2012年-2016考研數(shù)學(xué)2真題解析答案版

2010年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試 2011年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試 2012年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試 2013年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試 2014年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試 2015年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試 2016年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試 2010年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答 2011年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答 2012年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答 2013年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答 2014年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答 2015年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答 2016年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答 2010年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試x2x2x2x21fx

(A) (C)

微分方程ypx

y1

1,1 2,1

1,1 2,2 曲線yx2與曲線ya 相切，則a 設(shè)

是正整數(shù)，則反常積分

dx的收斂 1mln21 n1mln21 n(C)與

(D)與

zz(xy,Fy,z)0FF0x xz

x

z

x

z n

j1nin

j

x dy 01x dy

x dy 01 dy11

0dx01

0dx01x1 1I:1,2,1

II12,

s線性表示，下列命題正確的是 若向量組I線性無關(guān)，則rs (B)若向量組I線性相關(guān)，則rs(C)若向量組II線性無關(guān)，則rs (D)若向量組II線性相關(guān)，則rs設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2AO，若A的秩為3，則A相似 11

0 0 二、填空題：9-14424分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上3階常系數(shù)線性微分方程y2yy2y0的通解為y y

x2

函數(shù)yln12x在x0處的n階導(dǎo)數(shù)yn0= 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)l2cmsw以3cms的速率增加.

= 三、解答題：15－2394分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證(10分x2xf(x)

(x2

t)et2dt的單調(diào)區(qū)間與極值(10分0000

的大小，說明理1n記un0lntln1t1n

dtn1,

，求極限limu (17)(11分)yf

x2t由參數(shù)方程y

(t1所確定，其中

(t)2(1)

d2y

2

4(1t)，求函 (10分一個(gè)高為l的柱體形貯油罐，底面是長(zhǎng)軸為2a，短 為2b 圖)，2算油的質(zhì)量kg/m3(11分f(x,

設(shè)函

0a,的值，使等式在變換x

下化簡(jiǎn)為 0(10分

r2D

1r2cosdrdDr,|0rsec0 4 (10分f

在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間0,1內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=13證明：存在01 1

f(f()=2， 2 (11分 aA01，b1

1 Axb2求aAxb的通解(11分16 416設(shè)A a，正交矩陣Q使得QTAQ為對(duì)角矩陣，若Q的第1列

0 2011年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試一、選擇題：1~8432分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合x0fx

與cxk是等價(jià)無窮小，則 k=1,c k=1,c= k=3,c k=3,c=x2fx2fx3已知f

x=0處可導(dǎo)，且f0=0，則

2f

f

f

0函數(shù)f(x)ln(x1)(x2)(x3)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (A) (B) (C) y2yexex(

a(exex

ax(exex

x(aexbex

x2(aexbexf(xg(x)f(0)

f'(0

Zf(x)g(y)在點(diǎn)(0,0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是

f''(0)

f''(0)

f''(0)0,g''(0)

f''(0)0,g''(0) 000I4lnsinxdxJ4lncotxdxK4lncosxdxI,J,K000

IJ

IK

JI

KJA3A21BB23 0陣，記P 0，

0 1,則A= 1

PP 2 PP 2

設(shè)A(,,,)是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若(1,0,1,0)T是方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則A*x

2,3,4二、填空題：9~14424分，請(qǐng)將答案寫在指定位置上12x )x 微分方程y'yexcosx滿足條件y(0)0的解為y 曲線yxtantdt(0x)的弧長(zhǎng)s ex,x f(x

0,x

0,則xf(x)dx 設(shè)平面區(qū)域D由直線 圓x2y22y及y軸所組成，則二重積xyd D二次型f(xxxx23x2x22xx2xx2x

f1, 1 1 2 三、解答題：15~2394分.請(qǐng)將解答寫在指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明(10F(x)

limF

試求a的取值范圍(11分

x1t3tyy(x)由參數(shù)方程y

3yy(x)yy(x1t3t (9分設(shè)函數(shù)Zf(xy,yg(x))fgx)x12Zg2Z(10分

y

具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l:yy(x)

