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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一輛郵車從地往地運(yùn)送郵件,沿途共有地,依次記為,,…(為地,為地).從地出發(fā)時(shí),裝上發(fā)往后面地的郵件各1件,到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件,同時(shí)裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件,記該郵車到達(dá),,…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為.則的表達(dá)式為().A. B. C. D.2.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.113.已知,,,若,則正數(shù)可以為()A.4 B.23 C.8 D.174.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.5.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.7.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則A. B.C. D.8.2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年,某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo),現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個(gè)貧困縣扶貧,要求每個(gè)貧困縣至少分到一人,則甲被派遣到縣的分法有()A.6種 B.12種 C.24種 D.36種9.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.12010.在的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.11.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),則的面積為()A. B. C.5 D.612.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列通項(xiàng)公式為,則該數(shù)列是等差數(shù)列;②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等,則;③在中,“”是“”的必要不充分條件;④若,則的最大值為2.A.1 B.2 C.3 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則____.14.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),為上互相不重合的三點(diǎn),且、、成等差數(shù)列,若線段的垂直平分線與軸交于,則的坐標(biāo)為_______.15.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.16.古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).20.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.21.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為等邊三角形,平面平面ABCD,M,N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).(1)求直線CM與平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系,并給出證明.22.(10分)已知是遞增的等比數(shù)列,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
根據(jù)題意,分析該郵車到第站時(shí),一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目,進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,該郵車到第站時(shí),一共裝上了件郵件,需要卸下件郵件,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用,屬于中檔題.2.A【解析】
根據(jù)約束條件畫出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡(jiǎn)單題.3.C【解析】
首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍,再代入驗(yàn)證即可;【詳解】解:∵,∴當(dāng)時(shí),滿足,∴實(shí)數(shù)可以為8.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為即可得到答案.【詳解】因?yàn)?,,,所以的周期?,故,故的虛部為2,A錯(cuò)誤;在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,B錯(cuò)誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯(cuò)誤;,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.5.C【解析】
作出三棱錐的實(shí)物圖,然后補(bǔ)成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球,然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計(jì)算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示:將其補(bǔ)成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.6.D【解析】
根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性即可確定的值,進(jìn)而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由對(duì)稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.7.D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),所以,則,即.故選D.8.B【解析】
分成甲單獨(dú)到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進(jìn)行分類討論,由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨(dú)到縣,則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣,則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)答排列組合的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
對(duì)數(shù)字分類討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,利用分類計(jì)數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),同理也有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)故滿足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列,組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題,解題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)字分類討論,屬于基礎(chǔ)題。10.D【解析】
根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【詳解】因?yàn)樵?,所以含的?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,11.A【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)的坐標(biāo),再求出過點(diǎn)與的一條漸近線的平行的直線方程,通過解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中:,因此右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12.B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的定義,線面關(guān)系,余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可;【詳解】解:①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,可得為一次項(xiàng)系數(shù)),則該數(shù)列是等差數(shù)列,故①正確;②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等,則與可以相交或平行,故②錯(cuò)誤;③在中,,而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故“”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要條件,故③錯(cuò)誤;④若,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故④正確;綜上可得正確的有①④共2個(gè);故選:B【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷,主要是正弦定理的運(yùn)用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由,得出,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn),再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值,利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式,以及運(yùn)用齊次式求值,屬于對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.14.或【解析】
設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為:,設(shè),由拋物線的定義可知:,,,因?yàn)?、、成等差?shù)列,所以有,所以,因?yàn)榫€段的垂直平分線與軸交于,所以,因此有,化簡(jiǎn)整理得:或.若,由可知;,這與已知矛盾,故舍去;若,所以有,因此.故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用,考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15.【解析】
根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域?yàn)?.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.16.1.【解析】試題分析:由題意,可看作五個(gè)位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設(shè)排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點(diǎn):排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.點(diǎn)評(píng):本題考查排列排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題,解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景,利用分步原理正確計(jì)數(shù),本題較抽象,計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)32【解析】
利用絕對(duì)值不等式的解法求出不等式的解集,得到關(guān)于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式,構(gòu)造和是定值即可求出的最大值.【詳解】(1)∵,,所以不等式的解集為,即為不等式的解集為,∴的解集為,即不等式的解集為,化簡(jiǎn)可得,不等式的解集為,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立,即,,時(shí),等號(hào)成立,∴的最大值為32.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有兩個(gè)絕對(duì)值不等式的解法和三個(gè)正數(shù)的基本不等式的靈活運(yùn)用;其中利用構(gòu)造出和為定值即為定值是求解本題的關(guān)鍵;基本不等式取最值的條件:一正二定三相等是本題的易錯(cuò)點(diǎn);屬于中檔題.18.(1),(2)最大值,最小值【解析】
(1)由曲線的參數(shù)方程,得兩式平方相加求解,根據(jù)直線的極坐標(biāo)方程,展開有,再根據(jù)求解.(2)因?yàn)榍€C是一個(gè)半圓,利用數(shù)形結(jié)合,圓心到直線的距離減半徑即為最小值,最大值點(diǎn)由圖可知.【詳解】(1)因?yàn)榍€的參數(shù)方程為所以兩式平方相加得:因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為.所以所以即(2)如圖所示:圓心C到直線的距離為:所以圓上的點(diǎn)到直線的最小值為:則點(diǎn)M(2,0)到直線的距離為最大值:【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程,普通方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與圓的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19.(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)再判斷單調(diào)性即可.(2),有零點(diǎn)等價(jià)于方程實(shí)數(shù)根,再換元將原方程轉(zhuǎn)化為,再求導(dǎo)分析的圖像數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】(1)的定義域?yàn)?,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.(2),有零點(diǎn)等價(jià)于方程實(shí)數(shù)根,令則原方程轉(zhuǎn)化為,令,.令,,∴,,,,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.如圖可知①當(dāng)時(shí),有唯一零點(diǎn),即有唯一零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)時(shí),有唯一零點(diǎn),即有唯一零點(diǎn);④時(shí),此時(shí)無零點(diǎn),即此時(shí)無零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性的方法,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)零點(diǎn)的問題,屬于中檔題.20.(Ⅰ);(Ⅱ)最小值和最大值.【解析】試題分析:(1)由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個(gè)復(fù)合角的三角函數(shù)式,再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計(jì)算公式,即可求得函數(shù)的最小正周期;(2)由(1)得函數(shù),分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.由已知,有的最小正周期.(2)∵在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),,,∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為.考點(diǎn):1.兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式;2.三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性.21.(1)(2)(
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