邊交于點(diǎn)F，設(shè)AE=x，是否存在直線l同時(shí)平分△ABC的周長和面積？若存在直線l，求出x的值；若不存在直線l，請說明理由。解題技巧：1.先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根．2.先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確．用未知數(shù)去表示已知面積例5如圖，P是△ABC中∠BAC平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥PB交AB延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF∥PC交AC的延長線于點(diǎn)F。連接EP，F(xiàn)P。求證：BE=CF。（提示：利用三角形面積相等）證明：∵BP∥EC，∴S△EBP=S△CBP同理，S△FPC=S△BPC所以S△EBP=S△FPC又∵P在∠EAF的角平分線上∴P到EB的距離=P到FC的距離∴BE=CF技術(shù)總結(jié)：當(dāng)面積相等遇到平行線、角平分線--------等底等高例6如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別在AB、CB上，且M、N不與端點(diǎn)重合，AM=CN，設(shè)AN與CM交于點(diǎn)Q。求證DQ平分∠ADC。證明：設(shè)點(diǎn)Q到AB、BC、CD、DA的距離分別為a、b、c、d∵S△AQC=S△CAM-S△QAM=S△ANC-S△QNC∴∴又∵AM=AC，∴c=d，∴DQ平分∠ADC面積的存在性問題2.由面積變化形成的函數(shù)題型由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系類型一：直接利用面積公式構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式（1）先確定所求面積的幾何圖形的形狀；（2）確定求面積時(shí)所需的線段，并且添加必要的輔助線；（3）根據(jù)題意利用相似或銳角三角比或勾股定理等方法分別表示出線段的長，某些線段是含有未知數(shù)的代數(shù)式；（4）根據(jù)面積公式求出解析式，并根據(jù)題意確定定義域．由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系類型二：利用割補(bǔ)法構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式（1）判斷所求面積的幾何圖形的形狀（2）通過添加輔助線（通常是做坐標(biāo)軸的垂線），將所求圖形的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則幾何圖形（通常為梯形和三角形）的和或者差；(1)ABCDEFGABCDEFG圖1圖2例1如圖,RT△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DE，過點(diǎn)E作DE的垂線與邊BC交于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,（1）如圖1，當(dāng)AC=8，點(diǎn)G在邊AB上時(shí)，求DE和EF的長；（2）如圖2，若，設(shè),AC=x,矩形DEFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)一線三垂

例1如圖,RT△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DE，過點(diǎn)E作DE的垂線與邊BC交于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,（2）如圖2，若，設(shè),AC=x,矩形DEFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；過點(diǎn)D做DH⊥AC于點(diǎn)H△DHE∽△ECF，DH=3小結(jié)：

①一線三垂

②見中點(diǎn)做中位線例2如圖,已知在△ABC中,AB=AC=6,AH⊥BC,垂足為點(diǎn)H.點(diǎn)D在邊AB上,且AD=2，連接CD交AH于點(diǎn)E．（1）如圖1，如果AE=AD，求AH的長（2）如圖2，是以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓，交線段AH于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，如果以點(diǎn)P為圓心，BP為半徑的圓與外切，以點(diǎn)P為圓心，CP為半徑的圓與內(nèi)切，求邊BC的長；（3）如圖3，連接DF．設(shè)DF=x,△ABC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．例2如圖,已知在△ABC中,AB=AC=6,AH⊥BC,垂足為點(diǎn)H.點(diǎn)D在邊AB上,且AD=2，連接CD交AH于點(diǎn)E．（1）如圖1，如果AE=AD，求AH的長（2）如圖2，是以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓，交線段AH于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，如果以點(diǎn)P為圓心，BP為半徑的圓與外切，以點(diǎn)P為圓心，CP為半徑的圓與內(nèi)切，求邊BC的長；（3）如圖3，連接DF．設(shè)DF=x,△ABC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．1）過點(diǎn)H作HG//CD，交AB于點(diǎn)G．∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH．又∵HG//CD，AB=6，AD=2，∴DG=BG=2．又∵HG//CD，∴AE=EH=2．∴AH=4；2）聯(lián)結(jié)AP，設(shè)BP=t∵以點(diǎn)P為圓心，BP為半徑的圓與⊙A外切，∵以點(diǎn)P為圓心，BP為半徑的圓與⊙A外切，例2如圖,已知在△ABC中,AB=AC=6,AH⊥BC,垂足為點(diǎn)H.點(diǎn)D在邊AB上,且AD=2，連接CD交AH于點(diǎn)E．（1）如圖1，如果AE=AD，求AH的長（2）如圖2，是以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓，交線段AH于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，如果以點(diǎn)P為圓心，BP為半徑的圓與外切，以點(diǎn)P為圓心，CP為半徑的圓與內(nèi)切，求邊BC的長；例2如圖,已知在△ABC中,AB=AC=6,AH⊥BC,垂足為點(diǎn)H.點(diǎn)D在邊AB上,且AD=2，連接CD交AH于點(diǎn)E．（3）如圖3，連接DF．設(shè)DF=x,△ABC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.3）過點(diǎn)B作BM//DF，交AH的延長線于點(diǎn)M．∵BM//DF，AB=6AD=2，DF=xBM=3x,AM=6設(shè)HM=k作FG⊥AB于點(diǎn)G當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)OE=2-x例3如圖,已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C，E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF//AC交BC于F．設(shè)AE的長為x.△EOF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(-2,0)(3,0)(0,4)∵FG//OC且EF//AC作FH⊥AB于點(diǎn)H當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí)OE=x-2(-2,0)(3,0)(0,4)∵FH//OC且EF//AC例3如圖,已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C，E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF//AC交BC于F．設(shè)AE的長為x.△EOF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．例4如圖,已知拋物線y=-x2+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),直線y=x+b,與拋物線交于A、C兩點(diǎn),點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,△PAC的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出△PAC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的位置．(-1,0)將A(-1,0)代入y=x+b得y=x+1過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)FOE=3，CE=4(4,0)(3,4)例4如圖,已知拋物線y=-x2+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),直線y=x+b,與拋物線交于A、C兩點(diǎn),點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,△PAC的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出△PAC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的位置．(-1,0)(4,0)(3,4)當(dāng)x=1時(shí)，△PAC的面積最大，最大值為8，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,6)ABCDEFG例5如圖，△ABC中，AB=AC=10，，點(diǎn)D在AB邊上（點(diǎn)D與點(diǎn)A，B不重合），DE//BC交AC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段EC上，且

，以DE、EF為鄰邊作平行四邊形DEFG，連接BG．1）當(dāng)EF=FC時(shí)，求△ADE的面積2）設(shè)AE=x，△DBG的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍1)過點(diǎn)A作AH⊥BC，分別交DE、GF于點(diǎn)M、NEF=FCABCDEFG例5如圖，△ABC中，AB=AC=10，，點(diǎn)D在AB邊上（點(diǎn)D與點(diǎn)A，B不重合），DE//BC交AC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段EC上，且

，以DE、EF為鄰邊作平行四邊形DEFG，連接BG．1）當(dāng)EF=FC時(shí)，求△ADE的面積2）設(shè)AE=x，△DBG的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍△ADE∽△