相切于原點(diǎn)，記為曲線l(x,yddy

的表達(dá)式(10分

1n

ln(11)

成立設(shè)a11 1lnn(n1, )，證明數(shù)列a收斂 (11分yx2y22yy1)2x2y21y1)2y2xy21 y2xy21 xy(11分f(x,y)f(x,1)0f(xy)dxdya，其DD(xy|0x1,0y1，計(jì)算二重積分ID

xyf''(x,y)dxdy

x(11分設(shè)向量組10,1)T,0,1,1)T,1,3,5)T，不能由向量組1,1,1)T

334a)T線性表示3a將1,2,3用1,2,3線性表示(11分

1 11 A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的秩為2，即RA2，且A 0 11 2012年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題x2（1）y

x2

（A） （B） （C） （D）（2）設(shè)函數(shù)f(x)(ex1)(e2x (enxn),其中n為正整數(shù),則f(0) （A）(1)n1(n

（D）(1)n設(shè)an0(n1, )，Sna1a2a3 an，則數(shù)列Sn有界是數(shù)列an收斂的 設(shè)IK

kex2sinxdx(k1,2,3)則有 0I1

I3

I2

I2f(xy)

都有f(xy)0f(xy)0 f(x2,y2)成立的一個(gè)充分條件是 （A）x1，y1 （B）x1 ，y1（C）x1，y1 （D）x1 ，y1 (x5y1)dxdyD（A） （D）

， ，y1圍成 2設(shè)

0 20, 2

0

,

1

,

,其中c1c2c3

c

c

c

c1

2

3

4 （A）1,2

1,2

（C）1,3

（D）2,3 0設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且p1AP 0.若P=（,, 2

(,,)，則Q1AQ

0 0 1

0 0 0 2

2 0 0 0 2

0 （D） 20 01 二、填空題 14小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在指定位置上yyxx2y1ey

d2d2n nn1 22zf

f

xz 微分方程ydx(x3y2)dy0滿足條件 1的解為yyx2xx0

2A3A3A*AAB則BA* fx1xsin

alimfx求a的值x0fxaxkk的值x2求函數(shù)f(x,y) 的極值A(chǔ)BxDDx軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算二重積分xydDr1cos(0與極軸圍成Df(xf(xf(x2f(x)0f(xf(xf(xyf(x2xf(t2dt的拐點(diǎn)01

1

cosx

,(1x2證明：方程xnxn1 x1（n為大于1的整數(shù)）在區(qū)間

記（Ⅰ）x，證明limx A 1 A當(dāng)實(shí)數(shù)aAx有無窮多解，并求其通解00A

，二次型f(xxxxTATA)x的秩為00 求實(shí)數(shù)axQyf化為標(biāo)準(zhǔn)形2013年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試一、選擇題:1～8432分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合1、設(shè)cosx1xsin(x)，(x)，當(dāng)x0時(shí)， （2x高階的無窮x低階的無窮x同階但不等價(jià)的無窮x是等價(jià)無窮2y

由方程cos(xylnyx1確定，則limnf21（ C.- D.-3f(x)

x x

，F(xiàn)(x)

f(t)dt，則（xFxF

FF

x處連續(xù)不可導(dǎo)x處可導(dǎo) 1x(x1)4f(x

f(x)dx收斂，則（ x

xln1

2

05zyf(xyfxzz（x2yf

y2fx

2fx6

D(xy)x2y21位于第kIkyx)dxdy(k1234)，則（I1

I2

I3

I47A、B、CnAB=CB（ 1 08、矩陣 a與 0相似的充分必要條件是（ 1 0 aa

aa

二、填空題：9～14小題,424分.請(qǐng)將答案寫在9lim(2

ln(1x)

1)x x10f(xx

1etdt，則y

xf1yy0 11L的極坐標(biāo)方程方程為rcos3(L 12、曲線yln1

上對(duì)應(yīng)于t1點(diǎn)處的法線方程 13

e3xxe2x，

exxe2x，

xe2x是某二階常系數(shù) 3 2 0， 1的解為y3 214、設(shè)A(aij)是3階非零矩陣，A為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)式，aijAij0(i,j1,2,3)，則A x0時(shí)，1cosxcos2xcos3xaxnna1Dyx3xa(a0)x軸所圍成的平面圖形，Vx，VyDxy旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若Vy

，求a的值17（10）設(shè)平面區(qū)域Dx

，y

，x

Df

在[1,1f(11（Ⅰ）存在0,1f(1（Ⅱ）存在(1,1)，使得f() x3xyy31(x0y0上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離和最短距離.20（11）設(shè)函數(shù)f(xlnxxf

設(shè)數(shù)列xn滿足lnxn

，證明limxnnLy1x21lnx(1xe LDLx1xexD22（11）1A1

，B11

abCACCAB，并求所有矩陣

設(shè)二次型f(xxx2(a

a

ax)2(b

b

bx，記

，b 1 2 3 1 2 3

2

2a bf2TT

3

3 若 正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y2 2014年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試一、選擇題:1～8432分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合11x0時(shí)，若ln12x)(1cosx)x高階的無窮小，則的取值范圍是（（A）(2,

(2

(0,22、下列曲線中有漸近線的是（yxsinyxsinx

yx2sin（D）yx2sinx3f

2g(x)f(0)(1xf(1)x，則在區(qū)間[0,1]上（（A）f(x)0f(x)g(x)（B）f(x)0f(x)g(x)f(x0時(shí)f(xg(x)f(x0時(shí)f(xg(x)4、曲線yt24t

上對(duì)應(yīng)于t1的點(diǎn)處的曲率半徑是（

55f(x)arctanxf(x)

(，則x0

（1

3

2

36、設(shè)函數(shù)u(xyDD2xy02u2u

0，則（u(x,yDu(x,yDu(x,yDu(x,y)Du(x,yDu(x,y)D0 7、行列 （ （A）(ad （B）(ad（C）a2d2 （D）b2c2a2d8、設(shè)1,2,3為3維向量，則對(duì)任意1,2,3線性無關(guān)的（

，向量組1k3,2l3線性無關(guān)是向量二、填空題：9～14小題,424分.請(qǐng)將答案寫在9、1 dx x22x10、設(shè)f(x)是周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f(x)2(x1),x[0,2]，則f(7) 11zz(x,y是由方程e2yzxy2z7確定的函數(shù)，則4

11(,)22.12L的極坐標(biāo)方程是rL在點(diǎn)(r,.2 131x軸的區(qū)間[0,1(xx22x1心坐標(biāo)x 14f(xxxx2x22axx4x

的負(fù)慣性指數(shù)為1a的取值范圍 1 2 x1x[t2(et1)lim

x2ln(11xx x2x x2y2x

x2y2y1yy(2)0

D(xy1

2

4x0y0，計(jì)算D

f

2zf(excosy

2

2z(4z

xcosy)e2xf(00f(00，求f

f

，g

在區(qū)間[ab]f

單調(diào)增加，0g( x（I）0ag(t)dtxax[ab]；xbb（II）aag(t)dtf(x)dxbf f(x)

1

x[0,1]f1(x)f(x)，f2(x)

，fn(x)

Sny

x1x軸所圍平面圖形的面積，求極限limnSnnf(x,y)f

fyyy1)22ylnyf(x,y)0y11

設(shè)A 1,E為3階單位矩陣120 120ABEB11

1 n階矩陣11

與

2相似 11

n2015年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試一、選擇題:1～8432分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合2、函數(shù)f(x)=lim(1

)??在內(nèi)（A）（B）（C）(D)2016年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試一、選擇題:1～8432分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合2010年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答B(yǎng)ACDBDADCe2xCcosxCsin y2nn23f 的單調(diào)遞減區(qū)間為(, [0,1)；f

的單調(diào)遞增區(qū)間為[1

.f

01(1e1)2（17）t3t2t3(t1)（18）2 3 4 （19）(ab為(22),(2 （20）13

1，a2；

xk

k（23）a1；2011年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答CBCCABDD2exsinln 2172（15）1a ( 1（16）y 的極小值 ,)凹區(qū)間為(,)拐 ( 1 3d2

2x（18）y(x)arcsin 2x4（20）(I)94

278I

a5

1 A 0 0 2012年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答CDBDDDCB140xy2（或y x（--（15（I）alimfxlim1x1limxsinx

01

x0sin

sin（II）limfxalim1x11limxsinxxsinxx0

x0sin

x0

xsin

sin limxsin x0

xsin

limfxa

x0 fx,y

x2

x22

x

x22

1x2

x2fx,yxe

y 2fx,y

x22

x2

1x2x 2fx,y

x2

1x2y 2fx,y

x22

y2 1 把P1,01 f1,0e2 把P2 f1,0e解析：y1，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)x, xxylnxoxo又切線過點(diǎn)(0,1

e2y

x切線與x軸交點(diǎn)為Be2,00 A2eye2y1dye0 2 2

V 3

xdx 3

xrcosyrsin，D的極坐標(biāo)表示是00r1cos， D 411t1t4dt4 （19（I）所以fxfx

代入fxf(x2ex，得到fx（II）yex2xet20y2xex2xet2dt10 y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x y(x)0x0 x0y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x x0y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x 因此(0,y(0))00)fxx

x x

(1x1)1 fxln1xx 1 1

1x

1 2(1x2) f(x) cosx1 cosx11

(1x2

(1x21，又cosx12f(x)0f(xf(0)0x(1,0f(x)0f(xx(0,1f(x)0f(x單點(diǎn)遞增；x(1,1時(shí)f(x)f(0)0，1 x

1

cosx

(1x1)2x（21（Ⅰ）fxxnxxf(x)nxn1(n1)xn2 2x10f

在[,2

1又f(1)n10，f(1)11

1

10f(xf

121所 在(,1)上存在零點(diǎn)且唯一，即x2

x1在(,1內(nèi)只有一個(gè)根2（Ⅱ）根 日中值定理，存在點(diǎn)1 f有

f12 21

xn所以0xn2 1 1因?yàn)閘imfxnf2limf2n由定理知lim

n

n （22（I） A1

aa(1)41

01 （Ⅱ）Ax1a0 1

0 1 1 01a0 a 0 1 001 0 1 0 0 a00 0 0 01 00 1aa2 01

a Ax有無窮多解，則有1a40且aa20a 1 此時(shí)，方程組Ax的增廣矩陣變?yōu)? 0 0 11可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為11

， 方程的特解為 00 11故其通解為k （23（1）由二次型的秩為2，知rATA)2，故rA)rATA) 1 1

1 1 1 a a a1 a

1

0rA)2a 2 （2）令BATA 2

EB

(0

(2)0

(2)(6)B10223對(duì)于0，解(EBX0得對(duì)應(yīng)的特征向量為1,1 對(duì)于22，解(2E

得對(duì)應(yīng)的特征向量為12對(duì)于6，解(E2

得對(duì)應(yīng)的特征向量為 1 1 1將,

單位化可得11,

11,

11

3

2

6 1312 113126 61312 1312正交矩陣

1，則QTAQ 6 62 36 36 因此，作正交變換xQy，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f(x)xT(ATA)xyTAy 2013年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答CACDABBB1e11yxln24ye3xex-lim1cosxcos2xcos

lim3cos6xcos4xlim

4an(nn20，即n2時(shí)，上式極限存在.n2時(shí)，由題意得lim1cosxcos2xan2,a

根據(jù)題意，Vx7a7Va2xx3dx6x

767 a677 7

0 7因Vy10Vx7

a3

a3ay

x

y1

x

xy8

y6，

y x 26 x2dxdy2dx3xx2dy6 x 26

2 (8x31x4

（18（Ⅰ）

在[1,1f(0)F(x

，則F

[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，且

F(0)f(000.由羅爾定理，存在0,1F()0f()1（Ⅱ）f(xf(x1exf(xf(x))exexf(x))[exf(x)ex]g(x)exf(xexf

f

是偶函數(shù)，由（）的結(jié)論可知，f()

，g()

.由羅爾定理可知，存在(1,1)g()0即f() x2（19）M(x,x2構(gòu) 日函

Fx2y2(x3xyy3F2x(3x2y) x由F2y(3y2x0得 yFx3xyy31122點(diǎn)(1,1)到原點(diǎn)的距離為d 1222 2（20（Ⅰ）f(xlnx1x0

f(x)1

xxf(x)0x

當(dāng)0x1f(x)0x1f(x)0x1f(xf(11n（Ⅱ）由（Ⅰ）知lnx11，又由已知lnxn

111xnxn故數(shù)列xn單調(diào)遞增

x又由lnxnx

，故lnxn1

，所以數(shù)列xn有上界n所以limxn在lnxn在lnxn

lnA1AlnA1A所以lnA11A1即lim

n（21（Ⅰ）S

1(y)2dx

1(1x1)2dx

1(1x1)2dx

12 x 12e e

e

1

x

)dx

x2

lnx)

1x21ln1dx 1

1

1lne12x 0 e121e1e

1x21lndx

(1

1ln

1 1e4

1(e21e21)

42e23)(e37) 由題意可知矩陣C為2階矩陣，故可設(shè)C x2.由ACCAB可 x 4

x2ax3 a

1 1

axaax 2

0

b b

xxx

4

4

00a00010110a1 0 0010110a000a010b000b000b 方程組有解，故a10b0，即a1b a1b0

x31,

，代入相 方程組，得x21令x30, 方程組，得x20故11,10)T100,1)Tx

xk

k

(k

1,k,k,

)T（k

所以Ck1k2

1 2 1 k1. k2（23（Ⅰf(x,x,x)2(axaxax)2(bxbxbx 1 2 3 1 2 3 2(x,x,x)a(a,a,a)x(x,x,x)b(b,b,b)x 32 32 32 32a x b x3 3 3 3xxx)(2TTxxTAxA2T

2x3所以二次型f2TT（Ⅱ）由于 正交，故TT因,均為單位向量，故 1，即T1.同理TA2TTA(2TT)2TT由于0A122A2TT)0A2又因?yàn)閞Ar(2TTr(2Tr(T)r(Tr(T)1123，所以A030. A2，1，0.因此，f2y2y2 2014年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答B(yǎng)CCCDABA3811(dxdy)y2x

lim

(t2(et1)

lim

(t2(et1) x2(ex1)

limx2(ex11

x2ln(11

x2

et1 et 令

1 x t2 x 1x2y2y'1y1y'y2(y21)dy(1x2積分得y21)dy(1x21y3yx1x3 又y(2)0c31y3yx1x3 1令y' 0,得xy2x(1)時(shí)y0,函數(shù)單調(diào)遞減由函數(shù)方程解得：y(1)0,y(1)1Dyxx x2x x2y2xy x2y2x

x x x2y21

y

x2y22212D

x xx2y22212dsin(r)rdr1rdcos(2222 421rcos(r)|2

cos(r)d 11

4令uexcosz

f(u)ecosy,x

f(u)e2xcos2yf(u)

cosz

f(u)

(sin

2z

f(u)

y

(u)

cos2

2

(4z

cosf(u)e2xcos2yf(u)e2xsin2y[4f(u)即f(u4f(u對(duì)應(yīng)的微分方程的特征方程為：r24 微分方程的通解為：f(u)Ce2uC 設(shè)f(u)aub，則f(u)a, (u)0a1b0f*(u)1 f(uCe2xCe2x1 所以f(u2Ce2u2Ce2u1,f(u4Ce2u4C f(0)0f(0)0

1,

f(u)

1e2x1e2x1 （19（I）gx在區(qū)間[ab上連續(xù)，且0g(x)1 x0ag(t)dtxx （II）F(xxf(u)g(u)duaag(t)dtf F'(x)

f(